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例 1 某厂家向超市推销甲、乙两类商品，如果原价买这两类商品共需 1760 元，厂家推销时甲类商品打了八折，乙类商品打了七五折，结果买这两类商品一共少花了 400 元. 甲、乙两类商品原价分别是多少钱？
分析：两个等量关系：(1) 甲类商品原价 + 乙类商品原价 = 1760 元；(2) 甲类商品折后价 + 乙类商品折后价 = (1760 - 400) 元.
解：设甲类商品原价为 $ x $ 元，乙类商品原价为 $ y $ 元.
由题意可列出方程组 $\begin{cases}x + y = 1760, \\ 0.8x + 0.75y = 1760 - 400,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 800, \\ y = 960.\end{cases}$
答：甲类商品原价为 800 元，乙类商品原价为 960 元.
变式：魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，为了满足市场需求，某商店决定用 1480 元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，魔方、数独棋的进价和标价如右表所示. 如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，那么这两种益智玩具全部销售完后，该商店共获利 360 元. 该商店购进魔方、数独棋各多少个？
分析：两个等量关系：(1) 甲类商品原价 + 乙类商品原价 = 1760 元；(2) 甲类商品折后价 + 乙类商品折后价 = (1760 - 400) 元.
解：设甲类商品原价为 $ x $ 元，乙类商品原价为 $ y $ 元.
由题意可列出方程组 $\begin{cases}x + y = 1760, \\ 0.8x + 0.75y = 1760 - 400,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 800, \\ y = 960.\end{cases}$
答：甲类商品原价为 800 元，乙类商品原价为 960 元.
变式：魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，为了满足市场需求，某商店决定用 1480 元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，魔方、数独棋的进价和标价如右表所示. 如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，那么这两种益智玩具全部销售完后，该商店共获利 360 元. 该商店购进魔方、数独棋各多少个？
答案
解：设购进魔方 $ x $ 个，数独棋 $ y $ 个。
根据题意，得 $ \begin{cases} 6x + 25y = 1480, \\ (10 × 0.7 - 6)x + (40 × 0.8 - 25)y = 360. \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} x = 80, \\ y = 40. \end{cases} $
答：该商店购进魔方 80 个，数独棋 40 个。
根据题意，得 $ \begin{cases} 6x + 25y = 1480, \\ (10 × 0.7 - 6)x + (40 × 0.8 - 25)y = 360. \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} x = 80, \\ y = 40. \end{cases} $
答：该商店购进魔方 80 个，数独棋 40 个。
例 2 张老师在某文体店购买商品 A，B 若干次（前两次购买时，A，B 两种商品都按标价购买整数个），前两次购买商品 A，B 的数量和费用如下表所示.
(1) 求商品 A，B 的标价.
(2) 若张老师第三次购物时（A，B 两种商品均购买整数个），商品 A，B 同时打六折出售，这次购买总费用为 960 元，则张老师有哪几种购买方案？
分析：本题涉及两个未知量——商品 A 的标价及商品 B 的标价. 第(1)问根据表格信息建立方程组，再解方程组即可；第(2)问同样涉及两个未知量——张老师购买 A 商品的个数及 B 商品的个数，根据“这次购买总费用为 960 元”建立二元一次方程，再求出方程的正整数解可得答案.
解：(1) 设商品 A 的标价为 $ x $ 元/个，商品 B 的标价为 $ y $ 元/个.
根据题意，得 $\begin{cases}6x + 5y = 980, \\ 3x + 7y = 940,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 80, \\ y = 100.\end{cases}$
答：商品 A 的标价为 80 元/个，商品 B 的标价为 100 元/个.
(2) 设张老师购买 $ m $ 个商品 A，$ n $ 个商品 B.
根据题意，得 $ 80×0.6m + 100×0.6n = 960 $，
$\therefore m = 20 - \frac{5}{4}n$，其中 $ m $，$ n $ 为正整数.
当 $ n = 4 $ 时，$ m = 15 $；当 $ n = 8 $ 时，$ m = 10 $；当 $ n = 12 $ 时，$ m = 5 $.
答：张老师共有三种购买方案，方案一：购买 15 个商品 A，4 个商品 B；方案二：购买 10 个商品 A，8 个商品 B；方案三：购买 5 个商品 A，12 个商品 B.
变式：某汽车销售公司计划购进 A，B 两种型号的汽车，已知购进 2 辆 A 型汽车和 3 辆 B 型汽车的总进价为 90 万元；购进 3 辆 A 型汽车和 2 辆 B 型汽车的总进价为 85 万元.
