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12. 如图,在正方形ABCD中,F为DC上一点,E在CB的延长线上,连接AE,AF,EF,G为EF的中点,连接DG.若$AE=AF$,$EB=\frac{1}{4}BC$,则$\frac{DF}{DG}$的值为（）
A.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{6}$
A.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{5}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{6}$
答案
C
解析
设正方形ABCD的边长$BC=4a$，由$EB=\frac{1}{4}BC$得$EB=a$。
1. 正方形中$AB=AD$，$∠ ABE=∠ ADF=90°$，结合$AE=AF$，由HL可证$\mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ ADF$，得$DF=EB=a$。
2. 建立平面直角坐标系：令$A(0,4a)$，$B(0,0)$，$C(4a,0)$，$D(4a,4a)$，则$E(-a,0)$，$F(4a,3a)$。
3. 由G是EF中点，根据中点坐标公式得$G(\frac{3a}{2},\frac{3a}{2})$。
4. 由两点距离公式计算$DG=\sqrt{(4a-\frac{3a}{2})^2+(4a-\frac{3a}{2})^2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}a$。
5. 因此$\frac{DF}{DG}=\frac{a}{\frac{5\sqrt{2}}{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{5}$。
1. 正方形中$AB=AD$，$∠ ABE=∠ ADF=90°$，结合$AE=AF$，由HL可证$\mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ ADF$，得$DF=EB=a$。
2. 建立平面直角坐标系：令$A(0,4a)$，$B(0,0)$，$C(4a,0)$，$D(4a,4a)$，则$E(-a,0)$，$F(4a,3a)$。
3. 由G是EF中点，根据中点坐标公式得$G(\frac{3a}{2},\frac{3a}{2})$。
4. 由两点距离公式计算$DG=\sqrt{(4a-\frac{3a}{2})^2+(4a-\frac{3a}{2})^2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}a$。
5. 因此$\frac{DF}{DG}=\frac{a}{\frac{5\sqrt{2}}{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{5}$。
13.如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,EF过点O且与边AB,CD分别相交于点E,F.若OA=2,OD=1,则△AOE与△DOF的面积之和为.
（第13题图）
（第14题图）
（第15题图）
（第13题图）
（第14题图）
（第15题图）
答案
解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，AB//CD，OA=OC=2，OD=1，
∴ ∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，
$\{\begin{array}{l}∠OAE=∠OCF \\OA=OC \\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴ △AOE ≌ △COF（ASA），
∴ $S_{△ AOE}=S_{△ COF}$，
∴ $S_{△ AOE}+S_{△ DOF}=S_{△ COF}+S_{△ DOF}=S_{△ DOC}$，
∵ ∠DOC=90°，
∴ $S_{△ DOC}=\frac{1}{2} × OD × OC=\frac{1}{2} × 1 × 2=1$。
故答案为：$\boldsymbol{1}$。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，AB//CD，OA=OC=2，OD=1，
∴ ∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，
$\{\begin{array}{l}∠OAE=∠OCF \\OA=OC \\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴ △AOE ≌ △COF（ASA），
∴ $S_{△ AOE}=S_{△ COF}$，
∴ $S_{△ AOE}+S_{△ DOF}=S_{△ COF}+S_{△ DOF}=S_{△ DOC}$，
∵ ∠DOC=90°，
∴ $S_{△ DOC}=\frac{1}{2} × OD × OC=\frac{1}{2} × 1 × 2=1$。
故答案为：$\boldsymbol{1}$。
14.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点D'处,则重叠部分△AFC的面积为.
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//CD，AB=CD=8，BC=AD=4，∠B=90°，
∴ ∠DCA=∠CAB。
由折叠的性质得：∠D'CA=∠DCA，
∴ ∠D'CA=∠CAB，
∴ AF=CF。
设AF=x，则CF=x，BF=AB - AF=8 - x，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
BC² + BF² = CF²，
即 4² + (8 - x)² = x²，
整理得 80 - 16x = 0，
解得 x=5。
∴ S△AFC = $\frac{1}{2}$ × AF × BC = $\frac{1}{2}$ × 5 × 4 = 10。
最终
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//CD，AB=CD=8，BC=AD=4，∠B=90°，
∴ ∠DCA=∠CAB。
由折叠的性质得：∠D'CA=∠DCA，
∴ ∠D'CA=∠CAB，
∴ AF=CF。
设AF=x，则CF=x，BF=AB - AF=8 - x，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
BC² + BF² = CF²，
即 4² + (8 - x)² = x²，
整理得 80 - 16x = 0，
解得 x=5。
∴ S△AFC = $\frac{1}{2}$ × AF × BC = $\frac{1}{2}$ × 5 × 4 = 10。
最终
15.菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，P，Q分别是BC，BD上的动点，CQ+PQ的最小值为。
答案
$\boldsymbol{\sqrt{2}}$
解析
解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ 点A与点C关于对角线BD对称，
∴ CQ = AQ，
因此 $CQ + PQ = AQ + PQ$。
根据垂线段最短的性质，当A、Q、P三点共线，且$AP ⊥ BC$时，$AQ+PQ$取得最小值，该最小值即为线段AP的长度。
在$Rt△ ABP$中，$AB=2$，$∠ ABC=45°$，
$AP = AB · \sin45° = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
即$CQ+PQ$的最小值为$\sqrt{2}$。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ 点A与点C关于对角线BD对称，
∴ CQ = AQ，
因此 $CQ + PQ = AQ + PQ$。
根据垂线段最短的性质，当A、Q、P三点共线，且$AP ⊥ BC$时，$AQ+PQ$取得最小值，该最小值即为线段AP的长度。
在$Rt△ ABP$中，$AB=2$，$∠ ABC=45°$，
$AP = AB · \sin45° = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
即$CQ+PQ$的最小值为$\sqrt{2}$。
16. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF（折叠后点B，D都落在AC的中点O处）.若AB=3，则BC的长为.
