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1. 下列算式计算结果为 $x^{2} - x - 12$ 的是(
A.$(x + 3)(x - 4)$
B.$(x - 3)(x + 4)$
C.$(x - 3)(x - 4)$
D.$(x + 3)(x + 4)$
A
)A.$(x + 3)(x - 4)$
B.$(x - 3)(x + 4)$
C.$(x - 3)(x - 4)$
D.$(x + 3)(x + 4)$
答案
A
解析
要找出计算结果为 $x^2 - x - 12$ 的选项，可分别展开各选项的乘积：
A：$(x + 3)(x - 4) = x^2 - 4x + 3x - 12 = x^2 - x - 12$，符合要求。
B：$(x - 3)(x + 4) = x^2 + 4x - 3x - 12 = x^2 + x - 12$，不符合。
C：$(x - 3)(x - 4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$，不符合。
D：$(x + 3)(x + 4) = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$，不符合。
2. 如果关于 $x$ 的多项式 $(2x - m)$ 与 $(x + 5)$ 的乘积中,常数项为 $15$,则 $m$ 的值为(
A.$3$
B.$-3$
C.$10$
D.$-10$
B
)A.$3$
B.$-3$
C.$10$
D.$-10$
答案
B
解析
首先根据多项式乘法的分配律，$(2x - m)(x + 5)$ 的常数项是 $-m × 5 = -5m$。
题目中给出常数项为 $15$，因此有 $-5m = 15$，解得 $m = -3$。
题目中给出常数项为 $15$，因此有 $-5m = 15$，解得 $m = -3$。
3. 若 $(x + 2)(x + a) = x^{2} - bx - 8$,则 $a^{b}$ 的值是(
A.$-8$
B.$-4$
C.$\frac{1}{8}$
D.$16$
D
)A.$-8$
B.$-4$
C.$\frac{1}{8}$
D.$16$
答案
D
解析
先将左边展开得$(x + 2)(x + a)=x^2+(a + 2)x + 2a$，
因为$(x + 2)(x + a)=x^{2}-bx - 8$，
所以$x^2+(a + 2)x + 2a=x^2 - bx - 8$，
则$\begin{cases}a + 2=-b\\2a=-8\end{cases}$，
由$2a=-8$得$a = - 4$，
把$a = - 4$代入$a + 2=-b$，得$-4 + 2=-b$，即$b = 2$，
所以$a^b=(-4)^2 = 16$。
因为$(x + 2)(x + a)=x^{2}-bx - 8$，
所以$x^2+(a + 2)x + 2a=x^2 - bx - 8$，
则$\begin{cases}a + 2=-b\\2a=-8\end{cases}$，
由$2a=-8$得$a = - 4$，
把$a = - 4$代入$a + 2=-b$，得$-4 + 2=-b$，即$b = 2$，
所以$a^b=(-4)^2 = 16$。
4. 若 $(2x + m)(x - 3)$ 的展开式中不含 $x$ 项,则实数 $m$ 的值为(
A.$-6$
B.$0$
C.$3$
D.$6$
D
)A.$-6$
B.$0$
C.$3$
D.$6$
答案
D
解析
首先，我们将多项式 $(2x + m)(x - 3)$ 展开，得到：
$(2x + m)(x - 3) = 2x^2 - 6x + mx - 3m = 2x^2 + (m - 6)x - 3m$，
由题目要求，展开式中不含 $x$ 项，即 $x$ 的系数应为0，所以我们有：
$m - 6 = 0$，
解这个方程，我们得到 $m = 6$。
$(2x + m)(x - 3) = 2x^2 - 6x + mx - 3m = 2x^2 + (m - 6)x - 3m$，
由题目要求，展开式中不含 $x$ 项，即 $x$ 的系数应为0，所以我们有：
$m - 6 = 0$，
解这个方程，我们得到 $m = 6$。
5. 计算：
(1) $(2x + 3y)(3x - 2y)$；
(2) $(2x - y)(2x + y + 1)$；
(3) $(2a + b)(2a - b)(4a^{2} + b^{2})$；
(4) $3(2x - 1)(x + 6) - 5(x - 3)(x + 6)$。
(1) $(2x + 3y)(3x - 2y)$；
(2) $(2x - y)(2x + y + 1)$；
(3) $(2a + b)(2a - b)(4a^{2} + b^{2})$；
(4) $3(2x - 1)(x + 6) - 5(x - 3)(x + 6)$。
