登录
11 观察下列各式：
$2^{2}+4^{2}=20=4×5;8^{2}+10^{2}=164=4×41;24^{2}+26^{2}=1\ 252=4×313;36^{2}+38^{2}=2\ 740=4×685;···.$
(1) 发现结论:任意两个连续偶数的平方和是4的
(2) 逻辑论证:在两个连续偶数中,设较小的数为$2n$($n$为整数),请论证(1)中结论的正确性.
$2^{2}+4^{2}=20=4×5;8^{2}+10^{2}=164=4×41;24^{2}+26^{2}=1\ 252=4×313;36^{2}+38^{2}=2\ 740=4×685;···.$
(1) 发现结论:任意两个连续偶数的平方和是4的
奇数
倍(填“偶数”或“奇数”)；(2) 逻辑论证:在两个连续偶数中,设较小的数为$2n$($n$为整数),请论证(1)中结论的正确性.
答案
(1) 奇数
(2)
∵ 在两个连续偶数中,设较小的数为$2n$($n$为整数),
∴ 较大的数为$2n+2$.
∴ $(2n)^2+(2n+2)^2=4n^2+4n^2+8n+4=8n^2+8n+4=4(2n^2+2n+1). ∵ n$ 为整数,
∴ $2n^2$ 是偶数,$2n+1$ 是奇数.
∴ $2n^2+2n+1$ 是奇数.
∴ 任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍
(2)
∵ 在两个连续偶数中,设较小的数为$2n$($n$为整数),
∴ 较大的数为$2n+2$.
∴ $(2n)^2+(2n+2)^2=4n^2+4n^2+8n+4=8n^2+8n+4=4(2n^2+2n+1). ∵ n$ 为整数,
∴ $2n^2$ 是偶数,$2n+1$ 是奇数.
∴ $2n^2+2n+1$ 是奇数.
∴ 任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍
解析
【分析】
先观察题目给出的连续偶数平方和的特例，发现结果均为4乘奇数，由此得出第一问结论；第二问采用代数论证法，设较小连续偶数为2n（n为整数），则较大连续偶数为2n+2，通过展开、化简平方和，判断化简后式子中除4外的部分为奇数，从而证明结论。
【解析】
(1) 观察给出的式子：$2^2+4^2=20=4×5$，$5$是奇数；$8^2+10^2=164=4×41$，$41$是奇数；$24^2+26^2=1252=4×313$，$313$是奇数……可发现任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍，故填奇数。
(2) 设较小的连续偶数为$2n$（$n$为整数），则较大的连续偶数为$2n+2$。
计算平方和：
$(2n)^2+(2n+2)^2=4n^2 + 4n^2 +8n +4=8n^2+8n+4=4(2n^2+2n+1)$。
因为$n$为整数，所以$2n^2$是偶数，$2n$是偶数，$2n+1$是奇数，偶数加奇数为奇数，故$2n^2+2n+1$是奇数。因此，任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍。
【答案】
(1) 奇数；(2) 论证过程：设较小连续偶数为$2n$（$n$为整数），则较大数为$2n+2$，$(2n)^2+(2n+2)^2=4(2n^2+2n+1)$，因$n$为整数，$2n^2+2n+1$是奇数，故结论成立。
【知识点】
整式运算、代数式化简、数的奇偶性判断
【点评】
本题通过特例归纳规律，再用代数方法严谨论证，体现从特殊到一般的数学思想，考查整式运算与数的奇偶性判断，是基础代数应用题目，难度适中。
【难度系数】
0.6
先观察题目给出的连续偶数平方和的特例，发现结果均为4乘奇数，由此得出第一问结论；第二问采用代数论证法，设较小连续偶数为2n（n为整数），则较大连续偶数为2n+2，通过展开、化简平方和，判断化简后式子中除4外的部分为奇数，从而证明结论。
【解析】
(1) 观察给出的式子：$2^2+4^2=20=4×5$，$5$是奇数；$8^2+10^2=164=4×41$，$41$是奇数；$24^2+26^2=1252=4×313$，$313$是奇数……可发现任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍，故填奇数。
