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9. 新考法 在同一直角坐标系中，一个学生误将点A的横、纵坐标的次序颠倒，写为A(a，b)，另一个学生误将点B的坐标看成关于y轴对称的点的坐标，写为B(-b，-a)，则A，B两点原来的位置关系是关于
x
轴对称.(填“x”或“y”)答案
9.x
解析
【分析】解题时需先反向推出A、B两点的正确坐标，再判断对称关系：第一步，根据“横、纵坐标次序颠倒得到(a,b)”，交换错误坐标的横纵坐标即可得到A的正确坐标；第二步，学生写出的B(-b,-a)是原B关于y轴对称的点，结合“关于y轴对称的点纵坐标相等、横坐标互为相反数”的规律，反向求出B的正确坐标；第三步，对比两点正确坐标，若横坐标相同、纵坐标互为相反数则关于x轴对称，反之关于y轴对称，最终得出结论。
【解析】
1. 求点A的正确坐标：
已知将A的横、纵坐标次序颠倒后得到(a,b)，因此原A的横坐标为错误坐标的纵坐标b，纵坐标为错误坐标的横坐标a，即原A坐标为$\boldsymbol{(b, a)}$。
2. 求点B的正确坐标：
学生写出的B(-b,-a)是原B关于y轴对称的点。根据关于y轴对称的点的坐标规律：两点关于y轴对称时，纵坐标相等，横坐标互为相反数。
设原B的坐标为$(x,y)$，则其关于y轴对称的点为$(-x,y)=(-b,-a)$，因此：
$-x=-b$，解得$x=b$；
$y=-a$，
即原B坐标为$\boldsymbol{(b, -a)}$。
3. 判断对称关系：
对比原A$(b,a)$和原B$(b,-a)$，两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，符合关于x轴对称的点的坐标特征。
【答案】x
【知识点】1. 点的坐标表示 2. 轴对称点的坐标规律
【点评】本题结合坐标书写错误的情境考查平面直角坐标系的基础知识点，解题核心是先根据错误描述推导得到两点的正确坐标，再结合对称规律判断即可，能有效考查学生对坐标对称规律的理解和逆向思维能力。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 求点A的正确坐标：
已知将A的横、纵坐标次序颠倒后得到(a,b)，因此原A的横坐标为错误坐标的纵坐标b，纵坐标为错误坐标的横坐标a，即原A坐标为$\boldsymbol{(b, a)}$。
2. 求点B的正确坐标：
学生写出的B(-b,-a)是原B关于y轴对称的点。根据关于y轴对称的点的坐标规律：两点关于y轴对称时，纵坐标相等，横坐标互为相反数。
设原B的坐标为$(x,y)$，则其关于y轴对称的点为$(-x,y)=(-b,-a)$，因此：
$-x=-b$，解得$x=b$；
$y=-a$，
即原B坐标为$\boldsymbol{(b, -a)}$。
3. 判断对称关系：
对比原A$(b,a)$和原B$(b,-a)$，两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，符合关于x轴对称的点的坐标特征。
【答案】x
【知识点】1. 点的坐标表示 2. 轴对称点的坐标规律
【点评】本题结合坐标书写错误的情境考查平面直角坐标系的基础知识点，解题核心是先根据错误描述推导得到两点的正确坐标，再结合对称规律判断即可，能有效考查学生对坐标对称规律的理解和逆向思维能力。
【难度系数】0.7
10. 跨学科·物理 如图，$∠ AOB$的边$OA$，$OB$均为平面反光镜，一束光线从$OB$上的$C$点射出，经$OA$上的$D$点反射后，反射光线$DE$恰好与$OB$平行，已知$∠ ADE = ∠ ODC$，$OC=10$，则光线$CD$的长度是（
A.8
B.10
C.15
D.20
B
）A.8
B.10
C.15
D.20
答案
10.B
解析
【分析】
解题时先结合已知条件找角的等量关系：首先根据反射给出的∠ADE=∠ODC，再利用DE与OB平行的性质得到同位角相等，进而推导出△OCD中两个底角相等，最后根据等腰三角形等角对等边的性质求出CD的长度。
【解析】
∵ $DE// OB$，
∴ $∠ ADE = ∠ AOB$（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ $∠ ADE = ∠ ODC$，
∴ $∠ ODC = ∠ AOB$，即$∠ ODC = ∠ COD$。
在$△ OCD$中，$∠ ODC = ∠ COD$，
∴ $CD = OC$（等角对等边）。
已知$OC=10$，
∴ $CD=10$。
【答案】
B
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 等腰三角形的判定
【点评】
