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7.在一张比例尺为1：50 000的地图上，一块多边形地区的面积是320 cm²，这个地区的实际面积是
$8×10^7$
m².答案
7.$8×10^7$
解析
【分析】
解题时首先明确地图上的多边形与实际地区的多边形是相似图形，比例尺是两个相似图形的相似比（对应边的长度比）。根据相似多边形的性质：相似图形的面积比等于相似比的平方，先通过比例关系求出实际面积的平方厘米数，再换算为题目要求的平方米单位即可。解题时要注意两个易错点：一是不能直接用图上面积乘以比例尺（需乘以比例尺的平方），二是要正确进行面积单位的换算。
【解析】
∵ 地图上的多边形与实际对应多边形是相似图形，比例尺为1:50000，即相似比为$\frac{1}{50000}$
根据相似多边形的性质：相似图形的面积比等于相似比的平方
设该地区的实际面积为$x\ \mathrm{cm}^2$，则：
$\frac{320}{x} = (\frac{1}{50000})^2$
解得：
$x = 320× (50000)^2 = 320× 2.5× 10^9 = 8× 10^{11}\ \mathrm{cm}^2$
∵ $1\ \mathrm{m}^2 = 10^4\ \mathrm{cm}^2$
∴ 实际面积换算为平方米为：$8× 10^{11} ÷ 10^4 = 8× 10^7\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$8× 10^7$
【知识点】
1. 相似多边形面积比性质
2. 比例尺的意义
3. 面积单位换算
【点评】
本题是相似性质在实际生活中的应用类题目，核心考查对相似比和面积比关系的理解，容易出现的错误是混淆长度比和面积比的关系，或者单位换算时进率计算错误，解题时需注意验证比例关系和单位转换的正确性。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确地图上的多边形与实际地区的多边形是相似图形，比例尺是两个相似图形的相似比（对应边的长度比）。根据相似多边形的性质：相似图形的面积比等于相似比的平方，先通过比例关系求出实际面积的平方厘米数，再换算为题目要求的平方米单位即可。解题时要注意两个易错点：一是不能直接用图上面积乘以比例尺（需乘以比例尺的平方），二是要正确进行面积单位的换算。
【解析】
∵ 地图上的多边形与实际对应多边形是相似图形，比例尺为1:50000，即相似比为$\frac{1}{50000}$
根据相似多边形的性质：相似图形的面积比等于相似比的平方
设该地区的实际面积为$x\ \mathrm{cm}^2$，则：
$\frac{320}{x} = (\frac{1}{50000})^2$
解得：
$x = 320× (50000)^2 = 320× 2.5× 10^9 = 8× 10^{11}\ \mathrm{cm}^2$
∵ $1\ \mathrm{m}^2 = 10^4\ \mathrm{cm}^2$
∴ 实际面积换算为平方米为：$8× 10^{11} ÷ 10^4 = 8× 10^7\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$8× 10^7$
【知识点】
1. 相似多边形面积比性质
2. 比例尺的意义
3. 面积单位换算
【点评】
本题是相似性质在实际生活中的应用类题目，核心考查对相似比和面积比关系的理解，容易出现的错误是混淆长度比和面积比的关系，或者单位换算时进率计算错误，解题时需注意验证比例关系和单位转换的正确性。
【难度系数】
0.7
8.一个矩形ABCD的较短边长为2.
(1)如图
,若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似,求它的另一边长.
(2)如图,已知矩形ABCD的另一边长为4,剪去一个矩形ABEF后,余下的矩形EFDC与原矩形相似,求余下矩形EFDC的面积.
(1)如图
,若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似,求它的另一边长.(2)如图,已知矩形ABCD的另一边长为4,剪去一个矩形ABEF后,余下的矩形EFDC与原矩形相似,求余下矩形EFDC的面积.