答案
(1)
$\begin{aligned}&(2x + 3y)(3x - 2y)\\=&2x×3x-2x×2y + 3y×3x-3y×2y\\=&6x^{2}-4xy + 9xy-6y^{2}\\=&6x^{2}+5xy - 6y^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(2x - y)(2x + y + 1)\\=&(2x - y)(2x + y)+(2x - y)×1\\=&(4x^{2}-y^{2})+2x - y\\=&4x^{2}-y^{2}+2x - y\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&(2a + b)(2a - b)(4a^{2} + b^{2})\\=&(4a^{2}-b^{2})(4a^{2}+b^{2})\\=&16a^{4}-b^{4}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&3(2x - 1)(x + 6)-5(x - 3)(x + 6)\\=&3(2x^{2}+12x - x - 6)-5(x^{2}+6x - 3x - 18)\\=&3(2x^{2}+11x - 6)-5(x^{2}+3x - 18)\\=&6x^{2}+33x - 18-(5x^{2}+15x - 90)\\=&6x^{2}+33x - 18 - 5x^{2}-15x + 90\\=&x^{2}+18x + 72\end{aligned}$
$\begin{aligned}&(2x + 3y)(3x - 2y)\\=&2x×3x-2x×2y + 3y×3x-3y×2y\\=&6x^{2}-4xy + 9xy-6y^{2}\\=&6x^{2}+5xy - 6y^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(2x - y)(2x + y + 1)\\=&(2x - y)(2x + y)+(2x - y)×1\\=&(4x^{2}-y^{2})+2x - y\\=&4x^{2}-y^{2}+2x - y\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&(2a + b)(2a - b)(4a^{2} + b^{2})\\=&(4a^{2}-b^{2})(4a^{2}+b^{2})\\=&16a^{4}-b^{4}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&3(2x - 1)(x + 6)-5(x - 3)(x + 6)\\=&3(2x^{2}+12x - x - 6)-5(x^{2}+6x - 3x - 18)\\=&3(2x^{2}+11x - 6)-5(x^{2}+3x - 18)\\=&6x^{2}+33x - 18-(5x^{2}+15x - 90)\\=&6x^{2}+33x - 18 - 5x^{2}-15x + 90\\=&x^{2}+18x + 72\end{aligned}$
6. 若 $M = (x - 3)(x - 5)$,$N = (x - 2)(x - 6)$,则 $M$ 与 $N$ 的关系是(
A.$M ＞ N$
B.$M = N$
C.$M ＜ N$
D.不确定
A
)A.$M ＞ N$
B.$M = N$
C.$M ＜ N$
D.不确定
答案
A
解析
首先，计算$M$和$N$的表达式：
$M = (x - 3)(x - 5) = x^2 - 5x - 3x + 15 = x^2 - 8x + 15$，
$N = (x - 2)(x - 6) = x^2 - 6x - 2x + 12 = x^2 - 8x + 12$。
接着，计算$M$和$N$的差： $M - N = (x^2 - 8x + 15) - (x^2 - 8x + 12) = 3$，
由于$M - N = 3 ＞ 0$，因此$M ＞ N$。
$M = (x - 3)(x - 5) = x^2 - 5x - 3x + 15 = x^2 - 8x + 15$，
$N = (x - 2)(x - 6) = x^2 - 6x - 2x + 12 = x^2 - 8x + 12$。
接着，计算$M$和$N$的差： $M - N = (x^2 - 8x + 15) - (x^2 - 8x + 12) = 3$，
由于$M - N = 3 ＞ 0$，因此$M ＞ N$。
7. 观察下列各式的规律：
$(x - 1)(x + 1) = x^{2} - 1$
$(x - 1)(x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$
$(x - 1)(x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$
