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6. 已知$△ ABC$，$BE$平分$∠ ABC$，点$P$在射线$BE$上.
(1)如图①，若$∠ ABC=46°$，$CP// AB$，求$∠ BPC$的度数.
(2)如图②，若$∠ A=110°$，$∠ PBC=∠ PCA$，求$∠ BPC$的度数.
(3)如图③，若$∠ ABC=46°$，$∠ ACB=34°$，直线$CP$与$△ ABC$的一条边垂直，则$∠ BPC$的度数为
(1)如图①，若$∠ ABC=46°$，$CP// AB$，求$∠ BPC$的度数.
(2)如图②，若$∠ A=110°$，$∠ PBC=∠ PCA$，求$∠ BPC$的度数.
(3)如图③，若$∠ ABC=46°$，$∠ ACB=34°$，直线$CP$与$△ ABC$的一条边垂直，则$∠ BPC$的度数为
67°或33°或113°
.答案
6. 解: (1)$\because BE$平分$∠ ABC$,$∠ ABC=46^{\circ }$,
$\therefore ∠ ABP=\frac{1}{2}∠ ABC=23^{\circ }$.
$\because CP// AB$,
$\therefore ∠ BPC=∠ ABP=23^{\circ }$.
(2)$\because ∠ PCD$是$△ PBC$的外角,$∠ ACD$是
$△ ABC$的外角,$∠ A=110^{\circ }$,$∠ PBC=∠ PCA$,
$\therefore ∠ PCD=∠ PBC+∠ BPC$,
$∠ ACD=∠ ABC+∠ A=∠ ABC+110^{\circ }$.
$\therefore ∠ PCD+∠ PCA=∠ ABC+110^{\circ }$.
$\because BE$平分$∠ ABC$,
$\therefore ∠ ABC=2∠ ABP=2∠ PBC$.
$\therefore ∠ PBC+∠ BPC+∠ PBC$
$=2∠ PBC+110^{\circ }$.
$\therefore ∠ BPC=110^{\circ }$.
(3)$67^{\circ }$或$33^{\circ }$或$113^{\circ }$
$\therefore ∠ ABP=\frac{1}{2}∠ ABC=23^{\circ }$.
$\because CP// AB$,
$\therefore ∠ BPC=∠ ABP=23^{\circ }$.
(2)$\because ∠ PCD$是$△ PBC$的外角,$∠ ACD$是
$△ ABC$的外角,$∠ A=110^{\circ }$,$∠ PBC=∠ PCA$,
$\therefore ∠ PCD=∠ PBC+∠ BPC$,
$∠ ACD=∠ ABC+∠ A=∠ ABC+110^{\circ }$.
$\therefore ∠ PCD+∠ PCA=∠ ABC+110^{\circ }$.
$\because BE$平分$∠ ABC$,
$\therefore ∠ ABC=2∠ ABP=2∠ PBC$.
$\therefore ∠ PBC+∠ BPC+∠ PBC$
$=2∠ PBC+110^{\circ }$.
$\therefore ∠ BPC=110^{\circ }$.
(3)$67^{\circ }$或$33^{\circ }$或$113^{\circ }$
7. 如图①，线段$AB$，$CD$相交于点$O$，连接$AC$，$BD$，我们把形如这样的图形称为“8字形”. 其中，$O$称为“8字形”的交点，$AC$，$BD$称为“8字形”的边.
在图②中，已知$∠ CAB$和$∠ BDC$的平分线$AP$和$DP$相交于点$P$，且与$CD$，$AB$分别相交于点$M$，$N$.
(1)以线段$AC$为边的“8字形”有
(2)若$∠ B=100°$，$∠ C=120°$，求$∠ P$的度数.
(3)若将已知条件中角的关系改为“$∠ CAP=\frac{1}{3}∠ CAB$，$∠ CDP=\frac{1}{3}∠ CDB$”，试探究$∠ P$与$∠ B$，$∠ C$之间存在的数量关系，并说明理由.
在图②中，已知$∠ CAB$和$∠ BDC$的平分线$AP$和$DP$相交于点$P$，且与$CD$，$AB$分别相交于点$M$，$N$.
(1)以线段$AC$为边的“8字形”有
3
个，以$O$为交点的“8字形”有4
个.(2)若$∠ B=100°$，$∠ C=120°$，求$∠ P$的度数.
(3)若将已知条件中角的关系改为“$∠ CAP=\frac{1}{3}∠ CAB$，$∠ CDP=\frac{1}{3}∠ CDB$”，试探究$∠ P$与$∠ B$，$∠ C$之间存在的数量关系，并说明理由.