(2) 设较小的连续偶数为$2n$（$n$为整数），则较大的连续偶数为$2n+2$。
计算平方和：
$(2n)^2+(2n+2)^2=4n^2 + 4n^2 +8n +4=8n^2+8n+4=4(2n^2+2n+1)$。
因为$n$为整数，所以$2n^2$是偶数，$2n$是偶数，$2n+1$是奇数，偶数加奇数为奇数，故$2n^2+2n+1$是奇数。因此，任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍。
【答案】
(1) 奇数；(2) 论证过程：设较小连续偶数为$2n$（$n$为整数），则较大数为$2n+2$，$(2n)^2+(2n+2)^2=4(2n^2+2n+1)$，因$n$为整数，$2n^2+2n+1$是奇数，故结论成立。
【知识点】
整式运算、代数式化简、数的奇偶性判断
【点评】
本题通过特例归纳规律，再用代数方法严谨论证，体现从特殊到一般的数学思想，考查整式运算与数的奇偶性判断，是基础代数应用题目，难度适中。
【难度系数】
0.6
12 阅读材料,解答问题：
分解因式:$x^{3}+4x^{2}-5.$
解:把$x=1$代入多项式$x^{3}+4x^{2}-5$,发现此多项式的值为0,由此确定多项式$x^{3}+4x^{2}-5$有因式$x-1$.于是可设$x^{3}+4x^{2}-5=(x-1)(x^{2}+mx+n)$,分别求出$m,n$的值,再代入$x^{3}+4x^{2}-5=$$(x-1)(x^{2}+mx+n)$,就容易因式分解多项式$x^{3}+4x^{2}-5$,这种方法叫作“试根法”.
(1) 求上述材料中$m,n$的值；
(2) 请你用“试根法”分解因式:$x^{3}+x^{2}-9x-9.$
分解因式:$x^{3}+4x^{2}-5.$
解:把$x=1$代入多项式$x^{3}+4x^{2}-5$,发现此多项式的值为0,由此确定多项式$x^{3}+4x^{2}-5$有因式$x-1$.于是可设$x^{3}+4x^{2}-5=(x-1)(x^{2}+mx+n)$,分别求出$m,n$的值,再代入$x^{3}+4x^{2}-5=$$(x-1)(x^{2}+mx+n)$,就容易因式分解多项式$x^{3}+4x^{2}-5$,这种方法叫作“试根法”.
(1) 求上述材料中$m,n$的值；
(2) 请你用“试根法”分解因式:$x^{3}+x^{2}-9x-9.$
答案
(1) $\because x^3+4x^2−5=(x−1)(x^2+mx+n)=x^3+(m−1)x^2+(n−m)x−n,\therefore m−1=4,n−m=0. \therefore m=5,n=5$
(2) 把$x=−1$代入$x^3+x^2−9x−9$,得到多项式的值为0,
∴ 多项式$x^3+x^2−9x−9$有因式$x+1$,则可设$x^3+x^2−9x−9=(x+1)(x^2+mx+n)=x^3+(m+1)x^2+(n+m)x+n.$
$\therefore m+1=1,n+m=−9. \therefore m=0,n=−9. \therefore x^3+x^2−9x−9=(x+1)(x^2−9)=(x+1)(x+3)(x−3)$
(2) 把$x=−1$代入$x^3+x^2−9x−9$,得到多项式的值为0,
∴ 多项式$x^3+x^2−9x−9$有因式$x+1$,则可设$x^3+x^2−9x−9=(x+1)(x^2+mx+n)=x^3+(m+1)x^2+(n+m)x+n.$
$\therefore m+1=1,n+m=−9. \therefore m=0,n=−9. \therefore x^3+x^2−9x−9=(x+1)(x^2−9)=(x+1)(x+3)(x−3)$
解析
【分析】
本题分为两小问，均需运用试根法分解因式。第(1)问根据已知多项式有因式$x-1$，将右边展开后与原式对比对应系数，即可求出$m$、$n$的值；第(2)问先通过试根找到使多项式值为0的$x$，确定对应的因式，再设分解式展开，对比系数求出二次式的系数，最后对二次式进一步分解得到结果。
【解析】