本题属于跨学科综合题，结合了物理光的反射规律与数学几何知识，解题关键是通过角的等量转换得到等腰三角形，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件找角的等量关系：首先根据反射给出的∠ADE=∠ODC，再利用DE与OB平行的性质得到同位角相等，进而推导出△OCD中两个底角相等，最后根据等腰三角形等角对等边的性质求出CD的长度。
【解析】
∵ $DE// OB$，
∴ $∠ ADE = ∠ AOB$（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ $∠ ADE = ∠ ODC$，
∴ $∠ ODC = ∠ AOB$，即$∠ ODC = ∠ COD$。
在$△ OCD$中，$∠ ODC = ∠ COD$，
∴ $CD = OC$（等角对等边）。
已知$OC=10$，
∴ $CD=10$。
【答案】
B
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 等腰三角形的判定
【点评】
本题属于跨学科综合题，结合了物理光的反射规律与数学几何知识，解题关键是通过角的等量转换得到等腰三角形，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
11. 数学文化 “三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图①的三等分角仪可以三等分角.图②是这个三等分角仪的示意图，有公共端点P的两条线段PA，PB可以绕点P转动，点C固定，点D，E在槽中可以滑动，且$CE=DE=CP$.若$∠ DEB=87°$，则$∠ APB$的度数为
29
°.答案
11.29
解析
【分析】
解题首先从已知的CE=DE=CP这组等边条件入手，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，得到多组相等的角，再结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，逐步推导得出∠DEB与∠APB的数量关系，最后代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
设∠APB的度数为x，
∵ CP=CE，
∴ ∠CEP=∠APB=x，
∵ ∠DCE是△PCE的外角，
∴ ∠DCE=∠APB + ∠CEP = x + x = 2x，
又
∵ CE=DE，
∴ ∠CDE=∠DCE=2x，
∵ ∠DEB是△PDE的外角，
∴ ∠DEB=∠APB + ∠CDE = x + 2x = 3x，
已知∠DEB=87°，
∴ 3x=87°，解得x=29°。
【答案】
29
【知识点】
等边对等角；三角形外角的性质
【点评】
本题以古希腊“三等分角”的数学文化为背景，考查等腰三角形性质和三角形外角性质的综合运用，解题核心是通过角的转化建立已知角和未知角的数量关系，能够较好地考查学生对基础几何性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
解题首先从已知的CE=DE=CP这组等边条件入手，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，得到多组相等的角，再结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，逐步推导得出∠DEB与∠APB的数量关系，最后代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
设∠APB的度数为x，
∵ CP=CE，
∴ ∠CEP=∠APB=x，
∵ ∠DCE是△PCE的外角，
∴ ∠DCE=∠APB + ∠CEP = x + x = 2x，
又
∵ CE=DE，
∴ ∠CDE=∠DCE=2x，
∵ ∠DEB是△PDE的外角，
∴ ∠DEB=∠APB + ∠CDE = x + 2x = 3x，
已知∠DEB=87°，
∴ 3x=87°，解得x=29°。
【答案】
29
【知识点】
等边对等角；三角形外角的性质
【点评】
本题以古希腊“三等分角”的数学文化为背景，考查等腰三角形性质和三角形外角性质的综合运用，解题核心是通过角的转化建立已知角和未知角的数量关系，能够较好地考查学生对基础几何性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
12. 中考趋势·开放性问题 如图，AC与BD交于点E，连接AB，AD，CD.有下列四个条件：
①$AB=DC$；②$BE=CE$；③$∠ B=∠ C$；
④$∠ BAE=∠ CDE$.请从中选出两个作为已知条件，得出$△ AED$是等腰三角形（写出一种即可），并加以证明.
