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6.计算:
(1)$(3x^{2}y)^{3}· (-4xy^{2})$;
(2)$(-xy^{2}z^{3})^{4}· (-x^{2}y)^{5}$;
(3)$(2x^{n+1}y)· (-\dfrac{1}{4}x^{n}y^{2})$(n是正整数);
(4)$(\dfrac{1}{3}× 10^{5})· (9× 10^{5})^{2}$。
(1)$(3x^{2}y)^{3}· (-4xy^{2})$;
(2)$(-xy^{2}z^{3})^{4}· (-x^{2}y)^{5}$;
(3)$(2x^{n+1}y)· (-\dfrac{1}{4}x^{n}y^{2})$(n是正整数);
(4)$(\dfrac{1}{3}× 10^{5})· (9× 10^{5})^{2}$。
答案
6.(1) $-108x^{7}y^{5}$ (2) $-x^{14}y^{13}z^{12}$ (3) $-\frac{1}{2}x^{2n+1}y^{3}$
(4)$2.7×10^{16}$
(4)$2.7×10^{16}$
解析
【分析】
本题主要考查幂的运算法则与单项式乘法的综合应用，解题思路如下：
1. 对于每一小问，先根据积的乘方法则（积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘）和幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）计算乘方部分；
2. 再根据单项式乘单项式法则（系数相乘，同底数幂分别相乘，底数不变指数相加）进行乘法运算；
3. 注意符号的处理（负号的乘方结果），含字母指数的式子要正确合并指数，科学记数法运算后需转化为标准形式（$1≤ a＜10$）。
【解析】
(1) 计算$(3x^{2}y)^{3}· (-4xy^{2})$：
$\begin{aligned}&(3x^{2}y)^{3}· (-4xy^{2})\\=&3^3·(x^2)^3·y^3·(-4xy^2) \quad \mathrm{（积的乘方法则）}\\=&27x^6y^3·(-4xy^2) \quad \mathrm{（幂的乘方法则：}\ (a^m)^n=a^{mn}\mathrm{）}\\=&27×(-4)·x^{6+1}·y^{3+2} \quad \mathrm{（单项式乘单项式，系数、同底数幂分别相乘）}\\=&-108x^7y^5\end{aligned}$
(2) 计算$(-xy^{2}z^{3})^{4}· (-x^{2}y)^{5}$：
$\begin{aligned}&(-xy^{2}z^{3})^{4}· (-x^{2}y)^{5}\\=&(-1)^4·x^4·(y^2)^4·(z^3)^4·(-1)^5·(x^2)^5·y^5 \quad \mathrm{（积的乘方法则）}\\=&x^4y^8z^{12}·(-x^{10}y^5) \quad \mathrm{（幂的乘方法则）}\\=&-x^{4+10}·y^{8+5}·z^{12} \quad \mathrm{（单项式乘单项式法则）}\\=&-x^{14}y^{13}z^{12}\end{aligned}$
(3) 计算$(2x^{n+1}y)· (-\dfrac{1}{4}x^{n}y^{2})$（$n$是正整数）：
$\begin{aligned}&(2x^{n+1}y)· (-\dfrac{1}{4}x^{n}y^{2})\\=&2×(-\dfrac{1}{4})·x^{(n+1)+n}·y^{1+2} \quad \mathrm{（单项式乘单项式法则）}\\=&-\dfrac{1}{2}x^{2n+1}y^3\end{aligned}$
(4) 计算$(\dfrac{1}{3}× 10^{5})· (9× 10^{5})^{2}$：
$\begin{aligned}&(\dfrac{1}{3}× 10^{5})· (9× 10^{5})^{2}\\=&(\dfrac{1}{3}×10^5)·(9^2×(10^5)^2) \quad \mathrm{（积的乘方法则）}\\=&(\dfrac{1}{3}×10^5)·(81×10^{10}) \quad \mathrm{（幂的乘方法则）}\\=&(\dfrac{1}{3}×81)·(10^5×10^{10}) \quad \mathrm{（乘法交换律、结合律）}\\=&27×10^{15}\\=&2.7×10^{16} \quad \mathrm{（转化为标准科学记数法）}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-108x^{7}y^{5}}$；(2) $\boldsymbol{-x^{14}y^{13}z^{12}}$；(3) $\boldsymbol{-\frac{1}{2}x^{2n+1}y^{3}}$；(4)$\boldsymbol{2.7×10^{16}}$
