变式训练 计算：
(1)$(\frac{x - 3}{x + 3} + \frac{9}{x^2 + 6x + 9}) ÷ \frac{x}{x + 3}$；
(2)$(m - 1 - \frac{8}{m + 1}) ÷ \frac{(m - 3)^2}{m^2 + m}$。

(1)
$\begin{aligned}&\left(\frac{x - 3}{x + 3} + \frac{9}{x^2 + 6x + 9}\right) ÷ \frac{x}{x + 3}\\=&\left[\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 3)^2} + \frac{9}{(x + 3)^2}\right] \cdot \frac{x + 3}{x}\\=&\left[\frac{x^2 - 9 + 9}{(x + 3)^2}\right] \cdot \frac{x + 3}{x}\\=&\frac{x^2}{(x + 3)^2} \cdot \frac{x + 3}{x}\\=&\frac{x}{x + 3}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&\left(m - 1 - \frac{8}{m + 1}\right) ÷ \frac{(m - 3)^2}{m^2 + m}\\=&\left[\frac{(m - 1)(m + 1) - 8}{m + 1}\right] \cdot \frac{m(m + 1)}{(m - 3)^2}\\=&\left[\frac{m^2 - 1 - 8}{m + 1}\right] \cdot \frac{m(m + 1)}{(m - 3)^2}\\=&\frac{(m - 3)(m + 3)}{m + 1} \cdot \frac{m(m + 1)}{(m - 3)^2}\\=&\frac{m(m + 3)}{m - 3}\end{aligned}$

例2 先化简$\frac{x^2 + 2x}{x^2 - 6x + 9} ÷ (\frac{2}{x - 2} - \frac{1}{x})$,然后从$0 \leq x ＜ 4的范围内选取一个合适的x$的整数值代入求值。
名师导引 未知数所取的值一定要保证原分式有意义。

$-\frac{1}{4}$

化简过程：
1. 计算括号内分式减法：
$\frac{2}{x - 2} - \frac{1}{x} = \frac{2x - (x - 2)}{x(x - 2)} = \frac{x + 2}{x(x - 2)}$。
2. 将除法转化为乘法：
原式$= \frac{x^2 + 2x}{x^2 - 6x + 9} ÷ \frac{x + 2}{x(x - 2)} = \frac{x^2 + 2x}{x^2 - 6x + 9} \cdot \frac{x(x - 2)}{x + 2}$。
3. 因式分解并约分：
$\frac{x(x + 2)}{(x - 3)^2} \cdot \frac{x(x - 2)}{x + 2} = \frac{x^2(x - 2)}{(x - 3)^2}$。
选取合适的$x$值：
在$0 \leq x ＜ 4$中，整数$x$可取0,1,2,3。需满足原分式有意义：
$x \neq 0$（避免$\frac{1}{x}$分母为0）；
$x \neq 2$（避免$\frac{2}{x - 2}$分母为0）；
$x \neq 3$（避免$(x - 3)^2 = 0$）。
故$x = 1$。
代入求值：
当$x = 1$时，$\frac{1^2(1 - 2)}{(1 - 3)^2} = \frac{-1}{4} = -\frac{1}{4}$。

变式训练 先化简,再求值：
$(\frac{x}{x - 3} - \frac{1}{x - 3}) ÷ \frac{x^2 - 1}{x^2 - 6x + 9}$,其中整数$x满足\begin{cases}x + 2 ＞ 0, \\ 2x ＜ 4\end{cases} $。