已知：.(填序号)
求证：$△ AED$是等腰三角形.
①$AB=DC$；②$BE=CE$；③$∠ B=∠ C$；
④$∠ BAE=∠ CDE$.请从中选出两个作为已知条件，得出$△ AED$是等腰三角形（写出一种即可），并加以证明.
已知：.(填序号)
求证：$△ AED$是等腰三角形.
答案
已知：②③
证明：
在△ABE和△DCE中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠C, \\BE=CE, \\∠AEB=∠DEC,\end{array} $
∴△ABE≌△DCE（ASA）。
∴AE=DE。
∴△AED是等腰三角形。
证明：
在△ABE和△DCE中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠C, \\BE=CE, \\∠AEB=∠DEC,\end{array} $
∴△ABE≌△DCE（ASA）。
∴AE=DE。
∴△AED是等腰三角形。
解析
【分析】
要证明△AED是等腰三角形，核心是证明该三角形有两条边相等，即证AE=DE。观察图形可知AE、DE分别在△ABE和△DCE中，因此可通过证明△ABE≌△DCE得到对应边相等。选择条件②③时，结合图形隐含的对顶角相等的性质，可通过ASA判定两个三角形全等，进而推导出AE=DE，即可完成证明。
【解析】
已知：②③
证明：在△ABE和△DCE中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠C, \\BE=CE, \\∠AEB=∠DEC,\end{array} $
∴△ABE≌△DCE（ASA）。
∴AE=DE。
∴△AED是等腰三角形。
【答案】
已知：②③；证明过程：在△ABE和△DCE中，$\begin{cases}∠B=∠C, \\BE=CE, \\∠AEB=∠DEC,\end{cases}$
∴△ABE≌△DCE（ASA）。
∴AE=DE，
∴△AED是等腰三角形。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；对顶角的性质
【点评】
本题是开放性几何证明题，答案不唯一，解题关键是明确等腰三角形的判定思路，通过证明三角形全等来得到边相等的结论，侧重考查基础的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明△AED是等腰三角形，核心是证明该三角形有两条边相等，即证AE=DE。观察图形可知AE、DE分别在△ABE和△DCE中，因此可通过证明△ABE≌△DCE得到对应边相等。选择条件②③时，结合图形隐含的对顶角相等的性质，可通过ASA判定两个三角形全等，进而推导出AE=DE，即可完成证明。
【解析】
已知：②③
证明：在△ABE和△DCE中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠C, \\BE=CE, \\∠AEB=∠DEC,\end{array} $
∴△ABE≌△DCE（ASA）。
∴AE=DE。
∴△AED是等腰三角形。
【答案】
已知：②③；证明过程：在△ABE和△DCE中，$\begin{cases}∠B=∠C, \\BE=CE, \\∠AEB=∠DEC,\end{cases}$
∴△ABE≌△DCE（ASA）。
∴AE=DE，
∴△AED是等腰三角形。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；对顶角的性质
【点评】
本题是开放性几何证明题，答案不唯一，解题关键是明确等腰三角形的判定思路，通过证明三角形全等来得到边相等的结论，侧重考查基础的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
13.新题型 如图，$△ ABC$，$△ ADE$及$△ EFG$都是等边三角形，$D$，$G$分别为$AC$，$AE$的中点.若$AB＝4$，则多边形$ABCDEFG$外围的周长是（
A.12
B.14
C.15
D.16
C
）A.12
B.14
C.15
D.16
答案
13.C
解析
【分析】
解题时首先利用等边三角形三边相等的性质，结合中点的定义，依次求出各个等边三角形的边长，再逐一找出多边形ABCDEFG的所有外围边，将各边长度相加即可得到外围周长。注意计算时不要将图形内部的重叠边计入周长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=4，
∴AB=BC=AC=4，
∵D是AC的中点，
∴$CD=AD=\frac{1}{2}AC=2$，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE=AE=AD=2，
∵G是AE的中点，
∴$EG=AG=\frac{1}{2}AE=1$，
∵△EFG是等边三角形，
∴EF=FG=EG=1，
多边形ABCDEFG的外围边为：BC、AB、CD、DE、EF、FG、AG，
