6. 如图,□ABCD中,AC,BD交于点E,F为AD中点,连接BF交AC于M,则ME：AC= .

1:6

在□ABCD中，AC、BD交于点E，故E为AC中点，AE=EC=AC/2。F为AD中点，AF=AD/2，又AD=BC，所以AF=BC/2。
因为AD//BC，所以∠AFM=∠CBM，∠FAM=∠BCM，故△AFM∽△CBM，相似比AF/BC=1/2，因此AM/MC=1/2。
设AM=k，则MC=2k，AC=AM+MC=3k，AE=AC/2=3k/2。
ME=AE-AM=3k/2 - k=k/2，故ME:AC=(k/2):3k=1:6。

7. (1)如图1,在△ABC中,D,E,F分别为AB,AC,BC上的点,DE//BC,BF= CF,AF交DE于点G.求证：DG= EG；
(2)如图2,在(1)的条件下,连结CD,CG.若CG⊥DE,CD= 6,AE= 3.求$\frac{DE}{BC}$的值.

(1) ∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∠ADG=∠ABF，∠AGD=∠AFB，∴△ADG∽△ABF，$\frac{DG}{BF}=\frac{AD}{AB}$。同理，∠AEG=∠ACF，∠AGE=∠AFC，∴△AEG∽△ACF，$\frac{EG}{CF}=\frac{AE}{AC}$。∵△ADE∽△ABC，∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。∵BF=CF，∴DG=EG。
(2) ∵DG=EG，CG⊥DE，∴CG垂直平分DE，∴CD=CE。∵CD=6，∴CE=6。∵AE=3，∴AC=AE+EC=3+6=9。∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$

8. 如图,△ABC为正三角形,D,E分别是AC,BC上的点,∠BDE= 60°.
(1)求证：△DEC∽△BDA.
▲(2)若正三角形的边长为4,并设DC= x,BE= y,试求y与x之间的函数表达式及y的最小值.

(1)证明：∵△ABC为正三角形，∴∠A=∠C=60°，AB=AC=BC。
∵∠BDE=60°，且∠ADB+∠BDE+∠CDE=180°，∴∠ADB+∠CDE=120°。
在△ABD中，∠A=60°，∴∠ABD+∠ADB=180°-∠A=120°，∴∠ABD=∠CDE。
∵∠A=∠C=60°，∠ABD=∠CDE，∴△DEC∽△BDA（两角对应相等的两个三角形相似）。
(2)∵正三角形边长为4，DC=x，∴AD=AC-DC=4-x。
∵BE=y，∴EC=BC-BE=4-y。
∵△DEC∽△BDA，∴$\frac{EC}{DA}=\frac{DC}{BA}$。
即$\frac{4-y}{4-x}=\frac{x}{4}$，整理得$4(4-y)=x(4-x)$，
$16-4y=4x-x^2$，$4y=x^2-4x+16$，∴$y=\frac{1}{4}x^2-x+4$。
∵$y=\frac{1}{4}x^2-x+4=\frac{1}{4}(x-2)^2+3$，且$\frac{1}{4}＞0$，
∴当$x=2$时，$y$有最小值3。
函数表达式：$y=\frac{1}{4}x^2-x+4$；$y$的最小值为3。