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1. (2024·湖北中考)计算$2x\cdot 3x^{2}$的结果是(
A.$5x^{2}$
B.$6x^{2}$
C.$5x^{3}$
D.$6x^{3}$
D
)A.$5x^{2}$
B.$6x^{2}$
C.$5x^{3}$
D.$6x^{3}$
答案
D
解析
根据单项式与单项式相乘的法则，系数相乘，同底数幂相乘。
$2x \cdot 3x^{2} = (2 \cdot 3) \cdot (x \cdot x^{2}) = 6 \cdot x^{1+2} = 6x^{3}$
$2x \cdot 3x^{2} = (2 \cdot 3) \cdot (x \cdot x^{2}) = 6 \cdot x^{1+2} = 6x^{3}$
2. 若一个长方形的长为$6x^{2}y$,宽为$3xy$,则它的面积为(
A.$9x^{3}y^{2}$
B.$18x^{3}y^{2}$
C.$18x^{2}y$
D.$6xy^{2}$
B
)A.$9x^{3}y^{2}$
B.$18x^{3}y^{2}$
C.$18x^{2}y$
D.$6xy^{2}$
答案
B
解析
长方形的面积公式为长乘以宽，即 $6x^{2}y × 3xy$。
将系数相乘：$6 × 3 = 18$，
将 $x$ 的指数相加：$x^{2} \cdot x = x^{3}$，
将 $y$ 的指数相加：$y \cdot y = y^{2}$。
因此，结果为 $18x^{3}y^{2}$。
将系数相乘：$6 × 3 = 18$，
将 $x$ 的指数相加：$x^{2} \cdot x = x^{3}$，
将 $y$ 的指数相加：$y \cdot y = y^{2}$。
因此，结果为 $18x^{3}y^{2}$。
3. 下列计算正确的是(
A.$2a^{2}\cdot 3ab= 9a^{3}b$
B.$(x^{2})^{3}+(x^{3})^{2}= 2x^{5}$
C.$(-3a^{2}b)\cdot (-3ab)= -6a^{3}b^{2}$
D.$(ab)^{2}\cdot (-a^{2}b)= -a^{4}b^{3}$
D
)A.$2a^{2}\cdot 3ab= 9a^{3}b$
B.$(x^{2})^{3}+(x^{3})^{2}= 2x^{5}$
C.$(-3a^{2}b)\cdot (-3ab)= -6a^{3}b^{2}$
D.$(ab)^{2}\cdot (-a^{2}b)= -a^{4}b^{3}$
答案
D
解析
A. $2a^{2} \cdot 3ab = 6a^{3}b \neq 9a^{3}b$，选项错误。
B. $(x^{2})^{3} + (x^{3})^{2} = x^{6} + x^{6} = 2x^{6} \neq 2x^{5}$，选项错误。
C. $(-3a^{2}b) \cdot (-3ab) = 9a^{3}b^{2} \neq -6a^{3}b^{2}$，选项错误。
D. $(ab)^{2} \cdot (-a^{2}b) = a^{2}b^{2} \cdot (-a^{2}b) = -a^{4}b^{3}$，选项正确。
B. $(x^{2})^{3} + (x^{3})^{2} = x^{6} + x^{6} = 2x^{6} \neq 2x^{5}$，选项错误。
C. $(-3a^{2}b) \cdot (-3ab) = 9a^{3}b^{2} \neq -6a^{3}b^{2}$，选项错误。
D. $(ab)^{2} \cdot (-a^{2}b) = a^{2}b^{2} \cdot (-a^{2}b) = -a^{4}b^{3}$，选项正确。
4. 计算$2xy\cdot (-\frac {1}{2}x^{2}y^{2}z)\cdot (-3x^{3}y^{3})$的结果是(
A.$3x^{6}y^{6}z$
B.$-3x^{6}y^{6}z$
C.$3x^{5}y^{5}z$
D.$-3x^{5}y^{5}z$
A
)A.$3x^{6}y^{6}z$
B.$-3x^{6}y^{6}z$
C.$3x^{5}y^{5}z$
D.$-3x^{5}y^{5}z$
答案
A
解析
根据题意计算：
$2xy \cdot (-\frac{1}{2}x^{2}y^{2}z) \cdot (-3x^{3}y^{3})$
1. 系数相乘：
$2 × (-\frac{1}{2}) × (-3) = 2 × \frac{3}{2} = 3$
2. $x$ 的指数相加：
$x^{1} \cdot x^{2} \cdot x^{3} = x^{1+2+3} = x^{6}$
3. $y$ 的指数相加：
$y^{1} \cdot y^{2} \cdot y^{3} = y^{1+2+3} = y^{6}$
4. $z$ 的指数：
仅第二个单项式含 $z$，指数为 $1$，因此结果为 $z$。
综上，结果为 $3x^{6}y^{6}z$。
5. 计算：$(-2x^{2}y)\cdot (3xy^{2})^{2}= $
$-18x^{4}y^{5}$
.答案
$-18x^{4}y^{5}$。
解析
首先计算 $(3xy^{2})^{2}$，
$(3xy^{2})^{2} = 9x^{2}y^{4}$，
接着，将其与 $-2x^{2}y$ 相乘，
$(-2x^{2}y) \cdot (9x^{2}y^{4}) = -18x^{4}y^{5}$。
$(3xy^{2})^{2} = 9x^{2}y^{4}$，
接着，将其与 $-2x^{2}y$ 相乘，
$(-2x^{2}y) \cdot (9x^{2}y^{4}) = -18x^{4}y^{5}$。
6. 计算：
(1)$4xy^{2}\cdot (-\frac {3}{8}x^{2}yz^{3})$；
(2)$3.2mn^{2}\cdot (-0.125m^{2}n^{3})$；
(3)$3a^{2}b\cdot 2ab^{2}\cdot (-5ac^{2})$；
(4)$(2x^{2}y)\cdot (3xy^{2})-4xy\cdot (xy)^{2}$.
