1. 如图 2-ZT-1，△ABC 是等边三角形，点 D 在 AC 上，延长 BC 至点 E，使 CE = AD，连接 BD，DE. 求证：DB = DE.

证明：如图，过点D作DF//AB交BC于点F，
则∠CDF = ∠A，∠CFD = ∠ABC.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC = ∠BCA = ∠A = 60°，BC = AC = AB，
∴∠CDF = ∠CFD = 60° = ∠ACB，
∴△CDF为等边三角形，
∴CD = DF = CF，
∴AC - CD = BC - CF，即AD = BF.
又
∵AD = CE，
∴BF = CE.
∵∠BFD = 180° - ∠CFD = 120°，∠ECD = 180° - ∠DCF = 120°，
∴∠BFD = ∠ECD.
在△BFD和△ECD中，
∵BF = EC，∠BFD = ∠ECD，DF = DC，
∴△BFD ≌ △ECD(SAS)，
∴DB = DE.

2. 如图 2-ZT-2，已知 AD 是△ABC 的角平分线，∠ABC = 2∠C. 求证：AB + BD = AC.

证明：
在AC上截取 $ AE = AB $，连接 $ DE $。
∵ $ AD $ 是 $ △ ABC $ 的角平分线，
∴ $ ∠ BAD = ∠ EAD $。
在 $ △ ABD $ 和 $ △ AED $ 中，
$\begin{cases}AB = AE \\∠ BAD = ∠ EAD \\AD = AD\end{cases}$
∴ $ △ ABD ≌ △ AED $（SAS）。
∴ $ BD = DE $，$ ∠ ABC = ∠ AED $。
∵ $ ∠ ABC = 2∠ C $，
∴ $ ∠ AED = 2∠ C $。
又∵ $ ∠ AED = ∠ C + ∠ EDC $，
∴ $ 2∠ C = ∠ C + ∠ EDC $，
∴ $ ∠ C = ∠ EDC $，
∴ $ DE = EC $。
∵ $ AC = AE + EC $，
∴ $ AC = AB + DE = AB + BD $，
即 $ AB + BD = AC $。

3. 如图 2-ZT-3，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC = 90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，CE 垂直于 BD，交 BD 的延长线于点 E. 求证：BD = 2CE.

证明：
延长CE交BA的延长线于点F。
∵∠BAC = 90°，CE⊥BE，
∴∠BAC = ∠DEC = 90°，
∵∠ADB = ∠CDE（对顶角相等），
∴∠ABD = ∠DCE（等角的余角相等）。
在△ABD和△ACF中，
$\{\begin{array}{l}∠BAD = ∠CAF = 90°\\AB = AC\\∠ABD = ∠ACF\end{array} $
∴△ABD ≌ △ACF（ASA），
∴BD = CF。
∵BD平分∠ABC，CE⊥BE，
∴∠FBE = ∠CBE，∠BEF = ∠BEC = 90°。
在△BEF和△BEC中，
$\{\begin{array}{l}∠FBE = ∠CBE\\BE = BE\\∠BEF = ∠BEC\end{array} $
∴△BEF ≌ △BEC（ASA），
∴CE = EF，即CF = 2CE。
∵BD = CF，
∴BD = 2CE。

4. 如图 2-ZT-4，在△ABC 中，∠B = 2∠C，D 为 BC 边上一点，且 AC = AB + BD，求证：AD 平分∠BAC.

证明：如图，延长AB至点E，使BE = BD，连接DE，CE，则∠BED = ∠BDE，
∴∠ABD = ∠BED + ∠BDE = 2∠BED.
∵∠ABC = 2∠ACB，

∴∠AED = ∠ACD.
∵AE = AB + BE = AB + BD，AC = AB + BD，
∴AE = AC，
∴∠AEC = ∠ACE，则∠DEC = ∠DCE，
∴DE = DC.
在△ADE和△ADC中，
∵AE = AC，AD = AD，DE = DC，
∴△ADE ≌ △ADC，
∴∠EAD = ∠CAD，
∴AD平分∠BAC.