14. 如图6-G-2，数轴的单位长度为1，如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（）

A.$-2$
B.$-4$
C.$-5$
D.$-6$

14. B

【分析】
解题时首先回忆绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。已知点B、C表示的数的绝对值相等，说明B、C到原点的距离相等，因此原点是线段BC的中点。第一步先计算BC的长度，确定原点的位置，得到点B表示的数；第二步根据点A和点B的位置关系，计算点A表示的数即可。
【解析】
∵点B，C表示的数的绝对值相等，
∴原点是线段BC的中点，即B、C到原点的距离相等。
观察数轴，单位长度为1，B和C之间相距4个单位长度，
∴点B到原点的距离为$4÷2=2$，又B在原点左侧，因此点B表示的数是$-2$。
点A在点B左侧，与B相距2个单位长度，
∴点A表示的数为$-2-2=-4$。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，绝对值的几何意义，相反数的性质
【点评】
本题是数轴、绝对值和相反数的综合基础题，解题的核心是利用“绝对值相等的两个非零数互为相反数，对应点的中点为原点”先确定原点位置，再逐步推导目标点对应的数，结合数轴观察解题更直观。
【难度系数】
0.8

15. 如图6-G-3,有理数m,n,p,q在数轴上对应的点分别为M,N,P,Q.若n与q互为相反数,则m,n,p,q中,绝对值最小的数是（）

A.p
B.q
C.m
D.n

15. C

【分析】
解题的关键是先确定原点的位置，再结合绝对值的几何意义判断：首先，互为相反数的两个数对应的点关于原点对称，已知n和q互为相反数，因此原点就在表示n、q的点N和Q的中点处；其次，绝对值表示数轴上一个数对应的点到原点的距离，哪个点到原点的距离最近，对应数的绝对值就最小，观察各点和原点的位置关系即可得出结论。
【解析】
解：
∵n和q互为相反数，
∴数轴上表示n和q的点N、Q关于原点对称，即原点是线段NQ的中点。
根据绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，距离越短，绝对值越小。
观察数轴上P、N、M、Q四个点的位置，点M到原点（NQ中点）的距离最近，因此m的绝对值最小。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
相反数的性质，绝对值的几何意义，数轴的应用
【点评】
本题考查数轴、相反数和绝对值的相关知识，利用数形结合的思想，先根据相反数的性质确定原点位置，再通过比较点到原点的距离判断绝对值大小，是解决此类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7

16. 数学思想 分类讨论 如果在数轴上的A,B两点所表示的有理数分别是$x,y$，且$|x|=3$，$|y|=1$，求A,B两点间的距离.

16. 解:因为$|x|=3$,所以$x=\pm3$.
因为$|y|=1$,所以$y=\pm1$.
当$x$与$y$同号时,A,B两点间的距离是2;
当$x$与$y$异号时,A,B两点间的距离是4.
综上可知,A,B两点间的距离是2或4.

【分析】
解题时首先根据绝对值的性质确定x、y的所有可能取值，再结合数轴上两点间的距离等于两点所对应有理数差的绝对值这一规则，由于x和y的符号存在同号、异号两种情况，因此需要分类讨论计算不同情况下的距离，最后汇总所有可能的结果即可。
【解析】
解：
∵ $|x|=3$，
∴ $x=\pm3$；
∵ $|y|=1$，
∴ $y=\pm1$。
① 当x与y同号时：
若$x=3,y=1$，A、B两点间的距离为$|3-1|=2$；
若$x=-3,y=-1$，A、B两点间的距离为$|-3 - (-1)|=2$；
即x、y同号时两点间距离为2。
② 当x与y异号时：
若$x=3,y=-1$，A、B两点间的距离为$|3 - (-1)|=4$；
若$x=-3,y=1$，A、B两点间的距离为$|-3 - 1|=4$；
即x、y异号时两点间距离为4。
综上可知，A、B两点间的距离是2或4。
【答案】
2或4
【知识点】
绝对值的性质；数轴两点间距离；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查绝对值的相关应用，解题的关键是不要遗漏绝对值对应数的正负两种情况，分类讨论时要做到不重不漏，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7

17. “距离”再探究.
【概念理解】
“数形结合”是一个重要的数学思想.如：$|3-(-2)|$表示3与$-2$的差的绝对值，也可以理解为3与$-2$在数轴上所对应的两个点之间的距离.进一步，数轴上$A,B$两点所表示的数分别用$a,b$表示，那么$A,B$两点之间的距离$AB=|a-b|$.利用此结论回答以下问题：
(1)数轴上，若点$A,B$表示的数分别是$x,2$，则$A,B$两点之间的距离可以表示为 （）
A.$x+2$
B.$|x+2|$
C.$x-2$
D.$|x-2|$
【数学思考】
(2)$|x-17|$的几何意义是；
(3)$|x+7|$的几何意义是；
(4)若$|x-17|=5$，则$x$的值为；
(5)若$|x+7|=5$，则$x$的值为.