(1)$4xy^{2}\cdot (-\frac {3}{8}x^{2}yz^{3})$；
(2)$3.2mn^{2}\cdot (-0.125m^{2}n^{3})$；
(3)$3a^{2}b\cdot 2ab^{2}\cdot (-5ac^{2})$；
(4)$(2x^{2}y)\cdot (3xy^{2})-4xy\cdot (xy)^{2}$.
答案
(1)
$4xy^{2}\cdot (-\frac {3}{8}x^{2}yz^{3})$
$=(4×(-\frac{3}{8}))×(x\cdot x^{2})×(y^{2}\cdot y)× z^{3}$
$=-\frac{3}{2}x^{3}y^{3}z^{3}$
(2)
$3.2mn^{2}\cdot (-0.125m^{2}n^{3})$
$=[3.2×(-0.125)]×(m\cdot m^{2})×(n^{2}\cdot n^{3})$
$=-0.4m^{3}n^{5}$
(3)
$3a^{2}b\cdot 2ab^{2}\cdot (-5ac^{2})$
$=[3×2×(-5)]×(a^{2}\cdot a\cdot a)×(b\cdot b^{2})× c^{2}$
$=-30a^{4}b^{3}c^{2}$
(4)
$(2x^{2}y)\cdot (3xy^{2})-4xy\cdot (xy)^{2}$
$=(2x^{2}y×3xy^{2})-4xy× x^{2}y^{2}$
$=(6x^{3}y^{3}) - 4x^{3}y^{3}$
$=2x^{3}y^{3}$
$4xy^{2}\cdot (-\frac {3}{8}x^{2}yz^{3})$
$=(4×(-\frac{3}{8}))×(x\cdot x^{2})×(y^{2}\cdot y)× z^{3}$
$=-\frac{3}{2}x^{3}y^{3}z^{3}$
(2)
$3.2mn^{2}\cdot (-0.125m^{2}n^{3})$
$=[3.2×(-0.125)]×(m\cdot m^{2})×(n^{2}\cdot n^{3})$
$=-0.4m^{3}n^{5}$
(3)
$3a^{2}b\cdot 2ab^{2}\cdot (-5ac^{2})$
$=[3×2×(-5)]×(a^{2}\cdot a\cdot a)×(b\cdot b^{2})× c^{2}$
$=-30a^{4}b^{3}c^{2}$
(4)
$(2x^{2}y)\cdot (3xy^{2})-4xy\cdot (xy)^{2}$
$=(2x^{2}y×3xy^{2})-4xy× x^{2}y^{2}$
$=(6x^{3}y^{3}) - 4x^{3}y^{3}$
$=2x^{3}y^{3}$
7. 已知$-3x^{4b - 1}y^{2}与x^{3}y^{a + b}$是同类项,那么这两个单项式的积是(
A.$3x^{6}y^{4}$
B.$-x^{3}y^{2}$
C.$x^{3}y^{2}$
D.$-3x^{6}y^{4}$
D
)A.$3x^{6}y^{4}$
B.$-x^{3}y^{2}$
C.$x^{3}y^{2}$
D.$-3x^{6}y^{4}$
答案
D
解析
根据同类项的定义，两个单项式为同类项时，对应字母的指数相同。
所以有：
$4b - 1 = 3$ ，
$a + b = 2$ 。
解第一个方程 $4b - 1 = 3$，得到：
$4b = 4$ ，
$b = 1$ ，
将 $b = 1$ 代入第二个方程 $a + b = 2$，得到：
$a + 1 = 2$ ，
$a = 1$ ，
所以，原两个单项式分别为 $-3x^{3}y^{2}$ 和 $x^{3}y^{2}$。
两单项式相乘，使用单项式乘法法则：系数相乘，相同字母的幂相乘，
即：
$(-3x^{3}y^{2}) × (x^{3}y^{2}) = -3x^{3+3}y^{2+2} = -3x^{6}y^{4}$
8. 计算$-(a^{2}b)^{3}+2a^{2}b\cdot (-3a^{2}b)^{2}$的结果是(
A.$-17a^{6}b^{3}$
B.$-18a^{6}b^{3}$
C.$17a^{6}b^{3}$
D.$18a^{6}b$
C
)A.$-17a^{6}b^{3}$
B.$-18a^{6}b^{3}$
C.$17a^{6}b^{3}$
D.$18a^{6}b$
答案
C
解析
$\begin{aligned}&-(a^{2}b)^{3}+2a^{2}b\cdot (-3a^{2}b)^{2}\\=&-a^{6}b^{3}+2a^{2}b\cdot 9a^{4}b^{2}\\=&-a^{6}b^{3}+18a^{6}b^{3}\\=&17a^{6}b^{3}\end{aligned}$