则外围周长=$BC+AB+CD+DE+EF+FG+AG=4+4+2+2+1+1+1=15$。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；中点的定义；周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握等边三角形三边相等的性质，准确识别出多边形的外围边，避免错算内部边导致结果错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用等边三角形三边相等的性质，结合中点的定义，依次求出各个等边三角形的边长，再逐一找出多边形ABCDEFG的所有外围边，将各边长度相加即可得到外围周长。注意计算时不要将图形内部的重叠边计入周长。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=4，
∴AB=BC=AC=4，
∵D是AC的中点，
∴$CD=AD=\frac{1}{2}AC=2$，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE=AE=AD=2，
∵G是AE的中点，
∴$EG=AG=\frac{1}{2}AE=1$，
∵△EFG是等边三角形，
∴EF=FG=EG=1，
多边形ABCDEFG的外围边为：BC、AB、CD、DE、EF、FG、AG，
则外围周长=$BC+AB+CD+DE+EF+FG+AG=4+4+2+2+1+1+1=15$。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；中点的定义；周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握等边三角形三边相等的性质，准确识别出多边形的外围边，避免错算内部边导致结果错误。
【难度系数】
0.7
14. [2026淮北期末]如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别在边BC，AB，CA的延长线上，且BE＝AF＝CD. 求证：△DEF是等边三角形.
答案
14.证明：略.
解析
【分析】
要证明△DEF是等边三角形，可通过证明其三边相等推导：首先利用等边△ABC的性质，得到三边相等、三个内角均为60°，进而推出三个外角∠EAF、∠DBE、∠FCD均为120°；再结合已知BE=AF=CD，通过边的和差关系推导出AE=BD=CF，以此为条件利用SAS证明三组三角形全等，得到EF=DE=FD，即可证明△DEF是等边三角形。
【解析】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠EAF=∠DBE=∠FCD=180°-60°=120°。
∵BE=AF=CD，
∴AB+BE=BC+CD=AC+AF，即AE=BD=CF。
在△AEF和△BDE中：
$\{\begin{array}{l}AF=BE\\∠EAF=∠DBE\\AE=BD\end{array} $
∴△AEF≌△BDE（SAS），
∴EF=DE。
同理可证△BDE≌△CFD，
∴DE=FD，
∴EF=DE=FD，
∴△DEF是等边三角形。
【答案】
△DEF是等边三角形，证明过程如上。
【知识点】
等边三角形性质；SAS全等判定；等边三角形判定
【点评】
本题是等边三角形相关的典型证明题，核心是通过等边三角形的性质构造全等三角形的判定条件，进而利用全等性质得到等边三角形需要的三边相等关系，解题时要注意外角角度的推导和边的和差关系的转化。
【难度系数】
0.7
要证明△DEF是等边三角形，可通过证明其三边相等推导：首先利用等边△ABC的性质，得到三边相等、三个内角均为60°，进而推出三个外角∠EAF、∠DBE、∠FCD均为120°；再结合已知BE=AF=CD，通过边的和差关系推导出AE=BD=CF，以此为条件利用SAS证明三组三角形全等，得到EF=DE=FD，即可证明△DEF是等边三角形。
【解析】
证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠EAF=∠DBE=∠FCD=180°-60°=120°。
∵BE=AF=CD，
∴AB+BE=BC+CD=AC+AF，即AE=BD=CF。
在△AEF和△BDE中：
$\{\begin{array}{l}AF=BE\\∠EAF=∠DBE\\AE=BD\end{array} $
∴△AEF≌△BDE（SAS），
∴EF=DE。
同理可证△BDE≌△CFD，
∴DE=FD，
∴EF=DE=FD，
∴△DEF是等边三角形。
【答案】
△DEF是等边三角形，证明过程如上。
【知识点】
等边三角形性质；SAS全等判定；等边三角形判定
【点评】
本题是等边三角形相关的典型证明题，核心是通过等边三角形的性质构造全等三角形的判定条件，进而利用全等性质得到等边三角形需要的三边相等关系，解题时要注意外角角度的推导和边的和差关系的转化。
【难度系数】
0.7