答案
7. 解: (1)3, 4
(2)在图①中,有
$∠ A+∠ C=180^{\circ }-∠ AOC$,
$∠ B+∠ D=180^{\circ }-∠ BOD$.
$\because ∠ AOC=∠ BOD$,
$\therefore ∠ A+∠ C=∠ B+∠ D$.
同理,在图②中,对于以$M$为交点的"8
字形",有
$∠ P+∠ CDP=∠ C+∠ CAP$;
对于以$N$为交点的"8字形",有
$∠ P+∠ BAP=∠ B+∠ BDP$.
$\therefore 2∠ P+∠ BAP+∠ CDP=∠ B+∠ C+$
$∠ CAP+∠ BDP$.
$\because AP$, $DP$分别平分$∠ CAB$和$∠ BDC$,
$\therefore ∠ BAP=∠ CAP$, $∠ CDP=∠ BDP$.
$\therefore 2∠ P=∠ B+∠ C$.
$\because ∠ B=100^{\circ }$, $∠ C=120^{\circ }$,
$\therefore ∠ P=\frac{1}{2}(∠ B+∠ C)=\frac{1}{2}× (100^{\circ }+$
$120^{\circ })=110^{\circ }$.
(3)$3∠ P=∠ B+2∠ C$.
理由: $\because ∠ CAP=\frac{1}{3}∠ CAB$, $∠ CDP=$
$\frac{1}{3}∠ CDB$,
$\therefore ∠ BAP=\frac{2}{3}∠ CAB$, $∠ BDP=\frac{2}{3}∠ CDB$.
$\because $对于以$M$为交点的"8字形",有
$∠ P+∠ CDP=∠ C+∠ CAP$,
对于以$N$为交点的"8字形",有
$∠ P+∠ BAP=∠ B+∠ BDP$,
$\therefore ∠ C-∠ P=∠ CDP-∠ CAP$
$=\frac{1}{3}(∠ CDB-∠ CAB)$,
$∠ P-∠ B=∠ BDP-∠ BAP$
$=\frac{2}{3}(∠ CDB-∠ CAB)$.
$\therefore 2(∠ C-∠ P)=∠ P-∠ B$.
$\therefore 3∠ P=∠ B+2∠ C$.
(2)在图①中,有
$∠ A+∠ C=180^{\circ }-∠ AOC$,
$∠ B+∠ D=180^{\circ }-∠ BOD$.
$\because ∠ AOC=∠ BOD$,
$\therefore ∠ A+∠ C=∠ B+∠ D$.
同理,在图②中,对于以$M$为交点的"8
字形",有
$∠ P+∠ CDP=∠ C+∠ CAP$;
对于以$N$为交点的"8字形",有
$∠ P+∠ BAP=∠ B+∠ BDP$.
$\therefore 2∠ P+∠ BAP+∠ CDP=∠ B+∠ C+$
$∠ CAP+∠ BDP$.
$\because AP$, $DP$分别平分$∠ CAB$和$∠ BDC$,
$\therefore ∠ BAP=∠ CAP$, $∠ CDP=∠ BDP$.
$\therefore 2∠ P=∠ B+∠ C$.
$\because ∠ B=100^{\circ }$, $∠ C=120^{\circ }$,
$\therefore ∠ P=\frac{1}{2}(∠ B+∠ C)=\frac{1}{2}× (100^{\circ }+$
$120^{\circ })=110^{\circ }$.
(3)$3∠ P=∠ B+2∠ C$.
理由: $\because ∠ CAP=\frac{1}{3}∠ CAB$, $∠ CDP=$
$\frac{1}{3}∠ CDB$,
$\therefore ∠ BAP=\frac{2}{3}∠ CAB$, $∠ BDP=\frac{2}{3}∠ CDB$.
$\because $对于以$M$为交点的"8字形",有
$∠ P+∠ CDP=∠ C+∠ CAP$,
对于以$N$为交点的"8字形",有
$∠ P+∠ BAP=∠ B+∠ BDP$,
$\therefore ∠ C-∠ P=∠ CDP-∠ CAP$
$=\frac{1}{3}(∠ CDB-∠ CAB)$,
$∠ P-∠ B=∠ BDP-∠ BAP$
$=\frac{2}{3}(∠ CDB-∠ CAB)$.
$\therefore 2(∠ C-∠ P)=∠ P-∠ B$.
$\therefore 3∠ P=∠ B+2∠ C$.