$-3$

化简过程：
1. 括号内化简：$\frac{x}{x-3} - \frac{1}{x-3} = \frac{x-1}{x-3}$
2. 除法变乘法：$\frac{x-1}{x-3} ÷ \frac{x^2-1}{x^2-6x+9} = \frac{x-1}{x-3} \cdot \frac{(x-3)^2}{(x-1)(x+1)}$
3. 因式分解并约分：$\frac{x-1}{x-3} \cdot \frac{(x-3)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-3}{x+1}$
求解x的取值范围：
1. 解不等式组：
$\begin{cases} x+2＞0 \Rightarrow x＞-2 \\ 2x＜4 \Rightarrow x＜2 \end{cases}$
解集：$-2 ＜ x ＜ 2$，整数解为$x=-1,0,1$。
2. 分式有意义条件：
$x-3 \neq 0$，$x^2-1 \neq 0$，即$x \neq 3, \pm1$。
排除$x=-1,1$，得$x=0$。
代入求值：
当$x=0$时，$\frac{x-3}{x+1} = \frac{0-3}{0+1} = -3$。

1. 如果$a + b = 2$,那么$(a - \frac{b^2}{a}) \cdot \frac{a}{a - b}$的值为()
A.$2$
B.$-2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

A

原式$=(a - \frac{b^2}{a}) \cdot \frac{a}{a - b} = \frac{a^2 - b^2}{a} \cdot \frac{a}{a - b} = \frac{(a + b)(a - b)}{a} \cdot \frac{a}{a - b} = a + b$，因为$a + b = 2$，所以原式$=2$。

2. 计算$(x - \frac{1}{y}) ÷ (\frac{1}{x} - y)$的结果是()
A.$-\frac{x}{y}$
B.$\frac{x}{y}$
C.$-\frac{y}{x}$
D.$\frac{y}{x}$

A

首先将除法转化为乘法，即：
$(x - \frac{1}{y}) ÷ (\frac{1}{x} - y) = \frac{x - \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - y}$
对分子分母分别通分：
分子：$x - \frac{1}{y} = \frac{xy - 1}{y}$
分母：$\frac{1}{x} - y = \frac{1 - xy}{x}$
因此原式为：
$\frac{\frac{xy - 1}{y}}{\frac{1 - xy}{x}} = \frac{xy - 1}{y} \cdot \frac{x}{1 - xy} = \frac{x(xy - 1)}{y(1 - xy)} = \frac{-x(1 - xy)}{y(1 - xy)} = -\frac{x}{y}$

3. 化简：
(1)$(\frac{x^2}{x + 1} + 1 - x) ÷ \frac{3x}{x^2 - 1}$；
(2)$\frac{m^2 - 2m}{m^2 - 4m + 4} ÷ (\frac{3}{m - 3} + 1)$；
(3)$\frac{a^2 + 4a + 4}{3a + 3} ÷ (\frac{1}{a + 1} + 1)$。

(1)
首先对$(\frac{x^2}{x + 1} + 1 - x)$通分，$1 - x=\frac{(1 - x)(x + 1)}{x + 1}=\frac{1+x-x - x^{2}}{x + 1}=\frac{1 - x^{2}}{x + 1}$，则$\frac{x^2}{x + 1}+\frac{1 - x^{2}}{x + 1}=\frac{x^2+1 - x^{2}}{x + 1}=\frac{1}{x + 1}$。
原式$=\frac{1}{x + 1}÷\frac{3x}{x^{2}-1}=\frac{1}{x + 1}×\frac{(x + 1)(x - 1)}{3x}=\frac{x - 1}{3x}$。
(2)
先化简$\frac{m^2 - 2m}{m^2 - 4m + 4}=\frac{m(m - 2)}{(m - 2)^{2}}=\frac{m}{m - 2}$。
再化简$\frac{3}{m - 3}+1=\frac{3+m - 3}{m - 3}=\frac{m}{m - 3}$。
原式$=\frac{m}{m - 2}÷\frac{m}{m - 3}=\frac{m}{m - 2}×\frac{m - 3}{m}=\frac{m - 3}{m - 2}$。
(3)
先化简$\frac{a^2 + 4a + 4}{3a + 3}=\frac{(a + 2)^{2}}{3(a + 1)}$。
再化简$\frac{1}{a + 1}+1=\frac{1+a + 1}{a + 1}=\frac{a + 2}{a + 1}$。
原式$=\frac{(a + 2)^{2}}{3(a + 1)}÷\frac{a + 2}{a + 1}=\frac{(a + 2)^{2}}{3(a + 1)}×\frac{a + 1}{a + 2}=\frac{a + 2}{3}$。
综上，答案依次为：(1)$\frac{x - 1}{3x}$；(2)$\frac{m - 3}{m - 2}$；(3)$\frac{a + 2}{3}$。