答案
8.解:(1)由已知得 $MN=AB=2$，
$MD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，
$\frac{DM}{AB}=\frac{MN}{BC},∴DM·BC=AB·MN,即\frac{1}{2}BC^2=4$，
∴$BC=2\sqrt{2}$,即它的另一边长为 $2\sqrt{2}$。
(2)
∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴$\frac{DF}{AB}=\frac{CD}{BC},∵AB=CD=2,BC=4,∴DF=\frac{AB·CD}{BC}=1$，
∴矩形EFDC的面积$=CD·DF=2×1=2$。
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先回忆相似多边形的核心性质：对应边成比例。首先明确对折后得到的矩形DMNC与原矩形ABCD相似，先确定两个矩形的各边长度：原矩形短边AB=2，设长边BC的长度为x，对折后短边$MD=\frac{1}{2}x$，长边MN=AB=2，找准对应边后列比例式即可求解原矩形的长边长度。
(2) 解题思路：余下的矩形EFDC与原矩形ABCD相似，同样利用相似多边形对应边成比例的性质，先找准两组对应边，代入已知边长求出DF的长度，再根据矩形面积公式计算即可得到余下矩形的面积。
【解析】
(1) 由已知得 $MN=AB=2$，$MD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，对应边成比例，即$\frac{DM}{AB}=\frac{MN}{BC}$，
代入边长得：$DM·BC=AB·MN$，即$\frac{1}{2}BC^2=2×2=4$，
解得$BC=2\sqrt{2}$（边长为正数，舍去负根）。
(2)
∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴对应边成比例：$\frac{DF}{AB}=\frac{CD}{BC}$，
∵$AB=CD=2$，$BC=4$，代入得：$DF=\frac{AB·CD}{BC}=\frac{2×2}{4}=1$，
∴矩形EFDC的面积$=CD·DF=2×1=2$。
【答案】
(1) 另一边长为$2\sqrt{2}$；(2) 余下矩形EFDC的面积为2。
【知识点】
相似多边形的性质、矩形的性质、矩形面积计算
【点评】
本题是相似多边形应用的典型基础题，解题的关键是准确找到相似矩形的对应边，再结合已知条件列比例式求解，能有效考查学生对相似性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：首先回忆相似多边形的核心性质：对应边成比例。首先明确对折后得到的矩形DMNC与原矩形ABCD相似，先确定两个矩形的各边长度：原矩形短边AB=2，设长边BC的长度为x，对折后短边$MD=\frac{1}{2}x$，长边MN=AB=2，找准对应边后列比例式即可求解原矩形的长边长度。
(2) 解题思路：余下的矩形EFDC与原矩形ABCD相似，同样利用相似多边形对应边成比例的性质，先找准两组对应边，代入已知边长求出DF的长度，再根据矩形面积公式计算即可得到余下矩形的面积。
【解析】
(1) 由已知得 $MN=AB=2$，$MD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，对应边成比例，即$\frac{DM}{AB}=\frac{MN}{BC}$，
代入边长得：$DM·BC=AB·MN$，即$\frac{1}{2}BC^2=2×2=4$，
解得$BC=2\sqrt{2}$（边长为正数，舍去负根）。
(2)
∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴对应边成比例：$\frac{DF}{AB}=\frac{CD}{BC}$，
∵$AB=CD=2$，$BC=4$，代入得：$DF=\frac{AB·CD}{BC}=\frac{2×2}{4}=1$，
∴矩形EFDC的面积$=CD·DF=2×1=2$。
【答案】
(1) 另一边长为$2\sqrt{2}$；(2) 余下矩形EFDC的面积为2。
【知识点】
相似多边形的性质、矩形的性质、矩形面积计算
【点评】
本题是相似多边形应用的典型基础题，解题的关键是准确找到相似矩形的对应边，再结合已知条件列比例式求解，能有效考查学生对相似性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
9.已知点 E 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上,正方形 AFEG 与正方形 ABCD 有公共点 A.
(1)如图
,当点 G 在 AD 上,点 F 在 AB 上,求$\frac{2CE}{\sqrt{2}DG}$的值.
(2)将正方形 AFEG 绕 A 点逆时针方向旋转$α(0°＜α＜90°)$,如图
,求$\frac{CE}{DG}$的值.
