21. (11分)某冷库一周内每天水果进、出库吨数如表所示，其中规定：“+”表示进库，“-”表示出库。
| 周一 | 周二 | 周三 | 周四 | 周五 | 周六 | 周日 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| +16 | -22 | +34 | | -25 | +30 | -20 |
(1)这一周内，周水果进库量最大，最大量为吨；
(2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？
(3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库存有水果多少吨？
(4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元，那么这一周共需付多少装卸费？

21.(1)三 34 (2)$16-22+34-28-25+30-20=16+34+30-20-22-28-25=-15$，答：这一周冷库里的水果减少了，变化了15吨 (3)这一周减少15吨，则上周有20+15=35(吨)，答：一周前冷库里存有水果35吨 (4)$(|+16|+|-22|+|+34|+|-28|+|-25|+|+30|+|-20|)×12=(16+22+34+28+25+30+20)×12=175×12=2100$(元)，答：这一周共需付2100元装卸费

【分析】
(1) 题中规定“+”表示进库，因此只需对比所有正数的大小，最大的正数对应的日期就是进库量最大的日期，数值就是最大进库量。
(2) 要判断一周水果总量的变化，需将每天的进出库吨数相加，若和为正说明总量增加，若和为负说明总量减少，和的绝对值就是变化的吨数。
(3) 已知当前库存量和一周的总量变化，一周前的库存量=当前库存量+一周减少的量（或减去一周增加的量），代入计算即可。
(4) 装卸费无论进库、出库都要收取，因此先计算所有进出库吨数的绝对值之和，再乘每吨的装卸费标准，即可得到总装卸费。
【解析】
(1) 进库的数值为+16、+34、+30，其中34最大，对应周三，因此周三进库量最大，最大量为34吨。
(2) 计算一周进出库总变化：
$\begin{split}&16-22+34-28-25+30-20\\=&(16+34+30)-(22+28+25+20)\\=&80-95\\=&-15\end{split}$
结果为负，说明总量减少，变化量为15吨。
(3) 本周水果减少了15吨，现有库存20吨，因此一周前库存为：
$20+15=35$（吨）
(4) 先计算一周进出库总吨数：
$\begin{split}&|+16|+|-22|+|+34|+|-28|+|-25|+|+30|+|-20|\\=&16+22+34+28+25+30+20\\=&175（吨）\end{split}$
总装卸费：$175×12=2100$（元）
【答案】
(1) 三，34
(2) 这一周冷库里的水果减少了，变化了15吨
(3) 一周前冷库存有水果35吨
(4) 这一周共需付2100元装卸费
【知识点】
正负数的意义，有理数加减运算，绝对值的应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查正负数的应用，解题关键是明确正负号的实际含义，区分不同问题的计算逻辑：总变化量计算代数和，装卸费计算绝对值和，计算时需细心，避免运算错误。
【难度系数】
0.7

22. (12分)阅读材料,大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题:
1+2+3+…+100=? 经过研究,这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=$\frac{1}{2}n(n+1)$,其中n是正整数。现在我们来研究一个类似的问题:1×2+2×3+…n(n+1)=?
观察下面三个特殊的等式:
1×2=$\frac{1}{3}(1×2×3 - 0×1×2)$,
2×3=$\frac{1}{3}(2×3×4 - 1×2×3)$,
3×4=$\frac{1}{3}(3×4×5 - 2×3×4)$,
将这三个等式的两边相加,可以得到1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}×3×4×5=20$。
读完这段材料,
(1)计算:1×2+2×3+…+20×21=;
(2)你能仿照上面的探索过程,计算出1×2×3+2×3×4+…+20×21×22吗?试试看。

22.(1)$\dfrac{1}{3}×20×21×22=3080$ (2)仿照上面探索过程：
$1×2×3=\dfrac{1}{4}(1×2×3×4-0×1×2×3)$,
$2×3×4=\dfrac{1}{4}(2×3×4×5-1×2×3×4)$,
$3×4×5=\dfrac{1}{4}(3×4×5×6-2×3×4×5)$,
……
$1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)(n+2)=\dfrac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)$,
$∴1×2×3+2×3×4+…+20×21×22=\dfrac{1}{4}×20×21×22×23=53130$

【分析】
这是一道材料规律探究题，解题核心是读懂材料给出的裂项相消思路：首先材料将每一项两个数的乘积，拆分为两个三个数乘积的差再乘$\frac{1}{3}$，等式累加后中间的项会全部抵消，仅剩首尾项即可快速求和。
(1)问可直接套用材料推导的通用公式，代入n=20计算即可；
(2)问类比(1)的裂项逻辑：两个数相乘的项拆成三个数乘积的差、乘$\frac{1}{3}$，那么三个数相乘的项就可以拆成四个数乘积的差、乘$\frac{1}{4}$，同样累加抵消中间项后得到通用公式，再代入n=20计算即可。
【解析】
(1) 根据材料推导的规律可得：
$1×2+2×3+…+n(n+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$
当$n=20$时，代入公式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{3}×20×21×22\\&=20×7×22\\&=3080\end{aligned}$
(2) 仿照材料的裂项方法，拆分每一项：
$1×2×3=\frac{1}{4}(1×2×3×4 - 0×1×2×3)$
$2×3×4=\frac{1}{4}(2×3×4×5 - 1×2×3×4)$
$3×4×5=\frac{1}{4}(3×4×5×6 - 2×3×4×5)$
……
$n(n+1)(n+2)=\frac{1}{4}[n(n+1)(n+2)(n+3) - (n-1)n(n+1)(n+2)]$
将上述等式两边同时相加，中间项全部抵消，可得通用公式：
$1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)$
当$n=20$时，代入公式得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{4}×20×21×22×23\\&=5×21×22×23\\&=53130\end{aligned}$
【答案】
(1) $3080$
(2) $53130$
【知识点】
裂项相消求和，类比推理，有理数混合运算
【点评】
本题是规律探究类典型题型，重点考查对给定解题方法的理解和迁移应用能力，核心是提炼出裂项抵消的解题逻辑，再举一反三推广到更高阶的乘积求和问题，对归纳推理能力的提升很有帮助。
【难度系数】
0.7