……
可得到 $(x - 1)(x^{7} + x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) = $
一般地,$(x - 1)(x^{n} + x^{n - 1} + … + x^{2} + x + 1) = $
$(x - 1)(x + 1) = x^{2} - 1$
$(x - 1)(x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$
$(x - 1)(x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$
……
可得到 $(x - 1)(x^{7} + x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) = $
$x^{8}-1$
；一般地,$(x - 1)(x^{n} + x^{n - 1} + … + x^{2} + x + 1) = $
$x^{n+1}-1$
。答案
$x^{8}-1$；$x^{n+1}-1$
解析
观察已知等式，左边为$(x - 1)$与一个多项式相乘，多项式的各项系数为1，次数从$x^{n}$依次递减到$x^{0}$（即常数项1）。右边结果为$x$的最高次幂加1次方减1。
对于$(x - 1)(x^{7} + x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)$，最高次项为$x^{7}$，故结果为$x^{8} - 1$；
一般地，$(x - 1)(x^{n} + x^{n - 1} + … + x^{2} + x + 1)$，最高次项为$x^{n}$，结果为$x^{n + 1} - 1$。
对于$(x - 1)(x^{7} + x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)$，最高次项为$x^{7}$，故结果为$x^{8} - 1$；
一般地，$(x - 1)(x^{n} + x^{n - 1} + … + x^{2} + x + 1)$，最高次项为$x^{n}$，结果为$x^{n + 1} - 1$。
8. 某居民小组正在进行美丽乡村建设,为了提升居民的幸福指数,现规划将一块长 $(9a - 1)$m、宽 $(3b - 5)$m 的长方形场地(如图)打造成居民健身场所,具体规划为：在这块场地中分割出一块长 $(3a + 1)$m、宽 $b$m 的长方形场地建篮球场,其余的地方安装各种健身器材。
(1) 求安装健身器材的区域面积；
(2) 当 $a = 9$,$b = 15$ 时,求安装健身器材的区域面积。
(1) 求安装健身器材的区域面积；
(2) 当 $a = 9$,$b = 15$ 时,求安装健身器材的区域面积。
答案
(1)
长方形场地面积为$(9a - 1)(3b - 5)$
$=(9a×3b-9a×5 - 1×3b + 1×5)$
$=27ab-45a - 3b + 5$（$m^{2}$）
篮球场面积为$b(3a + 1)=(3ab + b)$（$m^{2}$）
安装健身器材的区域面积为：
$(27ab-45a - 3b + 5)-(3ab + b)$
$=27ab-45a - 3b + 5 - 3ab - b$
$=(24ab-45a - 4b + 5)$（$m^{2}$）
(2)
当$a = 9$，$b = 15$时，
$24ab-45a - 4b + 5$
$=24×9×15-45×9 - 4×15 + 5$
$=3240-405 - 60 + 5$
$=2780$（$m^{2}$）
答：(1)安装健身器材的区域面积为$(24ab - 45a - 4b + 5)m^{2}$；(2)当$a = 9$，$b = 15$时，安装健身器材的区域面积为$2780m^{2}$。
长方形场地面积为$(9a - 1)(3b - 5)$
$=(9a×3b-9a×5 - 1×3b + 1×5)$
$=27ab-45a - 3b + 5$（$m^{2}$）
篮球场面积为$b(3a + 1)=(3ab + b)$（$m^{2}$）
安装健身器材的区域面积为：
$(27ab-45a - 3b + 5)-(3ab + b)$
$=27ab-45a - 3b + 5 - 3ab - b$
$=(24ab-45a - 4b + 5)$（$m^{2}$）
(2)
当$a = 9$，$b = 15$时，
$24ab-45a - 4b + 5$
$=24×9×15-45×9 - 4×15 + 5$
$=3240-405 - 60 + 5$
$=2780$（$m^{2}$）
答：(1)安装健身器材的区域面积为$(24ab - 45a - 4b + 5)m^{2}$；(2)当$a = 9$，$b = 15$时，安装健身器材的区域面积为$2780m^{2}$。