(1)如图
,当点 G 在 AD 上,点 F 在 AB 上,求$\frac{2CE}{\sqrt{2}DG}$的值.(2)将正方形 AFEG 绕 A 点逆时针方向旋转$α(0°＜α＜90°)$,如图
,求$\frac{CE}{DG}$的值.答案
9.解:(1)
∵四边形ABCD是正方形,四边形AFEG是正方形，
∴$∠AGE=∠D=90°,∠DAC=45°$，
∴$\frac{AE}{AG}=\sqrt{2},GE//CD,∴\frac{CE}{DG}=\frac{AE}{AG}=\sqrt{2}$，
∴$CE=\sqrt{2}DG,∴\frac{2CE}{\sqrt{2}DG}=\frac{2\sqrt{2}DG}{\sqrt{2}DG}=2$。
(2)连结AE,由旋转性质知$∠CAE=∠DAG=α$，
在$Rt△AEG$和$Rt△ACD$中,$\frac{AG}{AE}=\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AG}{AE}=\frac{AD}{AC},∴△ADG∽△ACE,∴\frac{DG}{CE}=\frac{AG}{AE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{CE}{DG}=\sqrt{2}$。
解析
【分析】
(1) 先利用正方形的性质得到∠DAC=45°、GE平行于CD，结合正方形对角线与邻边的比值为$\sqrt{2}$，通过平行线分线段成比例得到CE和DG的数量关系，再代入所求代数式化简即可得到结果。
(2) 旋转后先连接AE，根据旋转的性质可得两组边的夹角相等，再结合两个正方形邻边与对角线的比值相等，利用“两边成比例且夹角相等”证明△ADG和△ACE相似，最后根据相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{CE}{DG}$的值。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是正方形，四边形AFEG是正方形，
∴$∠AGE=∠D=90°,∠DAC=45°$，
∴$\frac{AE}{AG}=\sqrt{2},GE// CD$，
∴$\frac{CE}{DG}=\frac{AE}{AG}=\sqrt{2}$，
∴$CE=\sqrt{2}DG$，
∴$\frac{2CE}{\sqrt{2}DG}=\frac{2\sqrt{2}DG}{\sqrt{2}DG}=2$。
(2) 连结AE，由旋转性质知$∠CAE=∠DAG=α$，
在$Rt△AEG$和$Rt△ACD$中，$\frac{AG}{AE}=\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AG}{AE}=\frac{AD}{AC}$，
∴$△ADG∽△ACE$，
∴$\frac{DG}{CE}=\frac{AG}{AE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{CE}{DG}=\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\frac{2CE}{\sqrt{2}DG}=2$
(2) $\frac{CE}{DG}=\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【点评】
本题属于几何综合类基础题，结合了正方形、旋转、相似三类核心几何考点，解题的关键是抓住图形变换过程中不变的边角关系，构造相似三角形得到线段比例，对学生的图形分析能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.7
(1) 先利用正方形的性质得到∠DAC=45°、GE平行于CD，结合正方形对角线与邻边的比值为$\sqrt{2}$，通过平行线分线段成比例得到CE和DG的数量关系，再代入所求代数式化简即可得到结果。
(2) 旋转后先连接AE，根据旋转的性质可得两组边的夹角相等，再结合两个正方形邻边与对角线的比值相等，利用“两边成比例且夹角相等”证明△ADG和△ACE相似，最后根据相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{CE}{DG}$的值。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是正方形，四边形AFEG是正方形，
∴$∠AGE=∠D=90°,∠DAC=45°$，
∴$\frac{AE}{AG}=\sqrt{2},GE// CD$，
∴$\frac{CE}{DG}=\frac{AE}{AG}=\sqrt{2}$，
∴$CE=\sqrt{2}DG$，
∴$\frac{2CE}{\sqrt{2}DG}=\frac{2\sqrt{2}DG}{\sqrt{2}DG}=2$。
(2) 连结AE，由旋转性质知$∠CAE=∠DAG=α$，
在$Rt△AEG$和$Rt△ACD$中，$\frac{AG}{AE}=\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AG}{AE}=\frac{AD}{AC}$，
∴$△ADG∽△ACE$，
∴$\frac{DG}{CE}=\frac{AG}{AE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{CE}{DG}=\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\frac{2CE}{\sqrt{2}DG}=2$
(2) $\frac{CE}{DG}=\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【点评】
本题属于几何综合类基础题，结合了正方形、旋转、相似三类核心几何考点，解题的关键是抓住图形变换过程中不变的边角关系，构造相似三角形得到线段比例，对学生的图形分析能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.7