【知识点】
幂的乘方与积的乘方、单项式乘法、科学记数法运算
【点评】
本题是幂的运算与单项式乘法的基础综合题，核心是熟练掌握各类幂的运算法则，易错点在于负号的处理、含字母指数的合并以及科学记数法的标准转化，通过这类题目可强化整式乘法的运算能力。
【难度系数】
0.6
本题主要考查幂的运算法则与单项式乘法的综合应用，解题思路如下：
1. 对于每一小问，先根据积的乘方法则（积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘）和幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）计算乘方部分；
2. 再根据单项式乘单项式法则（系数相乘，同底数幂分别相乘，底数不变指数相加）进行乘法运算；
3. 注意符号的处理（负号的乘方结果），含字母指数的式子要正确合并指数，科学记数法运算后需转化为标准形式（$1≤ a＜10$）。
【解析】
(1) 计算$(3x^{2}y)^{3}· (-4xy^{2})$：
$\begin{aligned}&(3x^{2}y)^{3}· (-4xy^{2})\\=&3^3·(x^2)^3·y^3·(-4xy^2) \quad \mathrm{（积的乘方法则）}\\=&27x^6y^3·(-4xy^2) \quad \mathrm{（幂的乘方法则：}\ (a^m)^n=a^{mn}\mathrm{）}\\=&27×(-4)·x^{6+1}·y^{3+2} \quad \mathrm{（单项式乘单项式，系数、同底数幂分别相乘）}\\=&-108x^7y^5\end{aligned}$
(2) 计算$(-xy^{2}z^{3})^{4}· (-x^{2}y)^{5}$：
$\begin{aligned}&(-xy^{2}z^{3})^{4}· (-x^{2}y)^{5}\\=&(-1)^4·x^4·(y^2)^4·(z^3)^4·(-1)^5·(x^2)^5·y^5 \quad \mathrm{（积的乘方法则）}\\=&x^4y^8z^{12}·(-x^{10}y^5) \quad \mathrm{（幂的乘方法则）}\\=&-x^{4+10}·y^{8+5}·z^{12} \quad \mathrm{（单项式乘单项式法则）}\\=&-x^{14}y^{13}z^{12}\end{aligned}$
(3) 计算$(2x^{n+1}y)· (-\dfrac{1}{4}x^{n}y^{2})$（$n$是正整数）：
$\begin{aligned}&(2x^{n+1}y)· (-\dfrac{1}{4}x^{n}y^{2})\\=&2×(-\dfrac{1}{4})·x^{(n+1)+n}·y^{1+2} \quad \mathrm{（单项式乘单项式法则）}\\=&-\dfrac{1}{2}x^{2n+1}y^3\end{aligned}$
(4) 计算$(\dfrac{1}{3}× 10^{5})· (9× 10^{5})^{2}$：
$\begin{aligned}&(\dfrac{1}{3}× 10^{5})· (9× 10^{5})^{2}\\=&(\dfrac{1}{3}×10^5)·(9^2×(10^5)^2) \quad \mathrm{（积的乘方法则）}\\=&(\dfrac{1}{3}×10^5)·(81×10^{10}) \quad \mathrm{（幂的乘方法则）}\\=&(\dfrac{1}{3}×81)·(10^5×10^{10}) \quad \mathrm{（乘法交换律、结合律）}\\=&27×10^{15}\\=&2.7×10^{16} \quad \mathrm{（转化为标准科学记数法）}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-108x^{7}y^{5}}$；(2) $\boldsymbol{-x^{14}y^{13}z^{12}}$；(3) $\boldsymbol{-\frac{1}{2}x^{2n+1}y^{3}}$；(4)$\boldsymbol{2.7×10^{16}}$