9. 若$(-a^{m + 1}b^{2n + 2})\cdot (2a^{2m - 1}b^{1 - n})= -2a^{6}b^{3}$,则$mn$的值为(
A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$2$
C
)A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$2$
答案
C
解析
根据单项式乘单项式的法则，有：$(-a^{m + 1}b^{2n + 2}) \cdot (2a^{2m - 1}b^{1 - n}) = -2a^{m + 1+2m - 1}b^{2n + 2+1 - n} = -2a^{3m}b^{n + 3}$，
由于这个表达式等于 $-2a^{6}b^{3}$，根据等式的性质，可以得到以下两个方程：
$3m = 6$，
$n + 3 = 3$，
解这两个方程，得到：
$m = 2$，
$n = 0$，
所以 $mn = 2 × 0 = 0$。
由于这个表达式等于 $-2a^{6}b^{3}$，根据等式的性质，可以得到以下两个方程：
$3m = 6$，
$n + 3 = 3$，
解这两个方程，得到：
$m = 2$，
$n = 0$，
所以 $mn = 2 × 0 = 0$。
10. 已知$x$,$y满足|x - 3|+(y + 1)^{2}= 0$,试求代数式$-2xy\cdot 5xy^{3}+\frac {1}{2}x^{2}y^{2}\cdot 2y^{2}+(2xy^{2})^{2}$的值.
答案
-45
解析
因为|x - 3| + (y + 1)² = 0，且|x - 3| ≥ 0，(y + 1)² ≥ 0，所以x - 3 = 0，y + 1 = 0，解得x = 3，y = -1。
化简代数式：
-2xy·5xy³ = (-2×5)·(x·x)·(y·y³) = -10x²y⁴；
(1/2)x²y²·2y² = (1/2×2)·x²·(y²·y²) = x²y⁴；
(2xy²)² = 2²·x²·(y²)² = 4x²y⁴；
原式 = -10x²y⁴ + x²y⁴ + 4x²y⁴ = (-10 + 1 + 4)x²y⁴ = -5x²y⁴。
将x = 3，y = -1代入-5x²y⁴：
-5×3²×(-1)⁴ = -5×9×1 = -45。
化简代数式：
-2xy·5xy³ = (-2×5)·(x·x)·(y·y³) = -10x²y⁴；
(1/2)x²y²·2y² = (1/2×2)·x²·(y²·y²) = x²y⁴；
(2xy²)² = 2²·x²·(y²)² = 4x²y⁴；
原式 = -10x²y⁴ + x²y⁴ + 4x²y⁴ = (-10 + 1 + 4)x²y⁴ = -5x²y⁴。
将x = 3，y = -1代入-5x²y⁴：
-5×3²×(-1)⁴ = -5×9×1 = -45。
11. 光在真空中的传播速度约是$3×10^{8}\ m/s$,光在真空中沿直线传播一年所经过的距离称为光年.请你计算：
(1)1光年约是多少千米？(一年以$3×10^{7}\ s$计算)
(2)银河系的直径达10万光年,约是多少千米？
(1)1光年约是多少千米？(一年以$3×10^{7}\ s$计算)
(2)银河系的直径达10万光年,约是多少千米？
答案
(1) 因为1千米=1000米，所以先计算光在一年中传播的距离（米）：
$\begin{aligned}&3×10^{8}\ m/s×3×10^{7}\ s\\=&(3×3)×(10^{8}×10^{7})\ m\\=&9×10^{15}\ m\end{aligned}$
再将米换算成千米：$9×10^{15}÷1000 = 9×10^{12}\ 千米$
(2) 银河系直径为10万光年，10万=10^{5}，所以：
$\begin{aligned}&10^{5}×9×10^{12}\ 千米\\=&9×(10^{5}×10^{12})\ 千米\\=&9×10^{17}\ 千米\end{aligned}$
(1) $9×10^{12}$千米
(2) $9×10^{17}$千米
$\begin{aligned}&3×10^{8}\ m/s×3×10^{7}\ s\\=&(3×3)×(10^{8}×10^{7})\ m\\=&9×10^{15}\ m\end{aligned}$
再将米换算成千米：$9×10^{15}÷1000 = 9×10^{12}\ 千米$
(2) 银河系直径为10万光年，10万=10^{5}，所以：
$\begin{aligned}&10^{5}×9×10^{12}\ 千米\\=&9×(10^{5}×10^{12})\ 千米\\=&9×10^{17}\ 千米\end{aligned}$
(1) $9×10^{12}$千米
(2) $9×10^{17}$千米
