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1. (课本例题变式)(2025·连云港)下列长度(单位:cm)的3根小木棒能搭成三角形的是
(
A.1,2,3
B.2,3,4
C.3,5,8
D.4,5,10
(
B
)A.1,2,3
B.2,3,4
C.3,5,8
D.4,5,10
答案
1. B
解析
【分析】
要判断三根小木棒能否搭成三角形，需依据三角形的三边关系来验证。解题时可使用简便判断方法：先把三个长度从小到大排序，只需验证较小两个长度的和是否大于最大的长度即可，若满足则能构成三角形，若小于或等于则不能构成。接下来逐一验证每个选项即可得出答案。
【解析】
三角形的三边关系为：三角形任意两边之和大于第三边。为简化计算，可将三个边长从小到大排序，仅验证较小两边之和是否大于最长边：
A选项：三根木棒长度为1、2、3，较小两边和为1+2=3，等于最长边3，不满足三边关系，不能搭成三角形；
B选项：三根木棒长度为2、3、4，较小两边和为2+3=5，5＞4，满足三边关系，可以搭成三角形；
C选项：三根木棒长度为3、5、8，较小两边和为3+5=8，等于最长边8，不满足三边关系，不能搭成三角形；
D选项：三根木棒长度为4、5、10，较小两边和为4+5=9，9＜10，不满足三边关系，不能搭成三角形。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础应用型题目，核心考查三角形三边关系的实际应用，掌握“用较小两边之和与最长边比较”的简便判断方法，可快速排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要判断三根小木棒能否搭成三角形，需依据三角形的三边关系来验证。解题时可使用简便判断方法：先把三个长度从小到大排序，只需验证较小两个长度的和是否大于最大的长度即可，若满足则能构成三角形，若小于或等于则不能构成。接下来逐一验证每个选项即可得出答案。
【解析】
三角形的三边关系为：三角形任意两边之和大于第三边。为简化计算，可将三个边长从小到大排序，仅验证较小两边之和是否大于最长边：
A选项：三根木棒长度为1、2、3，较小两边和为1+2=3，等于最长边3，不满足三边关系，不能搭成三角形；
B选项：三根木棒长度为2、3、4，较小两边和为2+3=5，5＞4，满足三边关系，可以搭成三角形；
C选项：三根木棒长度为3、5、8，较小两边和为3+5=8，等于最长边8，不满足三边关系，不能搭成三角形；
D选项：三根木棒长度为4、5、10，较小两边和为4+5=9，9＜10，不满足三边关系，不能搭成三角形。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础应用型题目，核心考查三角形三边关系的实际应用，掌握“用较小两边之和与最长边比较”的简便判断方法，可快速排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
2. 如图是折叠凳及其侧面示意图,若$AC=BC=15\ \mathrm{cm}$,则折叠凳的宽$AB$可能为 （
A.45 cm
B.40 cm
C.30 cm
D.25 cm
D
）A.45 cm
B.40 cm
C.30 cm
D.25 cm
答案
2. D 解析:由三角形三边关系,得 15-15＜AB＜15+15,
∴0＜AB＜30,
∴折叠凳的宽 AB 可能是25 cm.
∴0＜AB＜30,
∴折叠凳的宽 AB 可能是25 cm.
解析
【分析】
折叠凳的侧面示意图中，点A、B、C构成△ABC，已知AC、BC的长度，要求AB的可能取值，可利用三角形三边关系求解。首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，代入已知边长求出AB的取值范围，再对比选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
根据三角形三边关系，在△ABC中，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，
可得：$AC-BC ＜ AB ＜ AC+BC$，
将$AC=BC=15\ \mathrm{cm}$代入得：$15-15 ＜ AB ＜ 15+15$，
即$0 ＜ AB ＜ 30$，
观察选项，只有25 cm符合该取值范围，故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用类题目，解题的关键是将生活中的实物结构转化为三角形模型，利用三边关系求出未知边的取值范围，再结合选项判断即可。
【难度系数】
0.8
折叠凳的侧面示意图中，点A、B、C构成△ABC，已知AC、BC的长度，要求AB的可能取值，可利用三角形三边关系求解。首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，代入已知边长求出AB的取值范围，再对比选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
根据三角形三边关系，在△ABC中，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，
可得：$AC-BC ＜ AB ＜ AC+BC$，
将$AC=BC=15\ \mathrm{cm}$代入得：$15-15 ＜ AB ＜ 15+15$，
即$0 ＜ AB ＜ 30$，
观察选项，只有25 cm符合该取值范围，故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用类题目，解题的关键是将生活中的实物结构转化为三角形模型，利用三边关系求出未知边的取值范围，再结合选项判断即可。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A＞∠ C＞∠ B$,则该三角形三边大小关系正确的是 （
A.$AB＞BC＞AC$
B.$BC＞AB＞AC$
C.$BC＞AC＞AB$
D.无法确定
B
）A.$AB＞BC＞AC$
B.$BC＞AB＞AC$