【知识点】
幂的乘方与积的乘方、单项式乘法、科学记数法运算
【点评】
本题是幂的运算与单项式乘法的基础综合题，核心是熟练掌握各类幂的运算法则，易错点在于负号的处理、含字母指数的合并以及科学记数法的标准转化，通过这类题目可强化整式乘法的运算能力。
【难度系数】
0.6
7.已知$x=-0.125$,$y=8$,求$x^{2n}· (xy^{n+1})^{2}$。
答案
7.1
解析
【分析】
要计算代数式的值，直接代入x、y的数值计算较为繁琐，因此先利用幂的运算性质对代数式化简。首先根据积的乘方法则展开$(xy^{n+1})^{2}$，再利用同底数幂的乘法法则合并同类项，最后逆用积的乘方法则将代数式转化为$(xy)^{2n+2}$的形式，代入x、y的值求出xy，再根据-1的偶数次幂的性质得到结果。
【解析】
解：先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}x^{2n}· (xy^{n+1})^{2}&=x^{2n}· x^2 · y^{2(n+1)} \quad \mathrm{（积的乘方法则：}(ab)^m=a^m b^m\mathrm{）}\\&=x^{2n+2}· y^{2n+2} \quad \mathrm{（同底数幂乘法法则：}a^m·a^n=a^{m+n}\mathrm{）}\\&=(xy)^{2n+2} \quad \mathrm{（逆用积的乘方法则）}\end{aligned}$
将$x=-0.125$，$y=8$代入：
$xy=-0.125×8=-1$，
则原式$=(-1)^{2n+2}$，
因为$2n+2$是偶数（$n$为整数，偶数加偶数仍为偶数），所以$(-1)^{2n+2}=1$。
【答案】
1
【知识点】
积的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题考查幂的运算性质的综合应用，通过先化简再求值的思路简化计算，重点在于熟练运用积的乘方、同底数幂乘法的法则，以及掌握-1的偶数次幂为1的性质，培养学生的代数化简能力。
【难度系数】
0.6
要计算代数式的值，直接代入x、y的数值计算较为繁琐，因此先利用幂的运算性质对代数式化简。首先根据积的乘方法则展开$(xy^{n+1})^{2}$，再利用同底数幂的乘法法则合并同类项，最后逆用积的乘方法则将代数式转化为$(xy)^{2n+2}$的形式，代入x、y的值求出xy，再根据-1的偶数次幂的性质得到结果。
【解析】
解：先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}x^{2n}· (xy^{n+1})^{2}&=x^{2n}· x^2 · y^{2(n+1)} \quad \mathrm{（积的乘方法则：}(ab)^m=a^m b^m\mathrm{）}\\&=x^{2n+2}· y^{2n+2} \quad \mathrm{（同底数幂乘法法则：}a^m·a^n=a^{m+n}\mathrm{）}\\&=(xy)^{2n+2} \quad \mathrm{（逆用积的乘方法则）}\end{aligned}$
将$x=-0.125$，$y=8$代入：
$xy=-0.125×8=-1$，
则原式$=(-1)^{2n+2}$，
因为$2n+2$是偶数（$n$为整数，偶数加偶数仍为偶数），所以$(-1)^{2n+2}=1$。
【答案】
1
【知识点】
积的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题考查幂的运算性质的综合应用，通过先化简再求值的思路简化计算，重点在于熟练运用积的乘方、同底数幂乘法的法则，以及掌握-1的偶数次幂为1的性质，培养学生的代数化简能力。
【难度系数】
0.6
8.若$1+2+3+\dots +n=m$,且$ab=1$,m为正整数。
求$(ab^{n})· (a^{2}b^{n-1})· \dots · (a^{n-1}b^{2})· (a^{n}b)$。
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
求$(ab^{n})· (a^{2}b^{n-1})· \dots · (a^{n-1}b^{2})· (a^{n}b)$。
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
