【例题】如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 6,$\tan A= \frac{4}{3}$,求$\sin A$,$\cos B$的值.
【思路点拨】由$\tan A= \frac{BC}{AC}$和AC的长可求得BC的长,再用勾股定理求出AB的长,即可求出$\sin A$,$\cos B$的值.
【解答】
【学法点睛】(1)从定义上可以看出,对于锐角A的每一个确定的值,$\tan A$都有唯一确定的值与它对应,所以$\tan A$是∠A的函数.
(2)正弦、余弦、正切间的关系.
在Rt△ABC中,∠C= 90°,三边分别为a,b,c.则①$\sin A= \frac{a}{c}= \cos B$,$\sin B= \frac{b}{c}= \cos A$;②$\tan A= \frac{a}{b}$,$\tan B= \frac{b}{a}$;③$\frac{\sin B}{\cos B}= \frac{b}{c}÷\frac{a}{c}= \frac{b}{a}= \tan B$.

先求出$BC = 8$，$AB = 10$，$\sin A=\frac{4}{5}$，$\cos B=\frac{4}{5}$ 。（本题为计算题，无选项）

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\tan A=\frac{BC}{AC}$，已知$AC = 6$，$\tan A=\frac{4}{3}$，则$BC = AC×\tan A=6×\frac{4}{3}=8$。
根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$。
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。
因为$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，所以$\cos B=\sin A=\frac{4}{5}$。

1. 一个直角三角形有两条边长为3,4,则较小锐角的正切值为()
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{4}或\frac{\sqrt{7}}{3}$
D.以上均不对

C

1. 当$4$是直角边时：
直角三角形的两条直角边分别为$3$和$4$，根据正切函数的定义，正切值等于对边比邻边。
较小锐角所对的直角边为$3$，邻边为$4$，所以较小锐角的正切值$\tan\alpha=\frac{3}{4}$。
2. 当$4$是斜边时：
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为直角边），已知一条直角边为$3$，斜边为$4$，则另一条直角边为$\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{16 - 9}=\sqrt{7}$。
较小锐角所对的直角边为$\sqrt{7}$，邻边为$3$，所以较小锐角的正切值$\tan\beta=\frac{\sqrt{7}}{3}$。
综上，较小锐角的正切值为$\frac{3}{4}$或$\frac{\sqrt{7}}{3}$。

2. 如图,已知在Rt△ABC中,∠C= 90°,BC= 2,$\tan A= \frac{1}{2}$,则AC的长是()

A.4
B.8
C.$2\sqrt{5}$
D.$4\sqrt{5}$

A

在Rt△ABC中，∠C=90°，已知BC=2，$\tan A=\frac{1}{2}$。
根据正切定义，$\tan A=\frac{对边}{邻边}=\frac{BC}{AC}$。
所以$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，即$\frac{2}{AC}=\frac{1}{2}$。
解得AC=4。

3. 如图,在正方形网格中(每个小正方形的边长均为1),$\tan\alpha$的值是()

A.1
B.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.2

C

将$\alpha$放在一个直角三角形中，对边选取水平方向长度为1的线段，邻边选取竖直方向长度为2的线段。
$\tan\alpha=\frac{对边}{邻边}=\frac{1}{2}$。

4. 在△ABC中,若∠C= 90°,AB= 13,AC= 5,则$\sin B$=,$\cos B$=,$\tan B$=.

$\frac{5}{13}$；$\frac{12}{13}$；$\frac{5}{12}$。

在直角三角形$ABC$中，由于$\angle C = 90^\circ$，$AB = 13$，$AC = 5$，
根据勾股定理，有$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$，
根据三角函数的定义：
$\sin B = \frac{对边}{斜边} = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{13}$，
$\cos B = \frac{邻边}{斜边} = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{13}$，
$\tan B = \frac{对边}{邻边} = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{12}$。

5. 在△ABC中,∠C= 90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,若b= 2a,则$\tan A$= .

$\frac{1}{2}$

在直角三角形$△ABC$中，由于$∠C= 90°$，则$a$和$b$为直角边，$c$为斜边。
根据正切函数的定义，有$\tan A = \frac{{对边}}{{邻边}} = \frac{a}{b}$。
题目给出$b= 2a$，代入得$\tan A = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$。

6. 在△ABC中,∠C= 90°,若$\tan A= \frac{5}{12}$,则$\sin B$= .

$\frac{12}{13}$

在直角三角形$ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\tan A=\frac{5}{12}$。
设$BC=5k$，$AC=12k$，由勾股定理得$AB=\sqrt{(5k)^2+(12k)^2}=\sqrt{25k^2+144k^2}=\sqrt{169k^2}=13k$。
因为$\angle A+\angle B=90^\circ$，所以$\sin B=\cos A$。
$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{12k}{13k}=\frac{12}{13}$，所以$\sin B=\frac{12}{13}$。