【例题】如图,在△ABC 和△BED 中,若$\frac{AB}{BD}= \frac{BC}{BE}= \frac{AC}{DE}= \frac{5}{3}$,且△ABC 与△BED 周长之差为10 cm,求△ABC 的周长.
【思路点拨】由已知条件可知△ABC∽△DBE,再运用相似三角形周长的比等于相似比、两三角形周长的差可求△ABC的周长.

【解答】______
【学法点睛】(1)如图,△ABC∽△A'B'C',c,c'是它们的对应周长,则有$\frac{c}{c'}= k$.
(2)BC 与 B'C'是对应边,AD,AE,AM分别是△ABC的高、角平分线、中线,A'D',A'E',A'M'分别是△A'B'C'的高、角平分线、中线.它们的相似比为k,则有:$\frac{AD}{A'D'}= \frac{AE}{A'E'}= \frac{AM}{A'M'}= \frac{BC}{B'C'}= k$.

【解答】
∵ $\frac{AB}{BD} = \frac{BC}{BE} = \frac{AC}{DE} = \frac{5}{3}$
∴ $\triangle ABC \sim \triangle DBE$，且相似比为 $\frac{5}{3}$。
设 $\triangle ABC$ 的周长为 $x$ cm，则 $\triangle BED$ 的周长为 $(x - 10)$ cm。
根据相似三角形周长的比等于相似比，可得：
$\frac{x}{x - 10} = \frac{5}{3}$
$3x = 5(x - 10)$
$3x = 5x - 50$
$2x = 50$
$x = 25$
∴ $\triangle ABC$ 的周长为 $25$ cm。

1. 如图①,在△ABC中,DE//BC,△ABC与△ADE的相似比为5:4,若BC= 8 cm,则DE的值为()

A.$\frac{8}{5}$cm
B.$\frac{16}{5}$cm
C.$\frac{24}{5}$cm
D.$\frac{32}{5}$cm

D

由题意得，$\triangle ABC\sim\triangle ADE$，相似比为$5:4$。
因为$DE// BC$，所以$\frac{DE}{BC}=\frac{4}{5}$。
已知$BC=8$cm，所以$DE=\frac{4}{5}× 8=\frac{32}{5}$cm。

2. 如图②,在边长为2的正方形ABCD中,E为AB的中点,BM⊥CE,则Rt△BEM与Rt△BCM两三角形斜边上的高的比是()

A.1:1
B.1:2
C.$1:\sqrt{2}$
D.1:4

B

1. 正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，因此AE = EB = 1。
2. 设正方形ABCD的顶点坐标为A(0, 2), B(2, 2), C(2, 0), D(0, 0)，则E点的坐标为(1, 2)。
3. 计算CE的斜率：
$ 斜率 = \frac{2 - 0}{1 - 2} = -2 $
4. 因为BM垂直于CE，BM的斜率为：
$ \frac{1}{2} $
5. 设BM的方程为：
$ y - 2 = \frac{1}{2}(x - 2) $
即
$ y = \frac{1}{2}x + 1 $
6. 设M点的坐标为(x, y)，则M在CE上，CE的方程为：
$ y = -2x + 4 $
7. 联立方程：
$ \frac{1}{2}x + 1 = -2x + 4 $
解得：
$ \frac{5}{2}x = 3 \implies x = \frac{6}{5} $
$ y = -2 × \frac{6}{5} + 4 = \frac{8}{5} $
所以M点的坐标为$\left(\frac{6}{5}, \frac{8}{5}\right)$。
8. 在Rt△BEM中，BE = 1，BM的长度为：
$ BM = \sqrt{\left(2 - \frac{6}{5}\right)^2 + \left(2 - \frac{8}{5}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{4}{25}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $
9. 在Rt△BCM中，BC = 2，BM的长度为：
$ BM为公共边 $
10. 根据相似三角形的性质，Rt△BEM与Rt△BCM的高的比等于对应边的比：
$ 高的比 = \frac{BE}{BC} = \frac{1}{2} $

3. 已知两个相似三角形的一组对应边分别是15 cm和23 cm,它们的周长差为40 cm,则这两个三角形的周长分别是()
A.75 cm,115 cm
B.60 cm,100 cm
C.85 cm,125 cm
D.45 cm,85 cm

A

设两个三角形的周长分别为 $ P_1 $ 和 $ P_2 $，且 $ P_2 ＞ P_1 $。
根据相似三角形的性质，周长比等于对应边比，即：
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{23}{15}$
由题意，周长差为 $ P_2 - P_1 = 40 $。
将 $ P_2 = \frac{23}{15}P_1 $ 代入周长差公式：
$\frac{23}{15}P_1 - P_1 = 40$
化简得：
$\frac{8}{15}P_1 = 40 \quad \Rightarrow \quad P_1 = \frac{40 × 15}{8} = 75 \, cm$
则 $ P_2 = 75 + 40 = 115 \, cm $。

4. 若两个相似三角形的对应高之比为2:3,则对应角平分线之比为,对应中线之比为.

2:3；2:3

根据相似三角形的性质：
1. 相似三角形的对应高之比等于相似比。
2. 相似三角形的对应角平分线之比等于相似比。
3. 相似三角形的对应中线之比等于相似比。
已知两个相似三角形的对应高之比为2:3，所以相似比为2:3。
因此，对应角平分线之比也为2:3，对应中线之比也为2:3。