8.解:因为$1+2+3+··· +n=m$,$ab=1$,
所以$(ab^{n})· (a^{2}b^{n-1})· ··· · (a^{n-1}b^{2})· (a^{n}b)=$
$a^{1+2+3+··· +n}b^{n+n-1+··· +1}=a^{m}b^{m}=(ab)^{m}=1^{m}=1$。
所以$(ab^{n})· (a^{2}b^{n-1})· ··· · (a^{n-1}b^{2})· (a^{n}b)=$
$a^{1+2+3+··· +n}b^{n+n-1+··· +1}=a^{m}b^{m}=(ab)^{m}=1^{m}=1$。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：
1. 观察所求式子是多个单项式相乘，根据单项式乘法法则，应将同底数幂的指数分别相加，即把所有a的指数合并，所有b的指数合并；
2. 已知$1+2+3+\dots +n=m$，分析a的指数和是$1+2+\dots +n$，正好等于m；再看b的指数是$n+(n-1)+\dots +1$，这与$1+2+\dots +n$的和相同，也等于m；
3. 此时式子可转化为$a^m b^m$，结合已知$ab=1$，利用积的乘方逆运算，将其变形为$(ab)^m$，代入$ab=1$即可求出结果。
【解析】
因为$1+2+3+\dots +n=m$，$ab=1$，
所以$(ab^{n})· (a^{2}b^{n-1})· \dots · (a^{n-1}b^{2})· (a^{n}b)$
$=a^{1+2+3+\dots +n}b^{n+n-1+\dots +1}$
$=a^m b^m$
$=(ab)^m$
$=1^m$
$=1$
【答案】
1
【知识点】
同底数幂的乘法、积的乘方逆运算、整体代入思想
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的综合应用，需要熟练掌握同底数幂相乘“底数不变，指数相加”以及积的乘方“$(ab)^n=a^n b^n$”的逆用，同时要善于观察式子中指数的规律，结合已知条件进行整体代入，理清思路后解题较为简便。
【难度系数】
0.7
自我反思
存在的问题:
1. 对幂的运算法则记忆混淆，易出错指数运算步骤
2. 未能快速发现b的指数和与a的指数和的等量关系，解题效率低
改进的措施:
1. 强化幂的各类运算法则的背诵与专项练习，明确不同运算的指数处理方式
2. 加强对式子结构的观察训练，提升寻找已知条件与所求式子关联的能力，培养整体代入的思维习惯
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：
1. 观察所求式子是多个单项式相乘，根据单项式乘法法则，应将同底数幂的指数分别相加，即把所有a的指数合并，所有b的指数合并；
2. 已知$1+2+3+\dots +n=m$，分析a的指数和是$1+2+\dots +n$，正好等于m；再看b的指数是$n+(n-1)+\dots +1$，这与$1+2+\dots +n$的和相同，也等于m；
3. 此时式子可转化为$a^m b^m$，结合已知$ab=1$，利用积的乘方逆运算，将其变形为$(ab)^m$，代入$ab=1$即可求出结果。
【解析】
因为$1+2+3+\dots +n=m$，$ab=1$，
所以$(ab^{n})· (a^{2}b^{n-1})· \dots · (a^{n-1}b^{2})· (a^{n}b)$
$=a^{1+2+3+\dots +n}b^{n+n-1+\dots +1}$
$=a^m b^m$
$=(ab)^m$
$=1^m$
$=1$
【答案】
1
【知识点】
同底数幂的乘法、积的乘方逆运算、整体代入思想
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的综合应用，需要熟练掌握同底数幂相乘“底数不变，指数相加”以及积的乘方“$(ab)^n=a^n b^n$”的逆用，同时要善于观察式子中指数的规律，结合已知条件进行整体代入，理清思路后解题较为简便。
【难度系数】
0.7
自我反思
存在的问题:
1. 对幂的运算法则记忆混淆，易出错指数运算步骤
2. 未能快速发现b的指数和与a的指数和的等量关系，解题效率低
改进的措施:
1. 强化幂的各类运算法则的背诵与专项练习，明确不同运算的指数处理方式
2. 加强对式子结构的观察训练，提升寻找已知条件与所求式子关联的能力，培养整体代入的思维习惯
