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4. 在Rt△ABC中,∠C= 90°,sin A= 3/5且AB= 10,则AC=
8
,BC=6
.答案
AC=8，BC=6。
解析
在直角三角形$ABC$中，已知$\angle C= 90^\circ$，$\sin A=\frac{3}{5}$，且斜边$AB=10$。
根据正弦函数的定义，有$\sin A=\frac{BC}{AB}$，
代入已知条件，得$\frac{BC}{10}=\frac{3}{5}$，
解得$BC=6$。
利用勾股定理，有$AC^2=AB^2-BC^2$，
代入$AB=10$和$BC=6$，得$AC^2=10^2-6^2=64$，
解得$AC=8$。
根据正弦函数的定义，有$\sin A=\frac{BC}{AB}$，
代入已知条件，得$\frac{BC}{10}=\frac{3}{5}$，
解得$BC=6$。
利用勾股定理，有$AC^2=AB^2-BC^2$，
代入$AB=10$和$BC=6$，得$AC^2=10^2-6^2=64$，
解得$AC=8$。
5. 在Rt△ABC中,∠C= 90°,a= 35,c= 35√2,则∠A=
45°
,b= 35
.答案
$\angle A = 45{^\circ}$，$b = 35$（本题为填空题，此处将答案以填空形式展现，实际填写时只填$45{^\circ}$和$35$）。
解析
在$Rt \bigtriangleup ABC$中，已知$\angle C = 90{^\circ}$，$a = 35$，$c = 35\sqrt{2}$，
根据正弦函数的定义：$\sin A = \frac{a}{c}$，
代入已知值，得：
$\sin A = \frac{35}{35\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
查找正弦函数表或利用特殊角的三角函数值知识，当$\sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}$时，$\angle A = 45{^\circ}$，
接下来，利用勾股定理求$b$，
勾股定理公式为：$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，
代入已知值，得：
$35^{2} + b^{2} = (35\sqrt{2})^{2}$，
$1225 + b^{2} = 2450$，
$b^{2} = 1225$，
解得：$b = 35$（负值舍去，因为边长不能为负），
所以，$\angle A = 45{^\circ}$，$b = 35$。
根据正弦函数的定义：$\sin A = \frac{a}{c}$，
代入已知值，得：
$\sin A = \frac{35}{35\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
查找正弦函数表或利用特殊角的三角函数值知识，当$\sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}$时，$\angle A = 45{^\circ}$，
接下来，利用勾股定理求$b$，
勾股定理公式为：$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，
代入已知值，得：
$35^{2} + b^{2} = (35\sqrt{2})^{2}$，
$1225 + b^{2} = 2450$，
$b^{2} = 1225$，
解得：$b = 35$（负值舍去，因为边长不能为负），
所以，$\angle A = 45{^\circ}$，$b = 35$。
6. 如图,在△ABC中,∠C为直角,∠CAB,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且b= 8√5,∠CAB的平分线AD= 16√15/3,解这个直角三角形.
答案
在$Rt\bigtriangleup ACD$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AD=\frac{16\sqrt{15}}{3}$。
$\cos\angle CAD=\frac{AC}{AD}$，设$\angle CAD = \angle BAD=\alpha$。
$\cos\alpha=\frac{AC}{\frac{16\sqrt{15}}{3}}$。
在$Rt\bigtriangleup ABC$中，$\cos\alpha=\frac{AC}{AB}$，且$\cos2\alpha=\frac{AC}{b}=\frac{AC}{8\sqrt{5}}$。
根据二倍角公式$\cos2\alpha = 2\cos^{2}\alpha-1$，则$\frac{AC}{8\sqrt{5}}=2(\frac{AC}{\frac{16\sqrt{15}}{3}})^2 - 1$。
设$AC = x$，可得$\frac{x}{8\sqrt{5}}=2×\frac{x^{2}}{(\frac{16\sqrt{15}}{3})^{2}}-1$。
$\frac{x}{8\sqrt{5}}=2×\frac{9x^{2}}{16^{2}×15}-1$。
$\frac{x}{8\sqrt{5}}=\frac{9x^{2}}{128×15}-1$。
两边同乘$128×15\sqrt{5}$得：$16x×15 = 9x^{2}×\sqrt{5}-128×15\sqrt{5}$。
$240x=9\sqrt{5}x^{2}-1920\sqrt{5}$。