(1) 将$(x-1)(x^2+mx+n)$展开：
$(x-1)(x^2+mx+n)=x^3+mx^2+nx -x^2 -mx -n=x^3+(m-1)x^2+(n-m)x -n$
与多项式$x^3+4x^2-5$对比，对应系数相等：
$x^2$项系数：$m-1=4$，且原式无$x$项，故$n-m=0$，常数项：$-n=-5$
解得：$m=5$，$n=5$。
(2) 试根：将$x=-1$代入多项式$x^3+x^2-9x-9$，得：
$(-1)^3+(-1)^2-9×(-1)-9=-1+1+9-9=0$，故多项式有因式$x+1$。
设$x^3+x^2-9x-9=(x+1)(x^2+mx+n)$，将右边展开：
$(x+1)(x^2+mx+n)=x^3+mx^2+nx +x^2+mx +n=x^3+(m+1)x^2+(n+m)x +n$
与原式对比系数：
$x^2$项系数：$m+1=1$，常数项：$n=-9$，解得$m=0$。
因此$x^3+x^2-9x-9=(x+1)(x^2-9)$，再利用平方差公式分解$x^2-9=(x+3)(x-3)$，最终得：
$x^3+x^2-9x-9=(x+1)(x+3)(x-3)$。
【答案】
(1) $m=5$，$n=5$；(2) $x^3+x^2-9x-9=(x+1)(x+3)(x-3)$
【知识点】
因式分解（试根法）、多项式乘法、平方差公式
【点评】
本题考查试根法分解因式的应用，核心是通过试根确定多项式的因式，结合多项式展开的系数对应关系求解未知系数，最后利用平方差公式完成二次式分解，步骤清晰，属于因式分解的基础拓展题型，需掌握试根法的操作逻辑。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，均需运用试根法分解因式。第(1)问根据已知多项式有因式$x-1$，将右边展开后与原式对比对应系数，即可求出$m$、$n$的值；第(2)问先通过试根找到使多项式值为0的$x$，确定对应的因式，再设分解式展开，对比系数求出二次式的系数，最后对二次式进一步分解得到结果。
【解析】
(1) 将$(x-1)(x^2+mx+n)$展开：
$(x-1)(x^2+mx+n)=x^3+mx^2+nx -x^2 -mx -n=x^3+(m-1)x^2+(n-m)x -n$
与多项式$x^3+4x^2-5$对比，对应系数相等：
$x^2$项系数：$m-1=4$，且原式无$x$项，故$n-m=0$，常数项：$-n=-5$
解得：$m=5$，$n=5$。
(2) 试根：将$x=-1$代入多项式$x^3+x^2-9x-9$，得：
$(-1)^3+(-1)^2-9×(-1)-9=-1+1+9-9=0$，故多项式有因式$x+1$。
设$x^3+x^2-9x-9=(x+1)(x^2+mx+n)$，将右边展开：
$(x+1)(x^2+mx+n)=x^3+mx^2+nx +x^2+mx +n=x^3+(m+1)x^2+(n+m)x +n$
与原式对比系数：
$x^2$项系数：$m+1=1$，常数项：$n=-9$，解得$m=0$。
因此$x^3+x^2-9x-9=(x+1)(x^2-9)$，再利用平方差公式分解$x^2-9=(x+3)(x-3)$，最终得：
$x^3+x^2-9x-9=(x+1)(x+3)(x-3)$。
【答案】
(1) $m=5$，$n=5$；(2) $x^3+x^2-9x-9=(x+1)(x+3)(x-3)$
【知识点】
因式分解（试根法）、多项式乘法、平方差公式
【点评】
本题考查试根法分解因式的应用，核心是通过试根确定多项式的因式，结合多项式展开的系数对应关系求解未知系数，最后利用平方差公式完成二次式分解，步骤清晰，属于因式分解的基础拓展题型，需掌握试根法的操作逻辑。
【难度系数】
0.6
13 如图,将一块长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为 $ m \, \mathrm{cm} $ 的大正方形纸板,两块是边长都为 $ n \, \mathrm{cm} $ 的小正方形纸板,其余五块都是长为 $ m \, \mathrm{cm} $、宽为 $ n \, \mathrm{cm} $ 的小长方形纸板,且 $ m＞n $.