17. (1) D (2) 17与$x$在数轴上所对应的两个点之间的距离 (3) −7与$x$在数轴上所对应的两个点之间的距离 (4) 22或12 (5) −2或−12

【分析】
解题核心是利用题干给出的结论：数轴上两点A、B表示的数为a、b时，两点距离$AB=|a-b|$，结合绝对值的性质逐一求解各小问。第(1)问直接代入两点的数到距离公式即可选出答案；第(2)(3)问要把绝对值内的式子转化为两数差的形式，再对应几何意义；第(4)(5)问可从代数（绝对值的性质：若$|m|=a(a＞0)$，则$m=a$或$m=-a$）、几何（到定点距离为定值的点有2个，分别在定点左右两侧）两个角度求解，符合七年级的知识范围。
【解析】
(1) 已知点A表示的数是$x$，点B表示的数是2，根据数轴两点距离公式，$A、B$两点之间的距离为$|x-2|$，故选D。
(2) 根据绝对值的几何意义，$|x-17|$是x与17的差的绝对值，对应几何意义为：17与$x$在数轴上所对应的两个点之间的距离。
(3) 先将$|x+7|$变形为$|x-(-7)|$，因此它的几何意义是：−7与$x$在数轴上所对应的两个点之间的距离。
(4) 已知$|x-17|=5$，根据绝对值的性质可得：
$x-17=5$或$x-17=-5$
解$x-17=5$得$x=22$，解$x-17=-5$得$x=12$，因此$x$的值为22或12。
(5) 已知$|x+7|=5$，根据绝对值的性质可得：
$x+7=5$或$x+7=-5$
解$x+7=5$得$x=-2$，解$x+7=-5$得$x=-12$，因此$x$的值为−2或−12。
【答案】
(1) D (2) 17与$x$在数轴上所对应的两个点之间的距离 (3) −7与$x$在数轴上所对应的两个点之间的距离 (4) 22或12 (5) −2或−12
【知识点】
绝对值的几何意义，数轴两点距离，绝对值方程
【点评】
本题考查对新概念的理解和迁移应用能力，借助数形结合思想将绝对值的代数性质和数轴的几何特点结合，只要紧扣题干给出的距离公式就能快速解题，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8

典例呈现
若$|a-1|$与$|b-2|$的值互为相反数，则$a+b$的值为________。
变式训练
1. 若$|x-1|+|y-5|=0$，则$x=\_\_\_\_\_\_$，$y=\_\_\_\_\_\_$。
2. 若$|a-b|+2|b-3|=0$，则$a=\_\_\_\_\_\_$，$b=\_\_\_\_\_\_$。
典例呈现
用字母$a$表示一个有理数，则$|a|$一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以$|a|$有最小值0。而$-|a|$一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以$-|a|$有最大值0。

典例呈现 3

【分析】
解题时首先回忆相反数的性质：互为相反数的两个数相加和为0，由此可得到两个绝对值的和为0；再结合绝对值的性质：任何有理数的绝对值都是非负数（即大于等于0），可知两个非负数相加得0时，只能是两个数各自都为0，据此分别求出a、b的值，最后计算a+b的结果即可。
【解析】
解：
∵$|a-1|$与$|b-2|$互为相反数
∴$|a-1| + |b-2| = 0$
又
∵任意有理数的绝对值都是非负数，即$|a-1|≥0$，$|b-2|≥0$
∴只有$|a-1|=0$且$|b-2|=0$时，等式成立
即$a-1=0$，$b-2=0$
解得$a=1$，$b=2$
∴$a+b=1+2=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 相反数的性质
2. 绝对值的非负性
【点评】
本题是绝对值章节的基础常考题，解题关键是掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0”的规律，该规律是绝对值相关题型的常用考点。
【难度系数】
0.8

根据这个结论，回答以下问题：
(1)$|a| + 1$有最值；$5 - |a|$有最值.
(2)当$a =$时，$|a - 1| + 2$有最值.
(3)当$a =$时，$9 - |a - 3|$有最值.

