23. 如图所示,在长和宽分别是a,b的矩形纸片的四个角剪去一个边长为x的正方形.
(1)用a,b,x表示纸片剩余部分的面积；
(2)当$a= 6,b= 4$,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时,求正方形的边长.

(1)
矩形纸片的面积为$ab$，剪去的四个正方形的面积和为$4x^{2}$，所以纸片剩余部分的面积为$ab - 4x^{2}$。
(2)
已知剪去部分的面积等于剩余部分的面积，则$4x^{2}=ab - 4x^{2}$。
把$a = 6$，$b = 4$代入$4x^{2}=ab - 4x^{2}$得：
$4x^{2}=6×4 - 4x^{2}$
$4x^{2}+4x^{2}=24$
$8x^{2}=24$
$x^{2}=3$
解得$x=\pm\sqrt{3}$，因为边长不能为负，所以$x = \sqrt{3}$。
综上，(1)纸片剩余部分的面积为$ab - 4x^{2}$；(2)正方形的边长为$\sqrt{3}$。

24. 某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500 kg,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20 kg.
(1)现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克水果应涨价多少元？
(2)若该商场单纯从经济角度看,每千克这种水果涨价多少元,能使商场获利最多？

(1) 5
(2) 7.5

(1) 设每千克水果涨价 $x$ 元，盈利为 10 元每千克时日销售量为 500 kg，则涨价后每千克盈利为 $10 + x$ 元，日销售量为 $500 - 20x$ kg。
根据题意，每天盈利 6000 元，因此有方程：
$(10 + x)(500 - 20x) = 6000$
展开得：
$5000 + 300x - 20x^2 = 6000$
整理得：
$20x^2 - 300x + 1000 = 0$
除以20得：
$x^2 - 15x + 50 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 10) = 0$
解得 $x_1 = 5$，$x_2 = 10$。
由于要顾客得到实惠，所以涨价应尽可能少，因此 $x = 5$。
(2) 设涨价 $x$ 元时总利润为 $y$ 元，则
$y = (10 + x)(500 - 20x)$
$= -20x^2 + 300x + 5000$
这是一个开口向下的二次函数，其最大值出现在对称轴上，对称轴为 $x = -\frac{b}{2a} = \frac{300}{2 × (-20)} = 7.5$。
将 $x = 7.5$ 代入 $y$ 的表达式中，得到最大利润。
因此，当 $x = 7.5$ 时，$y$ 取得最大值。