（第16题图）
（第17题图）
（第18题图）
（第16题图）
（第17题图）
（第18题图）
答案
$\sqrt{3}$
解析
解：
∵ 四边形AECF是菱形，
∴ AO=OC，AE=EC。
由折叠的性质可得：BC=OC，∠COE=∠B=90°，
∴ AC=AO+OC=2OC=2BC。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
将$AC=2BC$，$AB=3$代入得：
$3^2 + BC^2 = (2BC)^2$
整理得$3BC^2=9$，
解得$BC=\sqrt{3}$（边长为正，舍去负根）。
∵ 四边形AECF是菱形，
∴ AO=OC，AE=EC。
由折叠的性质可得：BC=OC，∠COE=∠B=90°，
∴ AC=AO+OC=2OC=2BC。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
将$AC=2BC$，$AB=3$代入得：
$3^2 + BC^2 = (2BC)^2$
整理得$3BC^2=9$，
解得$BC=\sqrt{3}$（边长为正，舍去负根）。
17. 如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较短直角边长为$a$,较长直角边长为$b$,斜边长为$c$,若$ab=8,c=5$,则小正方形的面积是.
答案
$\boldsymbol{9}$
解析
解：
由题意可知，每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，
四个全等直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$，
将$ab=8$代入，得四个直角三角形总面积为$2×8=16$。
大正方形的斜边长为$c=5$，因此大正方形的面积为$c^2=25$。
小正方形的面积 = 大正方形的面积 - 四个直角三角形的总面积，
即$25-16=9$。
最终
由题意可知，每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，
四个全等直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$，
将$ab=8$代入，得四个直角三角形总面积为$2×8=16$。
大正方形的斜边长为$c=5$，因此大正方形的面积为$c^2=25$。
小正方形的面积 = 大正方形的面积 - 四个直角三角形的总面积，
即$25-16=9$。
最终
18.如图,四边形ABCD为正方形,E为对角线AC上一点,连接DE,过点E作$EF⊥DE$,交边BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.若$AB=4,CE:AE=3:1$,则CG的长为.
答案
$\boldsymbol{\sqrt{2}}$
解析
解：
∵ 四边形ABCD为正方形，AB=4
∴ AD=CD=4，∠ADC=90°，∠DAE=45°
∴ $AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$
∵ $CE:AE = 3:1$
∴ $AE = \frac{1}{3+1} × AC = \sqrt{2}$
过点E作$EM ⊥ AD$于M，$EN ⊥ CD$于N，
∵ 点E在正方形对角线AC上，
∴ $EM=EN$，$∠ MEN=90°$，
∵ $DE ⊥ EF$，四边形DEFG是矩形，
∴ $∠ DEF=90°$，
∴ $∠ DEM + ∠ MEF = ∠ NEF + ∠ MEF = 90°$，
即$∠ DEM=∠ FEN$，
又$∠ DME=∠ FNE=90°$，
∴ $△ DEM ≌ △ FEN$（ASA），
∴ $DE=EF$，
∴ 矩形DEFG是正方形，
∴ $DE=DG$，$∠ EDG=90°$，
∴ $∠ ADE + ∠ EDC = ∠ CDG + ∠ EDC = 90°$，
∴ $∠ ADE=∠ CDG$，
在$△ ADE$和$△ CDG$中：
$\{\begin{array}{l}AD=CD \\∠ ADE=∠ CDG \\DE=DG\end{array} $
∴ $△ ADE ≌ △ CDG$（SAS），
∴ $CG=AE=\sqrt{2}$。
最终
∵ 四边形ABCD为正方形，AB=4
∴ AD=CD=4，∠ADC=90°，∠DAE=45°
∴ $AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$
∵ $CE:AE = 3:1$
∴ $AE = \frac{1}{3+1} × AC = \sqrt{2}$
过点E作$EM ⊥ AD$于M，$EN ⊥ CD$于N，
∵ 点E在正方形对角线AC上，
∴ $EM=EN$，$∠ MEN=90°$，
∵ $DE ⊥ EF$，四边形DEFG是矩形，
∴ $∠ DEF=90°$，
∴ $∠ DEM + ∠ MEF = ∠ NEF + ∠ MEF = 90°$，
即$∠ DEM=∠ FEN$，
又$∠ DME=∠ FNE=90°$，
∴ $△ DEM ≌ △ FEN$（ASA），
∴ $DE=EF$，
∴ 矩形DEFG是正方形，
∴ $DE=DG$，$∠ EDG=90°$，
∴ $∠ ADE + ∠ EDC = ∠ CDG + ∠ EDC = 90°$，
∴ $∠ ADE=∠ CDG$，
在$△ ADE$和$△ CDG$中：
$\{\begin{array}{l}AD=CD \\∠ ADE=∠ CDG \\DE=DG\end{array} $
∴ $△ ADE ≌ △ CDG$（SAS），
∴ $CG=AE=\sqrt{2}$。
最终
