例1 (1)已知 $\angle\alpha$ 与 $\angle\beta$ 互为余角,且 $\angle\beta = 36^{\circ}$,则 $\angle\alpha =$。
(2)已知 $\angle A = 52^{\circ}$,则 $\angle A$ 的补角是。
名师导引 (1)互余和互补是两个角的数量关系,只与角的大小有关,和它们的位置无关。(2)余角、补角是成对出现的。单独的一个角、三个或三个以上的角之间不能说互余或互补。如当 $\angle 1+\angle 2+\angle 3 = 90^{\circ}$ 时,不能说 $\angle 1$、$\angle 2$、$\angle 3$ 互余。

(1)
解：
已知 $\angle\alpha$ 与 $\angle\beta$ 互为余角，根据余角的定义，有：
$\angle\alpha + \angle\beta = 90^{\circ}$
给定 $\angle\beta = 36^{\circ}$，代入上式得：
$\angle\alpha = 90^{\circ} - 36^{\circ} = 54^{\circ}$
所以，$\angle\alpha = 54^{\circ}$。
(2)
解：
已知 $\angle A = 52^{\circ}$，根据补角的定义，有：
$\angle A$ 的补角 $= 180^{\circ} - \angle A$
代入 $\angle A = 52^{\circ}$ 得：
$\angle A$ 的补角 $= 180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$
所以，$\angle A$ 的补角是 $128^{\circ}$。

变式训练 (1)若一个角的补角是它的余角的 $3$ 倍,则这个角的度数为。
(2)如果一个角的余角与这个角的补角的和为 $210^{\circ}$,那么这个角的度数为。

(1)设这个角的度数为$x$。
根据补角和余角的定义，它的补角为$180^{\circ} - x$，余角为$90^{\circ} - x$。
根据题意，有：
$180^{\circ} - x = 3(90^{\circ} - x)$，
解这个方程，得到：
$180^{\circ} - x = 270^{\circ} - 3x$，
$2x = 90^{\circ}$，
$x = 45^{\circ}$，
所以这个角的度数为$45^{\circ}$。
(2)设这个角的度数为$x$。
根据补角和余角的定义，它的补角为$180^{\circ} - x$，余角为$90^{\circ} - x$。
根据题意，有
$90^{\circ} - x + 180^{\circ} - x = 210^{\circ}$，
解这个方程，得到：
$270^{\circ} - 2x = 210^{\circ}$，
$2x = 60^{\circ}$，
$x = 30^{\circ}$，
所以这个角的度数为$30^{\circ}$。

例2 如图,如果 $\angle BOD+\angle BOC = 90^{\circ}$,$\angle AOC+\angle BOC = 90^{\circ}$,那么 $\angle BOD= \angle AOC$ 的理由是。

根据题意，有：
$\angle BOD + \angle BOC = 90^{\circ}$，
$\angle AOC + \angle BOC = 90^{\circ}$，
从第一个等式中解出 $\angle BOD$，得：
$\angle BOD = 90^{\circ} - \angle BOC$，
从第二个等式中解出 $\angle AOC$，得：
$\angle AOC = 90^{\circ} - \angle BOC$，
由于 $\angle BOD$ 和 $\angle AOC$ 都等于 $90^{\circ} - \angle BOC$，根据等量的同余性，可以得出：
$\angle BOD = \angle AOC$（同角的余角相等）。
故答案为：同角的余角相等。

变式训练 在例2的条件下,若 $\angle BOC = 42^{\circ}$,则 $\angle AOD= $。

∠BOD=∠AOC=90°-42°=48°
∠AOD=∠BOD+∠BOC+∠AOC=48°+42°+48°=138°
故答案为：138°

1. 一个角的度数为 $50^{\circ}$,那么它的余角的补角的度数是()
A.$130^{\circ}$
B.$140^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$90^{\circ}$

B

已知一个角为 $50^{\circ}$，它的余角为 $90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}$。
余角的补角为 $180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$。

2. 如图,将一副直角三角尺按不同方式摆放,其中“甲”尺是含 $30^{\circ}$ 角的直角三角尺,“乙”尺是含 $45^{\circ}$ 角的直角三角尺,则图中 $\angle\alpha$ 与 $\angle\beta$ 一定相等的是()

A.①②
B.②③
C.②④
D.③④

C

①中，∠α与∠β分别与甲、乙三角尺的不同锐角互补（甲60°，乙45°），则∠α=180°-60°=120°，∠β=180°-45°=135°，∠α≠∠β；②中，∠α和∠β均与公共角γ互余（∠α+γ=90°，∠β+γ=90°），由同角的余角相等得∠α=∠β；③中，∠α为甲60°角的外角（180°-60°=120°），∠β为乙45°角的外角（180°-45°=135°），∠α≠∠β；④中，∠α和∠β均与乙的45°角互余（∠α=90°-45°=45°，∠β=90°-45°=45°），∠α=∠β。综上，②④中∠α=∠β。