7. 如图,一个长方形的长和宽分别为 $ 4.8 \, cm $ 和 $ 1.4 \, cm $,则它的对角线的长为。

5 cm

长方形的对角线与长和宽构成直角三角形，其中长和宽为直角边，对角线为斜边。
根据勾股定理，对角线长为：
$\sqrt{4.8^2 + 1.4^2} = \sqrt{23.04 + 1.96} = \sqrt{25} = 5 \, cm$
5 cm

8. 如果一个直角三角形的一条直角边和斜边的长分别等于 $ m $ 和 $ n $,那么以它的另一条直角边为边的正方形的面积等于。

$n^2 - m^2$

9. 如图,在一个高 $ BC $ 为 $ 6 \, m $、长 $ AC $ 为 $ 10 \, m $、宽为 $ 2.5 \, m $ 的楼梯表面铺地毯,若每平方米地毯价格为 50 元,你知道共需要多少钱吗？

1750 元

在直角三角形$ABC$中，$AC = 10\,m$，$BC = 6\,m$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8\,m$。
地毯展开后，长度为$AB + BC=8 + 6=14\,m$，宽度为$2.5\,m$，面积为$14×2.5 = 35\,m^2$。
总费用为$35×50=1750\,元$。
1750 元

10. 如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆 $ 8 \, m $ 处,发现此时绳子末端距离地面 $ 2 \, m $,求旗杆的高度。(滑轮上方的部分忽略不计)

解：如图，过点 B 作 $BC \perp AE$ 于点 C，则 $BC = DE = 8\ m$。设 $AE = x\ m$，则 $AB = x\ m$，$AC = (x - 2)\ m$。在 $Rt\triangle ABC$ 中，$AC^2 + BC^2 = AB^2$，即 $(x - 2)^2 + 8^2 = x^2$，解得 $x = 17$。故旗杆的高度为 17 m。

11. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = 13 $,$ BC = 14 $,$ AC = 15 $,求 $ BC $ 边上的高 $ AD $ 的长度。

12

解：设 $ BD = x $，则 $ DC = 14 - x $。
在 $ \triangle ABD $ 中，由勾股定理得：$ AD^2 = AB^2 - BD^2 = 13^2 - x^2 $。
在 $ \triangle ACD $ 中，由勾股定理得：$ AD^2 = AC^2 - DC^2 = 15^2 - (14 - x)^2 $。
则 $ 13^2 - x^2 = 15^2 - (14 - x)^2 $，
展开得：$ 169 - x^2 = 225 - (196 - 28x + x^2) $，
化简得：$ 169 - x^2 = 225 - 196 + 28x - x^2 $，
即 $ 169 = 29 + 28x $，
解得 $ x = 5 $。
所以 $ AD^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 $，
则 $ AD = \sqrt{144} = 12 $。
12

12. 如图,将边长为 $ 8 \, cm $ 的正方形纸片 $ ABCD $ 折叠,使点 $ D $ 落在 $ BC $ 边的中点 $ E $ 处,点 $ A $ 落在点 $ F $ 处,折痕为 $ MN $,求线段 $ CN $ 的长。

解：设 $CN = x\ cm$，则 $DN = EN = (8 - x)\ cm$。因为 E 为 BC 边的中点，所以 $CE = \frac{1}{2}BC = 4\ cm$。在 $Rt\triangle ECN$ 中，$EN^2 = EC^2 + CN^2$，即 $(8 - x)^2 = 4^2 + x^2$，解得 $x = 3$，即 $CN = 3\ cm$。

解：设$CN = x\ cm$，则$DN = EN = (8 - x)\ cm$。
因为$E$为$BC$边的中点，$BC = 8\ cm$，所以$CE=\frac{1}{2}BC = 4\ cm$。
在$Rt\triangle ECN$中，由勾股定理得$EN^2=EC^2 + CN^2$，即$(8 - x)^2=4^2 + x^2$。
展开得$64-16x+x^2 = 16+x^2$，移项化简得$-16x=16 - 64$，即$-16x=-48$，解得$x = 3$。
故$CN = 3\ cm$。