登录
6. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ ADC$的平分线$DE$交$BC$于点$E$. 若$AB=11$，$BE=4$，则$AD$的长为 （）
A.15
B.11
C.20
D.52
（第6题图）
（第7题图）
（第8题图）
（第9题图）
A.15
B.11
C.20
D.52
（第6题图）（第7题图）
（第8题图）
（第9题图）
答案
A
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD=11，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠DEC，
∴CE=CD=11，
又∵BC=BE+CE，BE=4，
∴BC=4+11=15，
∴AD=BC=15。
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD=11，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠DEC，
∴CE=CD=11，
又∵BC=BE+CE，BE=4，
∴BC=4+11=15，
∴AD=BC=15。
7.如图，在$□ ABCD$中，$AE⊥ BC$于点$E$，$AF⊥ CD$于点$F$。若$AE=4$，$AF=6$，且$□ ABCD$的周长为40，则$□ ABCD$的面积为（）
A.48
B.36
C.40
D.24
A.48
B.36
C.40
D.24
答案
A
解析
∵平行四边形ABCD的周长为40，∴BC + CD = 40÷2 = 20。平行四边形的面积可表示为$BC· AE$，也可表示为$CD· AF$，已知AE=4，AF=6，因此$4BC = 6CD$。联立$\begin{cases}BC+CD=20\\4BC=6CD\end{cases}$，解得CD=8，因此平行四边形ABCD的面积为$AF· CD=6×8=48$。
8. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=3$，$BC=5$，$∠ ABC=60°$，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E，则EC的长为（）
A.5
B.4
C.3
D.2
A.5
B.4
C.3
D.2
答案
D
解析
连接AE，由题意得AE=AB=3，因为∠ABC=60°，AE=AB，所以△ABE是等边三角形，因此BE=AB=3。已知BC=5，所以EC=BC-BE=5-3=2。
9. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$AC ⊥ AB$. 若$AB=4$，$AC=6$，则$BD$的长为（）
A.$10$
B.$5$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2$
A.$10$
B.$5$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2$
答案
A
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线互相平分，即OA=OC=½AC，OB=OD=½BD。
已知AC=6，∴OA=3。
又∵AC⊥AB，∴∠BAO=90°，在Rt△ABO中，由勾股定理得：
BO=√(AB²+OA²)=√(4²+3²)=5，
∴BD=2BO=10。
∴对角线互相平分，即OA=OC=½AC，OB=OD=½BD。
已知AC=6，∴OA=3。
又∵AC⊥AB，∴∠BAO=90°，在Rt△ABO中，由勾股定理得：
BO=√(AB²+OA²)=√(4²+3²)=5，
∴BD=2BO=10。
10.有下列说法:①平行四边形的对边平行且相等;②两组对边分别平行的四边形是平行四边形;③平行四边形的对角相等;④一组对角相等、一组对边平行的四边形是平行四边形.其中能判定一个四边形是平行四边形的是 ()
A.②④
B.②③
C.①④
D.①②③
A.②④
B.②③
C.①④
D.①②③
答案
A
解析
逐一分析各说法：①是平行四边形的性质，描述平行四边形的边的特征，不属于判定方法，不能判定四边形是平行四边形；②是平行四边形的定义，属于判定方法，可判定四边形是平行四边形；③是平行四边形的性质，描述平行四边形的角的特征，不属于判定方法，不能判定四边形是平行四边形；④若四边形一组对边平行，可得同旁内角互补，结合一组对角相等，可推出另一组对边也平行，即两组对边分别平行，可判定该四边形是平行四边形。因此能判定四边形是平行四边形的是②④。
11. 如图，在$□ ABCD$中，过AC上的点O作$MN// AB$，$PQ// AD$，M，N，P，Q均在平行四边形的边上，且$CN = 3BN$，$S_{△ CON}=9$，则四边形DMOQ的面积为。
（第11题图）
（第12题图）
（第11题图）
（第12题图）
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AD// BC$。
∵ $MN// AB$，$PQ// AD$，
∴ $MN// AB// CD$，$PQ// AD// BC$，
∴ 四边形ONCQ、OBNP、AMOP、DMOQ均为平行四边形。
∵ $CN=3BN$，即$CN:BN=3:1$，且$△ CON$与$△ OBN$同高，
∴ $S_{△ OBN}=\frac{1}{3}S_{△ CON}=\frac{1}{3}×9=3$，