C.$BC＞AC＞AB$
D.无法确定
答案
3. B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形边角关系的核心性质：同一个三角形中，大角对大边、小角对小边。第一步先明确每个角对应的对边：三角形中一个角的对边是不含该角顶点的边，因此∠A对边为BC，∠C对边为AB，∠B对边为AC。第二步结合已知的角的大小排序∠A＞∠C＞∠B，将角替换为对应的对边，就能得到三边的大小关系。
【解析】
在同一个三角形中，大角所对的边更长，即“大角对大边”。
先确定各角对应的对边：
∠A的对边是BC，∠C的对边是AB，∠B的对边是AC。
已知∠A＞∠C＞∠B，根据大角对大边的性质，可得三边大小关系为：BC＞AB＞AC。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形大角对大边；三角形边角对应关系
【点评】
本题属于三角形边角关系的基础考查题，解题关键是准确匹配角与对应的对边，熟记大角对大边的性质即可快速作答，易错点为角和对边的对应关系混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形边角关系的核心性质：同一个三角形中，大角对大边、小角对小边。第一步先明确每个角对应的对边：三角形中一个角的对边是不含该角顶点的边，因此∠A对边为BC，∠C对边为AB，∠B对边为AC。第二步结合已知的角的大小排序∠A＞∠C＞∠B，将角替换为对应的对边，就能得到三边的大小关系。
【解析】
在同一个三角形中，大角所对的边更长，即“大角对大边”。
先确定各角对应的对边：
∠A的对边是BC，∠C的对边是AB，∠B的对边是AC。
已知∠A＞∠C＞∠B，根据大角对大边的性质，可得三边大小关系为：BC＞AB＞AC。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形大角对大边；三角形边角对应关系
【点评】
本题属于三角形边角关系的基础考查题，解题关键是准确匹配角与对应的对边，熟记大角对大边的性质即可快速作答，易错点为角和对边的对应关系混淆。
【难度系数】
0.8
4. 如图,将四根长度分别为 3 cm、5 cm、7 cm、8 cm 的木条钉成一个四边形木架,扭动它,它的形状会发生改变,在变化过程中,点 B 和点 D 之间的距离可能是（
A.1 cm
B.4 cm
C.9 cm
D.12 cm
C
）A.1 cm
B.4 cm
C.9 cm
D.12 cm
答案
4. C 解析:如图,连接 BD. 在△ABD中,7-5＜BD＜7+5,即2＜BD＜12;在△BCD中,8-3＜BD＜8+3,即5＜BD＜11,
∴5＜BD＜11,
∴C选项符合题意.
解析
【分析】
四边形具有不稳定性，扭动过程中对角线BD的长度会发生变化，解题时可利用三角形三边关系求解：首先把四边形沿BD拆分为△ABD和△BCD两个三角形，分别根据“三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”求出BD在两个三角形中的取值范围，再取两个范围的公共部分，就是BD的实际可能取值范围，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
连接BD。
在△ABD中，AB=7cm，AD=5cm，根据三角形三边关系可得：
$7-5＜BD＜7+5$，即$2\mathrm{cm}＜BD＜12\mathrm{cm}$；
在△BCD中，BC=8cm，CD=3cm，同理可得：
$8-3＜BD＜8+3$，即$5\mathrm{cm}＜BD＜11\mathrm{cm}$；
取两个范围的公共部分，可得BD的取值范围为$5\mathrm{cm}＜BD＜11\mathrm{cm}$。
观察选项，只有9cm在该取值范围内，因此符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系，公共范围求取
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的灵活应用，解题的关键是将四边形的对角线范围问题转化为两个三角形的第三边范围问题，需注意只有同时满足两个三角形的三边约束的取值才是正确结果，避免遗漏其中一个三角形的限制条件导致错选。
【难度系数】
0.7
四边形具有不稳定性，扭动过程中对角线BD的长度会发生变化，解题时可利用三角形三边关系求解：首先把四边形沿BD拆分为△ABD和△BCD两个三角形，分别根据“三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”求出BD在两个三角形中的取值范围，再取两个范围的公共部分，就是BD的实际可能取值范围，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
连接BD。
在△ABD中，AB=7cm，AD=5cm，根据三角形三边关系可得：
$7-5＜BD＜7+5$，即$2\mathrm{cm}＜BD＜12\mathrm{cm}$；
在△BCD中，BC=8cm，CD=3cm，同理可得：
$8-3＜BD＜8+3$，即$5\mathrm{cm}＜BD＜11\mathrm{cm}$；
取两个范围的公共部分，可得BD的取值范围为$5\mathrm{cm}＜BD＜11\mathrm{cm}$。
观察选项，只有9cm在该取值范围内，因此符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系，公共范围求取
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的灵活应用，解题的关键是将四边形的对角线范围问题转化为两个三角形的第三边范围问题，需注意只有同时满足两个三角形的三边约束的取值才是正确结果，避免遗漏其中一个三角形的限制条件导致错选。
【难度系数】
0.7
5. 平面内有三个点M、N、P，若$MN=3$，$NP=7$，则$MP$的长度取值范围是
4≤MP≤10
.答案
5. 4≤MP≤10 解析:根据题意,得 7-3≤MP≤7+3,即4≤MP≤10.