(1) 观察图形,并解答问题:
① 代数式 $ 2m^2 + 5mn + 2n^2 $ 可以因式分解为
② 若长方形纸板的面积为 $ 108 \, \mathrm{cm}^2 $,每块小长方形纸板的面积为 $ 10 \, \mathrm{cm}^2 $,试求图中所有裁剪线(虚线)的长度之和.
(2) 若再给一块边长为 $ n \, \mathrm{cm} $ 的小正方形纸板和两块长为 $ m \, \mathrm{cm} $、宽为 $ n \, \mathrm{cm} $ 的小长方形纸板,请用现有的所有纸板拼凑出一个长方形,并画出这个长方形,再对多项式 $ 2m^2 + 7mn + 3n^2 $ 进行因式分解.
(1) 观察图形,并解答问题:
① 代数式 $ 2m^2 + 5mn + 2n^2 $ 可以因式分解为
$(2m+n)(m+2n)$
;② 若长方形纸板的面积为 $ 108 \, \mathrm{cm}^2 $,每块小长方形纸板的面积为 $ 10 \, \mathrm{cm}^2 $,试求图中所有裁剪线(虚线)的长度之和.
(2) 若再给一块边长为 $ n \, \mathrm{cm} $ 的小正方形纸板和两块长为 $ m \, \mathrm{cm} $、宽为 $ n \, \mathrm{cm} $ 的小长方形纸板,请用现有的所有纸板拼凑出一个长方形,并画出这个长方形,再对多项式 $ 2m^2 + 7mn + 3n^2 $ 进行因式分解.
答案
(1) ① $(2m+n)(m+2n)$
② $\because$ 长方形纸板的面积为 $108 \, \mathrm{cm}^2$,每块小长方形纸板的面积为 $10 \, \mathrm{cm}^2,\therefore 2m^2+5mn+2n^2=108,mn=10. \therefore m^2+n^2=29. \because (m+n)^2=m^2+2mn+n^2=29+2×10=49,$ 且 $m+n＞0,\therefore m+n=7. \therefore 2(m+2n+2m+n)=6(m+n)=6×7=42,\therefore$ 题图中所有裁剪线(虚线)的长度之和为 $42 \, \mathrm{cm}$
(2) 如图所示(画法不唯一)
$2m^2+7mn+3n^2=(2m+n)(m+3n)$解析
【分析】
(1)①：对于二次三项式$2m^2+5mn+2n^2$，采用十字相乘法因式分解，将二次项系数2拆分为$2×1$，常数项$2n^2$拆分为$2n×n$，验证交叉项乘积和是否等于$5mn$，即可得到因式分解结果；
(1)②：先根据图形得出大长方形面积等于$2m^2+5mn+2n^2$，结合已知面积和小长方形面积$mn$，求出$m^2+n^2$的值，再利用完全平方公式求出$m+n$的值；接着分析裁剪线长度：大长方形的长为$m+2n$，宽为$2m+n$，横向、纵向裁剪线各2条，总长度为$2(m+2n)+2(2m+n)=6(m+n)$，代入$m+n$的值即可计算；
(2)：对多项式$2m^2+7mn+3n^2$用十字相乘法，将二次项系数2拆分为$2×1$，常数项$3n^2$拆分为$3n×n$，验证交叉项乘积和为$7mn$，完成因式分解，再根据因式结果拼凑长方形。
【解析】
(1)①：用十字相乘法分解$2m^2+5mn+2n^2$：
$2m^2+5mn+2n^2=(2m+n)(m+2n)$；
(1)②：由题意，大长方形面积为$2m^2+5mn+2n^2=108$，每块小长方形面积$mn=10$，
代入得：$2m^2+2n^2 +5×10=108$，
整理得：$2(m^2+n^2)=58 \implies m^2+n^2=29$，