∴ $S_{\mathrm{平行四边形}OBNP}=2S_{△ OBN}=6$。
∵ 平行四边形ONCQ中，对角线OC将其分为面积相等的两个三角形，
∴ $S_{\mathrm{平行四边形}ONCQ}=2S_{△ CON}=18$。
∵ $MN// AB$，∴ $\frac{CO}{OA}=\frac{CN}{BN}=3:1$，
可得$△ AOP ∽ △ CON$，相似比为$1:3$，
∴ $S_{△ AOP}=(\frac{1}{3})^2 S_{△ CON}=1$，
∴ $S_{\mathrm{平行四边形}AMOP}=2S_{△ AOP}=2$。
由平行四边形对角线上点的分割性质，可得$S_{\mathrm{四边形}DMOQ}=S_{\mathrm{平行四边形}OBNP}=6$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AD// BC$。
∵ $MN// AB$，$PQ// AD$，
∴ $MN// AB// CD$，$PQ// AD// BC$，
∴ 四边形ONCQ、OBNP、AMOP、DMOQ均为平行四边形。
∵ $CN=3BN$，即$CN:BN=3:1$，且$△ CON$与$△ OBN$同高，
∴ $S_{△ OBN}=\frac{1}{3}S_{△ CON}=\frac{1}{3}×9=3$，
∴ $S_{\mathrm{平行四边形}OBNP}=2S_{△ OBN}=6$。
∵ 平行四边形ONCQ中，对角线OC将其分为面积相等的两个三角形，
∴ $S_{\mathrm{平行四边形}ONCQ}=2S_{△ CON}=18$。
∵ $MN// AB$，∴ $\frac{CO}{OA}=\frac{CN}{BN}=3:1$，
可得$△ AOP ∽ △ CON$，相似比为$1:3$，
∴ $S_{△ AOP}=(\frac{1}{3})^2 S_{△ CON}=1$，
∴ $S_{\mathrm{平行四边形}AMOP}=2S_{△ AOP}=2$。
由平行四边形对角线上点的分割性质，可得$S_{\mathrm{四边形}DMOQ}=S_{\mathrm{平行四边形}OBNP}=6$。
12.如图,在$□ ABCD$中,$AD=8$,$∠ BAD$的平分线与$DC$的延长线交于点$E$,与$BC$交于点$F$,且$F$为边$BC$的中点,过点$C$作$CG⊥ AE$,垂足为$G$.若$CG=2$,则$AE$的长为.
答案
$\boldsymbol{8\sqrt{3}}$
解析
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD=BC=8$，$AB// CD$，$AB=CD$。
∵ F为BC的中点，
∴ $BF=CF=\frac{1}{2}BC=4$。
∵ AE平分$∠ BAD$，
∴ $∠ BAF=∠ DAF$。
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ DAF=∠ AFB$，
∴ $∠ BAF=∠ AFB$，
∴ $AB=BF=4$。
∵ $AB// DE$，
∴ $∠ BAF=∠ E$。
在$△ ABF$和$△ ECF$中：
$\begin{cases}∠ BAF=∠ E \\∠ AFB=∠ EFC \\BF=CF\end{cases}$
∴ $△ ABF≌△ ECF(\mathrm{AAS})$，
∴ $AF=EF$，$AB=CE=4$，
∴ $DE=CD+CE=AB+CE=8$，
∴ $DE=AD=8$。
又∵ $CE=4$，$CF=4$，即$CE=CF$，$△ ECF$为等腰三角形，
且$CG⊥ AE$，由等腰三角形三线合一得G为EF中点。
在$\mathrm{Rt}△ CGE$中，$CG=2$，$CE=4$，
∴ $EG=\sqrt{CE^2-CG^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴ $EF=2EG=4\sqrt{3}$，
∴ $AE=AF+EF=2EF=8\sqrt{3}$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD=BC=8$，$AB// CD$，$AB=CD$。
∵ F为BC的中点，
∴ $BF=CF=\frac{1}{2}BC=4$。
∵ AE平分$∠ BAD$，
∴ $∠ BAF=∠ DAF$。
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ DAF=∠ AFB$，
∴ $∠ BAF=∠ AFB$，
∴ $AB=BF=4$。
∵ $AB// DE$，
∴ $∠ BAF=∠ E$。
在$△ ABF$和$△ ECF$中：
$\begin{cases}∠ BAF=∠ E \\∠ AFB=∠ EFC \\BF=CF\end{cases}$
∴ $△ ABF≌△ ECF(\mathrm{AAS})$，
∴ $AF=EF$，$AB=CE=4$，
∴ $DE=CD+CE=AB+CE=8$，
∴ $DE=AD=8$。
又∵ $CE=4$，$CF=4$，即$CE=CF$，$△ ECF$为等腰三角形，
且$CG⊥ AE$，由等腰三角形三线合一得G为EF中点。
在$\mathrm{Rt}△ CGE$中，$CG=2$，$CE=4$，
∴ $EG=\sqrt{CE^2-CG^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∴ $EF=2EG=4\sqrt{3}$，
∴ $AE=AF+EF=2EF=8\sqrt{3}$。