(1) 每辆 A 型汽车和每辆 B 型汽车的进价分别是多少万元？
(2) 该公司现有资金 125 万元，计划全部用于购进 A，B 两种型号的汽车（两种型号至少各购进 1 辆），怎样制订购进方案才能使购进的车辆最多？最多可以购进多少辆？
(1) 求商品 A，B 的标价.
(2) 若张老师第三次购物时（A，B 两种商品均购买整数个），商品 A，B 同时打六折出售，这次购买总费用为 960 元，则张老师有哪几种购买方案？
分析：本题涉及两个未知量——商品 A 的标价及商品 B 的标价. 第(1)问根据表格信息建立方程组，再解方程组即可；第(2)问同样涉及两个未知量——张老师购买 A 商品的个数及 B 商品的个数，根据“这次购买总费用为 960 元”建立二元一次方程，再求出方程的正整数解可得答案.
解：(1) 设商品 A 的标价为 $ x $ 元/个，商品 B 的标价为 $ y $ 元/个.
根据题意，得 $\begin{cases}6x + 5y = 980, \\ 3x + 7y = 940,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 80, \\ y = 100.\end{cases}$
答：商品 A 的标价为 80 元/个，商品 B 的标价为 100 元/个.
(2) 设张老师购买 $ m $ 个商品 A，$ n $ 个商品 B.
根据题意，得 $ 80×0.6m + 100×0.6n = 960 $，
$\therefore m = 20 - \frac{5}{4}n$，其中 $ m $，$ n $ 为正整数.
当 $ n = 4 $ 时，$ m = 15 $；当 $ n = 8 $ 时，$ m = 10 $；当 $ n = 12 $ 时，$ m = 5 $.
答：张老师共有三种购买方案，方案一：购买 15 个商品 A，4 个商品 B；方案二：购买 10 个商品 A，8 个商品 B；方案三：购买 5 个商品 A，12 个商品 B.
变式：某汽车销售公司计划购进 A，B 两种型号的汽车，已知购进 2 辆 A 型汽车和 3 辆 B 型汽车的总进价为 90 万元；购进 3 辆 A 型汽车和 2 辆 B 型汽车的总进价为 85 万元.
(1) 每辆 A 型汽车和每辆 B 型汽车的进价分别是多少万元？
(2) 该公司现有资金 125 万元，计划全部用于购进 A，B 两种型号的汽车（两种型号至少各购进 1 辆），怎样制订购进方案才能使购进的车辆最多？最多可以购进多少辆？
答案
解：(1)设每辆 A 型汽车的进价为 $ x $ 万元，每辆 B 型汽车的进价为 $ y $ 万元。
根据题意，得 $ \begin{cases} 2x + 3y = 90, \\ 3x + 2y = 85, \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} x = 15, \\ y = 20. \end{cases} $
答：每辆 A 型汽车的进价为 15 万元，每辆 B 型汽车的进价为 20 万元。
(2)设购进 $ m $ 辆 A 型汽车，$ n $ 辆 B 型汽车。
根据题意，得 $ 15m + 20n = 125 $，
$ \therefore n = \frac{25 - 3m}{4} $。
又 $ \because m $，$ n $ 均为正整数，
$ \therefore \begin{cases} m = 3, \\ n = 4 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} m = 7, \\ n = 1. \end{cases} $
$ \therefore $ 共有 2 种购进方案，
方案一：购进 3 辆 A 型汽车、4 辆 B 型汽车，共购进 $ 3 + 4 = 7 $（辆）；
方案二：购进 7 辆 A 型汽车、1 辆 B 型汽车，共购进 $ 7 + 1 = 8 $（辆）。
所以当购进 7 辆 A 型汽车、1 辆 B 型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进 8 辆。
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根据题意，得 $ \begin{cases} 2x + 3y = 90, \\ 3x + 2y = 85, \end{cases} $
解得 $ \begin{cases} x = 15, \\ y = 20. \end{cases} $
答：每辆 A 型汽车的进价为 15 万元，每辆 B 型汽车的进价为 20 万元。
(2)设购进 $ m $ 辆 A 型汽车，$ n $ 辆 B 型汽车。
根据题意，得 $ 15m + 20n = 125 $，
$ \therefore n = \frac{25 - 3m}{4} $。
又 $ \because m $，$ n $ 均为正整数，
$ \therefore \begin{cases} m = 3, \\ n = 4 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} m = 7, \\ n = 1. \end{cases} $
$ \therefore $ 共有 2 种购进方案，
方案一：购进 3 辆 A 型汽车、4 辆 B 型汽车，共购进 $ 3 + 4 = 7 $（辆）；
方案二：购进 7 辆 A 型汽车、1 辆 B 型汽车，共购进 $ 7 + 1 = 8 $（辆）。
所以当购进 7 辆 A 型汽车、1 辆 B 型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进 8 辆。
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