1. 小 1 大 5
2. 1 小 2
3. 3 大 9

【分析】
解题的核心依据是绝对值的非负性：任意有理数的绝对值都是非负数，即$\left|x\right|\ge0$，当且仅当$x=0$时，$\left|x\right|$取最小值0。我们可以根据这个性质，分析代数式中绝对值部分的取值对整个代数式大小的影响：如果式子是“常数+绝对值”，那么绝对值最小时整个式子最小；如果式子是“常数-绝对值”，那么绝对值最小时整个式子最大，据此一步步推导各空即可。
【解析】
根据绝对值的非负性可知，对任意有理数$x$，都有$\left|x\right|\ge0$，当且仅当$x=0$时，$\left|x\right|=0$。
(1) 因为$\left|a\right|\ge0$，所以$\left|a\right|+1\ge0+1=1$，因此$\left|a\right|+1$有最小值1；
对于$5-\left|a\right|$，$\left|a\right|$越小，$5-\left|a\right|$的结果越大，当$\left|a\right|=0$时，$5-\left|a\right|=5-0=5$，因此$5-\left|a\right|$有最大值5。
(2) 因为$\left|a-1\right|\ge0$，所以$\left|a-1\right|+2\ge0+2=2$，当$\left|a-1\right|=0$即$a=1$时，式子取得最小值2。
(3) 因为$\left|a-3\right|\ge0$，所以$9-\left|a-3\right|\le9-0=9$，当$\left|a-3\right|=0$即$a=3$时，式子取得最大值9。
【答案】
(1) 小，1，大，5
(2) 1，小，2
(3) 3，大，9
【知识点】
绝对值的非负性，代数式最值求解
【点评】
本题是绝对值性质的基础应用类题目，解题关键是熟练掌握绝对值的非负性，能根据代数式的结构判断绝对值部分的取值对整体大小的影响，这类题型是绝对值章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8

3. 当$|a - 8| + 5$取最小值时，$a =$。

3. 8

【分析】
解题时首先回忆绝对值的性质：任意有理数的绝对值都是非负数，即|x|≥0。观察式子|a-8|+5，其中5是固定不变的常数，要让整个式子取最小值，就需要让|a-8|取到最小的值。绝对值的最小值是0，因此只需要求出当|a-8|=0时a的取值即可。
【解析】
根据绝对值的非负性可知：|a-8|≥0，
因此|a-8|的最小值为0，此时|a-8|+5的最小值为0+5=5。
当|a-8|=0时，有a-8=0，
解得：a=8。
【答案】
8
【知识点】
1. 绝对值的非负性
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题考查绝对值性质的基础应用，解题核心是明确固定常数不影响代数式的最值变化，只需让含绝对值的部分取最小值即可，掌握绝对值的非负性是解答本题的关键。
【难度系数】
0.9

4. 当$a=$时，$10 - |6 - a|$有最 值

4. 6 大 10

【分析】
要解决这个问题，首先回忆绝对值的性质：任意一个数的绝对值都是非负数，即|x|≥0。观察代数式$10 - |6 - a|$，它是被减数10减去一个非负数$|6 - a|$，根据减法的规律，被减数固定时，减数越小，差越大。所以要让这个代数式取得最大值，就需要让减数$|6 - a|$取到最小值，再根据绝对值最小为0的特点，求出对应的a的值和代数式的最值即可。
【解析】
根据绝对值的非负性可知：$\left|6-a\right|≥ 0$
因为被减数10固定，所以当减数$\left|6-a\right|$最小时，$10 - |6 - a|$的值最大。
绝对值的最小值为0，因此当$\left|6-a\right|=0$时，代数式取得最大值，此时：
$6-a=0$，解得$a=6$
将$a=6$代入代数式得：$10-0=10$
所以当$a=6$时，$10 - |6 - a|$有最大值10。
【答案】
6；大；10
【知识点】
1. 绝对值的非负性
2. 代数式最值求解
【点评】
本题核心考查绝对值非负性的应用，解题的关键是明确“被减数固定，减数越小差越大”的规律，结合绝对值最小值为0的特点即可快速求解，是绝对值性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8