$9\sqrt{5}x^{2}-240x - 1920\sqrt{5}=0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a = 9\sqrt{5},b=-240,c = -1920\sqrt{5})$，
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
$\Delta=b^{2}-4ac=(-240)^{2}-4×9\sqrt{5}×(-1920\sqrt{5})=57600 + 345600 = 403200$。
$x=\frac{240\pm\sqrt{403200}}{18\sqrt{5}}=\frac{240\pm240\sqrt{7}}{18\sqrt{5}}=\frac{40\pm40\sqrt{7}}{3\sqrt{5}}$。
因为$x＞0$，所以$x = AC = 16\sqrt{3}$。
在$Rt\bigtriangleup ACD$中，根据勾股定理$CD=\sqrt{AD^{2}-AC^{2}}=\sqrt{(\frac{16\sqrt{15}}{3})^{2}-(16\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{\frac{3840}{9}-768}=\sqrt{\frac{3840 - 6912}{9}}=\sqrt{\frac{-3072}{9}}$（错误，换一种方法）。
在$Rt\bigtriangleup ACD$中，$\cos\alpha=\frac{AC}{AD}$，设$AC = x$，$\cos\alpha=\frac{x}{\frac{16\sqrt{15}}{3}}$。
在$Rt\bigtriangleup ABC$中，$\cos2\alpha=\frac{AC}{b}=\frac{x}{8\sqrt{5}}$，又$\cos2\alpha = 2\cos^{2}\alpha-1$，所以$\frac{x}{8\sqrt{5}}=2×(\frac{x}{\frac{16\sqrt{15}}{3}})^2 - 1$。
$\frac{x}{8\sqrt{5}}=2×\frac{9x^{2}}{16^{2}×15}-1$，$\frac{x}{8\sqrt{5}}=\frac{9x^{2}}{128×15}-1$，$16×15x=9x^{2}×\sqrt{5}-128×15\sqrt{5}$，$240x = 9\sqrt{5}x^{2}-1920\sqrt{5}$，$9\sqrt{5}x^{2}-240x - 1920\sqrt{5}=0$，解得$x = 16\sqrt{3}$（$x＞0$）。
在$Rt\bigtriangleup ACD$中，$\sin\alpha=\frac{CD}{AD}$，$\cos\alpha=\frac{AC}{AD}=\frac{16\sqrt{3}}{\frac{16\sqrt{15}}{3}}=\frac{3}{\sqrt{5}}$。
$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1 - \frac{9}{5}}$（错误，重新求）。
$\sin\alpha=\frac{CD}{AD}$，$\cos\alpha=\frac{AC}{AD}$，由$\cos\alpha=\frac{16\sqrt{3}}{\frac{16\sqrt{15}}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$，则$\sin\alpha=\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{15}}{5})^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$。
所以$CD = AD\sin\alpha=\frac{16\sqrt{15}}{3}×\frac{\sqrt{10}}{5}=\frac{16\sqrt{150}}{15}=\frac{16×5\sqrt{6}}{15}=\frac{16\sqrt{6}}{3}$。
$BC=BD + CD$，在$Rt\bigtriangleup ABD$中，$\cos\alpha=\frac{AB^{2}+AD^{2}-BD^{2}}{2AB\cdot AD}$，也可先求$\angle B$。
在$Rt\bigtriangleup ABC$中，$\tan B=\frac{AC}{BC}$，$\angle CAB = 2\alpha$，$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}$，$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{\frac{\sqrt{15}}{5}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\tan2\alpha=\frac{2×\frac{\sqrt{6}}{3}}{1 - (\frac{\sqrt{6}}{3})^{2}}=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{1-\frac{6}{9}}=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{6}$。
又$\tan B=\frac{AC}{BC}$，且$\angle CAB+\angle B = 90^{\circ}$，$\tan B=\frac{1}{\tan\angle CAB}=\frac{1}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{12}$。
