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1. 函数 $ y = ax^{2}(a\neq0) $ 的图象经过点 $ (a,8) $,则 $ a $ 的值为( )
A.$ \pm2 $
B.$ -2 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $
A.$ \pm2 $
B.$ -2 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $
答案
C
解析
将点$(a,8)$代入函数$y = ax^{2}$，得$8 = a \cdot a^{2}$，即$a^{3}=8$，解得$a=2$。
C
C
2. 抛物线 $ y = -x^{2}+bx + c $ 的最高点是 $ (1,2) $,则此抛物线为( )
A.$ y = -x^{2}+2x + 1 $
B.$ y = -x^{2}-2x + 1 $
C.$ y = -x^{2}+2x - 1 $
D.$ y = -x^{2}-2x - 1 $
A.$ y = -x^{2}+2x + 1 $
B.$ y = -x^{2}-2x + 1 $
C.$ y = -x^{2}+2x - 1 $
D.$ y = -x^{2}-2x - 1 $
答案
A
解析
解：抛物线$y = -x^{2}+bx + c$的对称轴为$x=-\frac{b}{2×(-1)}=\frac{b}{2}$。
因为最高点是$(1,2)$，所以对称轴$x=1$，即$\frac{b}{2}=1$，解得$b=2$。
将$(1,2)$和$b=2$代入抛物线方程得：$2=-(1)^{2}+2×1 + c$，即$2=-1 + 2 + c$，解得$c=1$。
所以抛物线为$y=-x^{2}+2x + 1$。
A
因为最高点是$(1,2)$，所以对称轴$x=1$，即$\frac{b}{2}=1$，解得$b=2$。
将$(1,2)$和$b=2$代入抛物线方程得：$2=-(1)^{2}+2×1 + c$，即$2=-1 + 2 + c$，解得$c=1$。
所以抛物线为$y=-x^{2}+2x + 1$。
A
3. 顶点为 $ (2,3) $,且经过点 $ (3,1) $ 的抛物线是( )
A.$ y = -2x^{2}+8x + 3 $
B.$ y = -2x^{2}-8x + 3 $
C.$ y = -2x^{2}+8x - 5 $
D.$ y = -2x^{2}-8x + 2 $
A.$ y = -2x^{2}+8x + 3 $
B.$ y = -2x^{2}-8x + 3 $
C.$ y = -2x^{2}+8x - 5 $
D.$ y = -2x^{2}-8x + 2 $
答案
C
解析
设抛物线的顶点式为$y = a(x - 2)^2 + 3$。
将点$(3,1)$代入得：$1 = a(3 - 2)^2 + 3$，即$1 = a + 3$，解得$a = -2$。
所以抛物线解析式为$y = -2(x - 2)^2 + 3$，展开得$y = -2(x^2 - 4x + 4) + 3 = -2x^2 + 8x - 8 + 3 = -2x^2 + 8x - 5$。
C
将点$(3,1)$代入得：$1 = a(3 - 2)^2 + 3$，即$1 = a + 3$，解得$a = -2$。
所以抛物线解析式为$y = -2(x - 2)^2 + 3$，展开得$y = -2(x^2 - 4x + 4) + 3 = -2x^2 + 8x - 8 + 3 = -2x^2 + 8x - 5$。
C
4. 已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图象经过点 $ (-1,0) $,$ (0,-2) $,$ (1,-2) $,则这个二次函数的解析式为___。
答案
y=x²-x-2
解析
将点$(-1,0)$，$(0,-2)$，$(1,-2)$分别代入$y = ax^{2}+bx + c$，得：
$\begin{cases}a(-1)^{2}+b(-1)+c=0 \\a(0)^{2}+b(0)+c=-2 \\a(1)^{2}+b(1)+c=-2\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a - b + c = 0 \\c = -2 \\a + b + c = -2\end{cases}$
将$c=-2$代入$a - b + c = 0$，得$a - b - 2 = 0$，即$a - b=2$；
将$c=-2$代入$a + b + c = -2$，得$a + b - 2 = -2$，即$a + b=0$。
联立$\begin{cases}a - b=2 \\ a + b=0\end{cases}$，解得$a=1$，$b=-1$。
所以二次函数解析式为$y=x^{2}-x - 2$。
$\begin{cases}a(-1)^{2}+b(-1)+c=0 \\a(0)^{2}+b(0)+c=-2 \\a(1)^{2}+b(1)+c=-2\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a - b + c = 0 \\c = -2 \\a + b + c = -2\end{cases}$