4. (1)已知$x^2 - 4x + 4与\vert y - 3 \vert$互为相反数,求$(\frac{y}{x} - \frac{x}{y}) ÷ (x + y)$的值。
(2)先化简$(\frac{m^2 - 1}{m - 3} - m - 1) ÷ \frac{m + 1}{m^2 - 6m + 9}$,然后从$-1$,$0$,$1$,$3中选择合适的数作为m$的值代入求值。

(1)$\frac{1}{6}$；(2)$-6$

(1)
因为$x^2 - 4x + 4$与$\vert y - 3 \vert$互为相反数，所以$x^2 - 4x + 4 + \vert y - 3 \vert = 0$。
$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$，则$(x - 2)^2 + \vert y - 3 \vert = 0$。
由于平方数和绝对值非负，故$x - 2 = 0$，$y - 3 = 0$，解得$x = 2$，$y = 3$。
化简$(\frac{y}{x} - \frac{x}{y}) ÷ (x + y)$：
$\begin{aligned}原式&=\left(\frac{y^2 - x^2}{xy}\right) ÷ (x + y)\\&=\frac{(y - x)(y + x)}{xy} \cdot \frac{1}{x + y}\\&=\frac{y - x}{xy}\end{aligned}$
代入$x = 2$，$y = 3$：$\frac{3 - 2}{2 × 3} = \frac{1}{6}$。
(2)
化简$(\frac{m^2 - 1}{m - 3} - m - 1) ÷ \frac{m + 1}{m^2 - 6m + 9}$：
$\begin{aligned}原式&=\left[\frac{m^2 - 1}{m - 3} - \frac{(m + 1)(m - 3)}{m - 3}\right] \cdot \frac{(m - 3)^2}{m + 1}\\&=\frac{m^2 - 1 - (m^2 - 2m - 3)}{m - 3} \cdot \frac{(m - 3)^2}{m + 1}\\&=\frac{2m + 2}{m - 3} \cdot \frac{(m - 3)^2}{m + 1}\\&=\frac{2(m + 1)}{m - 3} \cdot \frac{(m - 3)^2}{m + 1}\\&=2(m - 3)\\&=2m - 6\end{aligned}$
由分母不为0得：$m - 3 ≠ 0$，$m + 1 ≠ 0$，即$m ≠ 3$，$m ≠ -1$。
从$-1, 0, 1, 3$中选$m = 0$或$m = 1$。
当$m = 0$时，原式$=2×0 - 6 = -6$；
当$m = 1$时，原式$=2×1 - 6 = -4$。
（选其中一个即可，此处选$m = 0$）

5. 对于正数$x$,规定$f(x) = \frac{x}{1 + x}$,例如$f(3) = \frac{3}{1 + 3} = \frac{3}{4}$,$f(\frac{1}{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{4}$,计算$f(\frac{1}{2024}) + f(\frac{1}{2023}) + f(\frac{1}{2022}) + … + f(\frac{1}{3}) + f(\frac{1}{2}) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(2022) + f(2023) + f(2024)$的结果是()
A.$2023$
B.$2023.5$
C.$2022$
D.$2022.5$

B

由题意，对于正数$x$，$f(x)=\frac{x}{1+x}$，则$f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{x+1}$。
因此$f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x}{1+x}+\frac{1}{1+x}=\frac{x+1}{1+x}=1$。
原式中，$f\left(\frac{1}{2024}\right)$与$f(2024)$、$f\left(\frac{1}{2023}\right)$与$f(2023)$、……、$f\left(\frac{1}{2}\right)$与$f(2)$分别配对，共$2023$对，每对和为$1$，其和为$2023×1=2023$。
中间项$f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$。
故原式总和为$2023+\frac{1}{2}=2023.5$。