$BC=\frac{AC}{\tan B}=\frac{16\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{6}}{12}}=16\sqrt{3}×\frac{12}{\sqrt{6}}=16\sqrt{3}×2\sqrt{6}=96$。
$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(16\sqrt{3})^{2}+96^{2}}=\sqrt{768 + 9216}=\sqrt{9984}=16\sqrt{39}$。
$\angle B=\arctan\frac{\sqrt{6}}{12}$，$\angle CAB = 2\arctan\frac{\sqrt{6}}{3}$。
综上，$AC = 16\sqrt{3}$，$BC = 96$，$AB = 16\sqrt{39}$，$\angle B=\arctan\frac{\sqrt{6}}{12}$，$\angle CAB = 2\arctan\frac{\sqrt{6}}{3}$。
$\cos\angle CAD=\frac{AC}{AD}$，设$\angle CAD = \angle BAD=\alpha$。
$\cos\alpha=\frac{AC}{\frac{16\sqrt{15}}{3}}$。
在$Rt\bigtriangleup ABC$中，$\cos\alpha=\frac{AC}{AB}$，且$\cos2\alpha=\frac{AC}{b}=\frac{AC}{8\sqrt{5}}$。
根据二倍角公式$\cos2\alpha = 2\cos^{2}\alpha-1$，则$\frac{AC}{8\sqrt{5}}=2(\frac{AC}{\frac{16\sqrt{15}}{3}})^2 - 1$。
设$AC = x$，可得$\frac{x}{8\sqrt{5}}=2×\frac{x^{2}}{(\frac{16\sqrt{15}}{3})^{2}}-1$。
$\frac{x}{8\sqrt{5}}=2×\frac{9x^{2}}{16^{2}×15}-1$。
$\frac{x}{8\sqrt{5}}=\frac{9x^{2}}{128×15}-1$。
两边同乘$128×15\sqrt{5}$得：$16x×15 = 9x^{2}×\sqrt{5}-128×15\sqrt{5}$。
$240x=9\sqrt{5}x^{2}-1920\sqrt{5}$。
$9\sqrt{5}x^{2}-240x - 1920\sqrt{5}=0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a = 9\sqrt{5},b=-240,c = -1920\sqrt{5})$，
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，
$\Delta=b^{2}-4ac=(-240)^{2}-4×9\sqrt{5}×(-1920\sqrt{5})=57600 + 345600 = 403200$。
$x=\frac{240\pm\sqrt{403200}}{18\sqrt{5}}=\frac{240\pm240\sqrt{7}}{18\sqrt{5}}=\frac{40\pm40\sqrt{7}}{3\sqrt{5}}$。
因为$x＞0$，所以$x = AC = 16\sqrt{3}$。
在$Rt\bigtriangleup ACD$中，根据勾股定理$CD=\sqrt{AD^{2}-AC^{2}}=\sqrt{(\frac{16\sqrt{15}}{3})^{2}-(16\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{\frac{3840}{9}-768}=\sqrt{\frac{3840 - 6912}{9}}=\sqrt{\frac{-3072}{9}}$（错误，换一种方法）。
在$Rt\bigtriangleup ACD$中，$\cos\alpha=\frac{AC}{AD}$，设$AC = x$，$\cos\alpha=\frac{x}{\frac{16\sqrt{15}}{3}}$。
在$Rt\bigtriangleup ABC$中，$\cos2\alpha=\frac{AC}{b}=\frac{x}{8\sqrt{5}}$，又$\cos2\alpha = 2\cos^{2}\alpha-1$，所以$\frac{x}{8\sqrt{5}}=2×(\frac{x}{\frac{16\sqrt{15}}{3}})^2 - 1$。
$\frac{x}{8\sqrt{5}}=2×\frac{9x^{2}}{16^{2}×15}-1$，$\frac{x}{8\sqrt{5}}=\frac{9x^{2}}{128×15}-1$，$16×15x=9x^{2}×\sqrt{5}-128×15\sqrt{5}$，$240x = 9\sqrt{5}x^{2}-1920\sqrt{5}$，$9\sqrt{5}x^{2}-240x - 1920\sqrt{5}=0$，解得$x = 16\sqrt{3}$（$x＞0$）。
在$Rt\bigtriangleup ACD$中，$\sin\alpha=\frac{CD}{AD}$，$\cos\alpha=\frac{AC}{AD}=\frac{16\sqrt{3}}{\frac{16\sqrt{15}}{3}}=\frac{3}{\sqrt{5}}$。
$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1 - \frac{9}{5}}$（错误，重新求）。