根据完全平方公式：$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2=29+2×10=49$，
因为$m＞0,n＞0$，所以$m+n=7$，
大长方形的长为$m+2n$，宽为$2m+n$，裁剪线总长度为：
$2(m+2n)+2(2m+n)=6(m+n)=6×7=42(\mathrm{cm})$；
(2)：对$2m^2+7mn+3n^2$十字相乘法分解：
$2m^2+7mn+3n^2=(2m+n)(m+3n)$，
画图（画法不唯一）：将边长为$2m+n$和$m+3n$的长方形，对应多项式的项拼接即可。
【答案】
(1)① $(2m+n)(m+2n)$；② $42 \, \mathrm{cm}$；(2) 画图略，$2m^2+7mn+3n^2=(2m+n)(m+3n)$
【知识点】
因式分解（十字相乘法）、完全平方公式、长方形面积计算
【点评】
本题结合几何图形考查因式分解的应用，需通过图形建立代数关系，利用公式求解，同时考查图形拼凑能力，是代数与几何结合的典型题型，综合性较强。
【难度系数】
0.6
(1)①：对于二次三项式$2m^2+5mn+2n^2$，采用十字相乘法因式分解，将二次项系数2拆分为$2×1$，常数项$2n^2$拆分为$2n×n$，验证交叉项乘积和是否等于$5mn$，即可得到因式分解结果；
(1)②：先根据图形得出大长方形面积等于$2m^2+5mn+2n^2$，结合已知面积和小长方形面积$mn$，求出$m^2+n^2$的值，再利用完全平方公式求出$m+n$的值；接着分析裁剪线长度：大长方形的长为$m+2n$，宽为$2m+n$，横向、纵向裁剪线各2条，总长度为$2(m+2n)+2(2m+n)=6(m+n)$，代入$m+n$的值即可计算；
(2)：对多项式$2m^2+7mn+3n^2$用十字相乘法，将二次项系数2拆分为$2×1$，常数项$3n^2$拆分为$3n×n$，验证交叉项乘积和为$7mn$，完成因式分解，再根据因式结果拼凑长方形。
【解析】
(1)①：用十字相乘法分解$2m^2+5mn+2n^2$：
$2m^2+5mn+2n^2=(2m+n)(m+2n)$；
(1)②：由题意，大长方形面积为$2m^2+5mn+2n^2=108$，每块小长方形面积$mn=10$，
代入得：$2m^2+2n^2 +5×10=108$，
整理得：$2(m^2+n^2)=58 \implies m^2+n^2=29$，
根据完全平方公式：$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2=29+2×10=49$，
因为$m＞0,n＞0$，所以$m+n=7$，
大长方形的长为$m+2n$，宽为$2m+n$，裁剪线总长度为：
$2(m+2n)+2(2m+n)=6(m+n)=6×7=42(\mathrm{cm})$；
(2)：对$2m^2+7mn+3n^2$十字相乘法分解：
$2m^2+7mn+3n^2=(2m+n)(m+3n)$，
画图（画法不唯一）：将边长为$2m+n$和$m+3n$的长方形，对应多项式的项拼接即可。
【答案】
(1)① $(2m+n)(m+2n)$；② $42 \, \mathrm{cm}$；(2) 画图略，$2m^2+7mn+3n^2=(2m+n)(m+3n)$
【知识点】
因式分解（十字相乘法）、完全平方公式、长方形面积计算
【点评】
本题结合几何图形考查因式分解的应用，需通过图形建立代数关系，利用公式求解，同时考查图形拼凑能力，是代数与几何结合的典型题型，综合性较强。
【难度系数】
0.6