将$c=-2$代入$a - b + c = 0$，得$a - b - 2 = 0$，即$a - b=2$；
将$c=-2$代入$a + b + c = -2$，得$a + b - 2 = -2$，即$a + b=0$。
联立$\begin{cases}a - b=2 \\ a + b=0\end{cases}$，解得$a=1$，$b=-1$。
所以二次函数解析式为$y=x^{2}-x - 2$。
5. 已知二次函数的图象经过原点及点 $ (2,0) $,且顶点到 $ x $ 轴的距离为 $ 3 $,则该二次函数的解析式是___。
答案
y=-3x²+6x 或 y=3x²-6x
解析
设二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c$。
因为函数图象经过原点$(0,0)$，所以$c=0$，解析式为$y=ax^2+bx$。
又因为图象经过点$(2,0)$，代入得$4a + 2b = 0$，即$b=-2a$，所以解析式可化为$y=ax^2 - 2ax$。
二次函数的顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2a}{2a}=1$。
将$x=1$代入解析式得顶点纵坐标为$y=a(1)^2 - 2a(1)=a - 2a=-a$。
因为顶点到$x$轴的距离为$3$，所以$|-a|=3$，即$a=3$或$a=-3$。
当$a=3$时，$b=-2×3=-6$，解析式为$y=3x^2 - 6x$；
当$a=-3$时，$b=-2×(-3)=6$，解析式为$y=-3x^2 + 6x$。
综上，该二次函数的解析式是$y=-3x^2+6x$或$y=3x^2-6x$。
因为函数图象经过原点$(0,0)$，所以$c=0$，解析式为$y=ax^2+bx$。
又因为图象经过点$(2,0)$，代入得$4a + 2b = 0$，即$b=-2a$，所以解析式可化为$y=ax^2 - 2ax$。
二次函数的顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2a}{2a}=1$。
将$x=1$代入解析式得顶点纵坐标为$y=a(1)^2 - 2a(1)=a - 2a=-a$。
因为顶点到$x$轴的距离为$3$，所以$|-a|=3$，即$a=3$或$a=-3$。
当$a=3$时，$b=-2×3=-6$，解析式为$y=3x^2 - 6x$；
当$a=-3$时，$b=-2×(-3)=6$，解析式为$y=-3x^2 + 6x$。
综上，该二次函数的解析式是$y=-3x^2+6x$或$y=3x^2-6x$。
6. 已知一个二次函数的图象与 $ x $ 轴的两个交点的坐标分别为 $ (-1,0) $ 和 $ (2,0) $,与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ (0,-2) $,求这个二次函数的解析式。
答案
y=x²-x-2
解析
解：设二次函数的解析式为$y=a(x+1)(x-2)$，将$(0,-2)$代入得：$-2=a(0+1)(0-2)$，解得$a=1$，所以二次函数的解析式为$y=(x+1)(x-2)=x^{2}-x-2$。
7. 已知二次函数的图象的对称轴为直线 $ x = 1 $,函数的最大值为 $ -6 $,且图象经过点 $ (2,-8) $,求此二次函数的解析式。
答案
y=-2x²+4x-8
解析
设二次函数的解析式为$y=a(x-h)^2+k$，因为对称轴为直线$x=1$，函数的最大值为$-6$，所以$h=1$，$k=-6$，即$y=a(x-1)^2-6$。
又因为图象经过点$(2,-8)$，将$x=2$，$y=-8$代入解析式得：$-8=a(2-1)^2-6$，即$-8=a-6$，解得$a=-2$。
所以二次函数的解析式为$y=-2(x-1)^2-6$，展开得$y=-2(x^2 - 2x + 1) - 6 = -2x^2 + 4x - 2 - 6 = -2x^2 + 4x - 8$。
$y=-2x^2+4x-8$
又因为图象经过点$(2,-8)$，将$x=2$，$y=-8$代入解析式得：$-8=a(2-1)^2-6$，即$-8=a-6$，解得$a=-2$。
所以二次函数的解析式为$y=-2(x-1)^2-6$，展开得$y=-2(x^2 - 2x + 1) - 6 = -2x^2 + 4x - 2 - 6 = -2x^2 + 4x - 8$。
$y=-2x^2+4x-8$
8. 已知抛物线的函数表达式为 $ y = x^{2}+mx - 4m $($ m $ 是常数)。
(1) 若抛物线经过点 $ A(2,0) $,求顶点 $ P $ 的坐标；
(2) 若抛物线的顶点 $ P $ 在 $ x $ 轴下方,当 $ \angle AOP = 60^{\circ} $ 时,求 $ m $ 的值。
(1) 若抛物线经过点 $ A(2,0) $,求顶点 $ P $ 的坐标；
(2) 若抛物线的顶点 $ P $ 在 $ x $ 轴下方,当 $ \angle AOP = 60^{\circ} $ 时,求 $ m $ 的值。
答案
(1)P(-1,-9);
(2)-16-2√3