$\sin\alpha=\frac{CD}{AD}$，$\cos\alpha=\frac{AC}{AD}$，由$\cos\alpha=\frac{16\sqrt{3}}{\frac{16\sqrt{15}}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$，则$\sin\alpha=\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{15}}{5})^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$。
所以$CD = AD\sin\alpha=\frac{16\sqrt{15}}{3}×\frac{\sqrt{10}}{5}=\frac{16\sqrt{150}}{15}=\frac{16×5\sqrt{6}}{15}=\frac{16\sqrt{6}}{3}$。
$BC=BD + CD$，在$Rt\bigtriangleup ABD$中，$\cos\alpha=\frac{AB^{2}+AD^{2}-BD^{2}}{2AB\cdot AD}$，也可先求$\angle B$。
在$Rt\bigtriangleup ABC$中，$\tan B=\frac{AC}{BC}$，$\angle CAB = 2\alpha$，$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}$，$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{\frac{\sqrt{15}}{5}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\tan2\alpha=\frac{2×\frac{\sqrt{6}}{3}}{1 - (\frac{\sqrt{6}}{3})^{2}}=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{1-\frac{6}{9}}=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{6}$。
又$\tan B=\frac{AC}{BC}$，且$\angle CAB+\angle B = 90^{\circ}$，$\tan B=\frac{1}{\tan\angle CAB}=\frac{1}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{12}$。
$BC=\frac{AC}{\tan B}=\frac{16\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{6}}{12}}=16\sqrt{3}×\frac{12}{\sqrt{6}}=16\sqrt{3}×2\sqrt{6}=96$。
$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(16\sqrt{3})^{2}+96^{2}}=\sqrt{768 + 9216}=\sqrt{9984}=16\sqrt{39}$。
$\angle B=\arctan\frac{\sqrt{6}}{12}$，$\angle CAB = 2\arctan\frac{\sqrt{6}}{3}$。
综上，$AC = 16\sqrt{3}$，$BC = 96$，$AB = 16\sqrt{39}$，$\angle B=\arctan\frac{\sqrt{6}}{12}$，$\angle CAB = 2\arctan\frac{\sqrt{6}}{3}$。
7. 如图所示,已知四边形ABCD中,∠ABC= 120°,AD⊥BA,CD⊥BC,AB= 30√3,CB= 50√3,求四边形ABCD的面积.
4700√3
答案
过点B作AB和BC的延长线，设AB延长线与CD延长线交于点E。
在Rt△EBC中，∠ABC=120°，则∠EBC=60°，∠BCE=90°，CB=50√3。
cos60°=BC/EB ⇒ EB=CB/cos60°=50√3/(1/2)=100√3。
sin60°=EC/EB ⇒ EC=EB·sin60°=100√3×(√3/2)=150。
在Rt△EAD中，∠EAD=90°，EA=EB+AB=100√3+30√3=130√3，∠E=30°。
tan30°=AD/EA ⇒ AD=EA·tan30°=130√3×(√3/3)=130。
ED=EA/cos30°=130√3/(√3/2)=260。
DC=ED-EC=260-150=110。
S四边形ABCD=S△EAD-S△EBC。
S△EAD=1/2×EA×AD=1/2×130√3×130=8450√3。
S△EBC=1/2×EB×EC=1/2×100√3×150=3750√3。
S四边形ABCD=8450√3-3750√3=4700√3。
4700√3
在Rt△EBC中，∠ABC=120°，则∠EBC=60°，∠BCE=90°，CB=50√3。
cos60°=BC/EB ⇒ EB=CB/cos60°=50√3/(1/2)=100√3。
sin60°=EC/EB ⇒ EC=EB·sin60°=100√3×(√3/2)=150。
在Rt△EAD中，∠EAD=90°，EA=EB+AB=100√3+30√3=130√3，∠E=30°。
tan30°=AD/EA ⇒ AD=EA·tan30°=130√3×(√3/3)=130。
ED=EA/cos30°=130√3/(√3/2)=260。
DC=ED-EC=260-150=110。
S四边形ABCD=S△EAD-S△EBC。
S△EAD=1/2×EA×AD=1/2×130√3×130=8450√3。
S△EBC=1/2×EB×EC=1/2×100√3×150=3750√3。
S四边形ABCD=8450√3-3750√3=4700√3。
4700√3