解析
【分析】
解题时需分两种情况讨论平面内三点的位置关系：①三点共线；②三点不共线构成三角形。首先回忆线段和差计算规则和三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。先分别求出两种情况MP的取值范围，再合并得到最终的取值范围即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当M、N、P三点共线时：
①若点M在线段NP上，则$MP=NP-MN=7-3=4$；
②若点N在线段MP上，则$MP=MN+NP=3+7=10$。
2. 当M、N、P三点不共线时，三点可构成三角形，根据三角形三边关系可得：
$NP-MN ＜ MP ＜ NP+MN$，代入数值即$4 ＜ MP ＜10$。
综合两种情况，可得$MP$的长度取值范围是$4≤ MP≤10$。
【答案】
$4≤ MP≤10$
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 线段的和差计算
【点评】
本题需运用分类讨论思想，解题时容易忽略三点共线的特殊情况，漏写等号，因此要注意全面考虑点的位置关系，避免范围出错。
【难度系数】
0.7
解题时需分两种情况讨论平面内三点的位置关系：①三点共线；②三点不共线构成三角形。首先回忆线段和差计算规则和三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。先分别求出两种情况MP的取值范围，再合并得到最终的取值范围即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当M、N、P三点共线时：
①若点M在线段NP上，则$MP=NP-MN=7-3=4$；
②若点N在线段MP上，则$MP=MN+NP=3+7=10$。
2. 当M、N、P三点不共线时，三点可构成三角形，根据三角形三边关系可得：
$NP-MN ＜ MP ＜ NP+MN$，代入数值即$4 ＜ MP ＜10$。
综合两种情况，可得$MP$的长度取值范围是$4≤ MP≤10$。
【答案】
$4≤ MP≤10$
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 线段的和差计算
【点评】
本题需运用分类讨论思想，解题时容易忽略三点共线的特殊情况，漏写等号，因此要注意全面考虑点的位置关系，避免范围出错。
【难度系数】
0.7
6. (1)等腰三角形的两边长分别为4和6,则这个等腰三角形的周长为
(2)等腰三角形的两边长分别为2和6,则这个等腰三角形的周长为
14或16
.(2)等腰三角形的两边长分别为2和6,则这个等腰三角形的周长为
14
.答案
6. (1)14或16 解析:当腰长为4时,三角形的周长为4+4+6=14;当腰长为6时,三角形的周长为6+6+4=16. 综上所述,这个等腰三角形的周长为 14 或 16.
(2)14 解析:当腰长为 2 时,2+2＜6,不能组成三角形;当腰长为 6 时,三角形的周长为 6+6+2=14. 综上所述,这个等腰三角形的周长为 14.
(2)14 解析:当腰长为 2 时,2+2＜6,不能组成三角形;当腰长为 6 时,三角形的周长为 6+6+2=14. 综上所述,这个等腰三角形的周长为 14.
解析
【分析】
解决这类问题的核心思路是：首先等腰三角形的两条腰长度相等，题目给出的两条边长没有明确说明是腰还是底，因此需要分两种情况讨论；其次必须根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种情况能否构成三角形，符合条件的才能计算周长，不符合的要舍去。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当腰长为4时，三边长分别为4、4、6，满足4+4＞6，符合三角形三边关系，此时周长=4+4+6=14；
② 当腰长为6时，三边长分别为6、6、4，满足6+4＞6，符合三角形三边关系，此时周长=6+6+4=16。
综上，该等腰三角形周长为14或16。
(2) 分两种情况讨论：
① 当腰长为2时，三边长分别为2、2、6，2+2=4＜6，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，舍去该情况；
② 当腰长为6时，三边长分别为6、6、2，满足6+2＞6，符合三角形三边关系，此时周长=6+6+2=14。
综上，该等腰三角形周长为14。
【答案】
(1)14或16；(2)14
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长相关的基础常考题，解题时需注意先对腰长和底边长分类讨论，再结合三角形三边关系验证能否构成三角形，避免直接计算出现错解、漏解的情况。
【难度系数】
0.7
解决这类问题的核心思路是：首先等腰三角形的两条腰长度相等，题目给出的两条边长没有明确说明是腰还是底，因此需要分两种情况讨论；其次必须根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种情况能否构成三角形，符合条件的才能计算周长，不符合的要舍去。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当腰长为4时，三边长分别为4、4、6，满足4+4＞6，符合三角形三边关系，此时周长=4+4+6=14；
② 当腰长为6时，三边长分别为6、6、4，满足6+4＞6，符合三角形三边关系，此时周长=6+6+4=16。
综上，该等腰三角形周长为14或16。
(2) 分两种情况讨论：
① 当腰长为2时，三边长分别为2、2、6，2+2=4＜6，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，舍去该情况；
② 当腰长为6时，三边长分别为6、6、2，满足6+2＞6，符合三角形三边关系，此时周长=6+6+2=14。
综上，该等腰三角形周长为14。
【答案】
(1)14或16；(2)14
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长相关的基础常考题，解题时需注意先对腰长和底边长分类讨论，再结合三角形三边关系验证能否构成三角形，避免直接计算出现错解、漏解的情况。
【难度系数】
0.7
7. 如图,已知$AB＞AC,AD⊥BC$.
