1. 已知函数$y= ax^{2}的图像经过点P(-2,8)$,则该图像必经过点()
A.(2,8)
B.(-2,-8)
C.(-8,-2)
D.(2,-8)

A

将点$P(-2,8)$代入$y = ax^{2}$，得$8=a×(-2)^{2}$，即$4a=8$，解得$a=2$，函数解析式为$y = 2x^{2}$。
当$x=2$时，$y=2×2^{2}=8$，故图像经过点$(2,8)$。
A

2. 函数$y= ax^{2}与y= -x-a$的图像可能是()

C

分情况讨论：
1. 当$a＞0$时，抛物线$y = ax^{2}$开口向上，直线$y=-x - a$斜率为$-1$（倾斜向下），截距$-a＜0$（与$y$轴交于负半轴），无符合选项。
2. 当$a＜0$时，抛物线$y = ax^{2}$开口向下，直线$y=-x - a$斜率为$-1$（倾斜向下），截距$-a＞0$（与$y$轴交于正半轴），符合选项C。
C

3. 关于二次函数$y= \frac{1}{3}x^{2}与y= -\frac{1}{3}x^{2}$的图像在同一坐标系里的位置,下列说法错误的是()
A.两条抛物线关于x轴对称
B.两条抛物线关于原点对称
C.两条抛物线关于y轴对称
D.两条抛物线的交点为原点

C

A. 对于抛物线$y = \frac{1}{3}x^{2}$上任意一点$(x,y)$，其关于$x$轴对称的点$(x,-y)$在抛物线$y = -\frac{1}{3}x^{2}$上，故两条抛物线关于$x$轴对称，A正确；
B. 对于抛物线$y = \frac{1}{3}x^{2}$上任意一点$(x,y)$，其关于原点对称的点$(-x,-y)$在抛物线$y = -\frac{1}{3}x^{2}$上，故两条抛物线关于原点对称，B正确；
C. 对于抛物线$y = \frac{1}{3}x^{2}$上一点$(1,\frac{1}{3})$，其关于$y$轴对称的点$(-1,\frac{1}{3})$不在抛物线$y = -\frac{1}{3}x^{2}$上，故两条抛物线不关于$y$轴对称，C错误；
D. 联立$\begin{cases}y = \frac{1}{3}x^{2} \\ y = -\frac{1}{3}x^{2}\end{cases}$，解得$x = 0$，$y = 0$，故交点为原点，D正确。
结论：C

4. 如图,正方形的边长为$\sqrt{6}$,以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数$y= 3x^{2}与y= -3x^{2}$的图像,则图中阴影部分的面积是______.

3

正方形边长为√6，中心为原点，故其边界为x=±√6/2，y=±√6/2，面积为(√6)²=6。函数y=3x²与y=-3x²关于x轴对称，图像为顶点在原点的抛物线。由对称性，两抛物线将正方形分成关于原点对称的区域，阴影部分面积为正方形面积的一半，即6×1/2=3。

5. 二次函数$y= -2x^{2}$的图像的顶点坐标为；若点$A(a,-8)$在其图像上,则a的值是；若点$B(-3,b)$是此抛物线上一点,则$b=$.

顶点坐标为$(0,0)$；
$a$的值为$\pm 2$；
$b$的值为$-18$。

对于二次函数$y = ax^{2} + bx + c$，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^{2}}{4a})$。
对于函数$y = -2x^{2}$，有$a = -2, b = 0, c = 0$。
所以顶点坐标为$(-\frac{0}{2 × (-2)}, 0 - \frac{0^{2}}{4 × (-2)})$，即$(0,0)$。
将点$A(a,-8)$代入$y = -2x^{2}$，得到方程$-8 = -2a^{2}$。
解这个方程，得到$a^{2} = 4$，从而$a = \pm 2$。
将点$B(-3,b)$代入$y = -2x^{2}$，得到$b = -2 × (-3)^{2} = -2 × 9 = -18$。

6. 已知二次函数$y= \frac{1}{2}x^{2}$的图像如图,线段$AB// x$轴,交抛物线于A,B两点,且点A的横坐标为2,则AB的长度为.

4

当$x=2$时，$y=\frac{1}{2}×2^{2}=\frac{1}{2}×4 = 2$，则点$A$的坐标为$(2,2)$。
因为线段$AB// x$轴，所以点$B$的纵坐标与点$A$的纵坐标相同，均为$2$。
令$\frac{1}{2}x^{2}=2$，方程两边同时乘以$2$得$x^{2}=4$，解得$x = 2$或$x=-2$。
则点$B$的横坐标为$-2$，点$B$的坐标为$(-2,2)$。
$AB$的长度为$\vert2 - (-2)\vert=\vert4\vert = 4$。
4

7. 已知二次函数$y= ax^{2}的图像经过点A(\frac{1}{2},-\frac{1}{8})$,$B(3,m)$.
(1)求a与m的值；
(2)写出该图像上点B关于抛物线对称轴对称的点的坐标：.
(1)

(1)
代入点$A(\frac{1}{2}, -\frac{1}{8})$到$y = ax^2$，得：
$-\frac{1}{8} = a \left(\frac{1}{2}\right)^2$，
$-\frac{1}{8} = \frac{1}{4}a$，
解得 $a = -\frac{1}{2}$。
因此，二次函数为 $y = -\frac{1}{2}x^2$。
代入点$B(3, m)$到$y = -\frac{1}{2}x^2$，得：
$m = -\frac{1}{2} × 3^2$，
$m = -\frac{9}{2}$。
(2)
对于二次函数$y = ax^2$，其对称轴为$x = 0$。
点$B(3, m)$关于对称轴$x = 0$对称的点的横坐标是$-3$，纵坐标不变。
因此，对称点的坐标为$(-3, -\frac{9}{2})$。