(1)求证:$∠C＞∠B$.
(2)求证:$AC＞AD$.
(1)求证:$∠C＞∠B$.
(2)求证:$AC＞AD$.
答案
7. 证明:(1)
∵在△ABC中,AB＞AC,
∴∠C＞∠B.
(2)
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠C+∠CAD=90°,
∴∠ADC＞∠C,
∴AC＞AD.
∵在△ABC中,AB＞AC,
∴∠C＞∠B.
(2)
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠C+∠CAD=90°,
∴∠ADC＞∠C,
∴AC＞AD.
解析
【分析】
(1) 要证∠C＞∠B，已知AB＞AC，两条边都在△ABC中，我们可以利用三角形“大边对大角”的性质推导：边长更长的边对应的内角更大，AB对应的内角是∠C，AC对应的内角是∠B，即可得到角的大小关系。
(2) 要证AC＞AD，由AD⊥BC可知△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，是△ADC中最大的内角，再利用“大角对大边”的性质，最大的角对应最长的边，即可推出AC＞AD。
【解析】
(1) 在△ABC中，AB和AC是三角形的两条边，AB对应的内角为∠C，AC对应的内角为∠B，根据三角形大边对大角的性质，已知AB＞AC，因此可直接得到∠C＞∠B。
(2) 由AD⊥BC可得∠ADC=90°，根据三角形内角和为180°，△ADC中∠C+∠CAD=180°-∠ADC=90°，因此∠ADC＞∠C；∠ADC对应的边是AC，∠C对应的边是AD，根据大角对大边的性质，可得AC＞AD。
【答案】
证明:(1)
∵在△ABC中,AB＞AC,
∴∠C＞∠B.
(2)
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠C+∠CAD=90°,
∴∠ADC＞∠C,
∴AC＞AD.
【知识点】
大边对大角；垂直的定义；大角对大边
【点评】
本题是三角形边角关系的基础应用题，解题关键是找准边与对应内角的关系，结合已知的垂直条件判断角的大小，能够帮助学生巩固三角形基础性质，难度较低。
【难度系数】
0.85
(1) 要证∠C＞∠B，已知AB＞AC，两条边都在△ABC中，我们可以利用三角形“大边对大角”的性质推导：边长更长的边对应的内角更大，AB对应的内角是∠C，AC对应的内角是∠B，即可得到角的大小关系。
(2) 要证AC＞AD，由AD⊥BC可知△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，是△ADC中最大的内角，再利用“大角对大边”的性质，最大的角对应最长的边，即可推出AC＞AD。
【解析】
(1) 在△ABC中，AB和AC是三角形的两条边，AB对应的内角为∠C，AC对应的内角为∠B，根据三角形大边对大角的性质，已知AB＞AC，因此可直接得到∠C＞∠B。
(2) 由AD⊥BC可得∠ADC=90°，根据三角形内角和为180°，△ADC中∠C+∠CAD=180°-∠ADC=90°，因此∠ADC＞∠C；∠ADC对应的边是AC，∠C对应的边是AD，根据大角对大边的性质，可得AC＞AD。
【答案】
证明:(1)
∵在△ABC中,AB＞AC,
∴∠C＞∠B.
(2)
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠C+∠CAD=90°,
∴∠ADC＞∠C,
∴AC＞AD.
【知识点】
大边对大角；垂直的定义；大角对大边
【点评】
本题是三角形边角关系的基础应用题，解题关键是找准边与对应内角的关系，结合已知的垂直条件判断角的大小，能够帮助学生巩固三角形基础性质，难度较低。
【难度系数】
0.85
