1. 某商场安装了一段旋转楼梯,楼梯的竖直高度为6 m,水平投影的圆形半径为3 m. 若将这段旋转楼梯近似看作一个圆柱侧面上的螺旋线,展开后可视为直角三角形的斜边,其中一条直角边为楼梯的竖直高度,另一条直角边为圆柱底面圆周长的一半,请你估算这段旋转楼梯的长度(结果保留整数,$π$取3.14).

解:由题意,得一条直角边 $a=6 \ \mathrm{m}$,另一条直角边 $b=\frac{1}{2}×2π r=\frac{1}{2}×2×3.14×3=9.42(\mathrm{m})$.根据勾股定理,得楼梯的长度$=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{6^2+9.42^2}≈11(\mathrm{m})$.
答:这段旋转楼梯的长度约为 11 m.

2. 如图,一个圆柱的底面周长为 24 cm,母线 $AB=4\ \mathrm{cm}$,$BC$ 是上底面的直径.一只蚂蚁从下底面的点 $A$ 处出发爬行到上底面的点 $C$ 处.
(1) 如果蚂蚁沿圆柱的侧面爬行,求最短路线的长.(精确到 0.1 cm)
(2) 如果蚂蚁沿圆柱的表面爬行,求最短路线的长.(精确到 0.1 cm)

解:(1) 将圆柱的侧面沿母线 $AB$ 剪开得到侧面展开图矩形 $ABB_1A_1$(如图).由题意,得 $BB_1=24 \ \mathrm{cm}$,$AB=4 \ \mathrm{cm}$,所以 $BC=\frac{1}{2}BB_1=12 \ \mathrm{cm}$.蚂蚁爬行的最短路线为线段 $AC$.在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,由勾股定理,得 $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+12^2}=4\sqrt{10}(\mathrm{cm})≈12.6 \ \mathrm{cm}$.
答:蚂蚁沿圆柱的侧面爬行时,最短路线的长约为 12.6 cm.

(2) 若蚂蚁先沿圆柱的母线 $AB$,再沿上底面直径爬行到点 $C$ 时,因为底面周长为 24 cm,所以底面直径为 $BC=\frac{24}{π}≈7.6(\mathrm{cm})$.
所以 $AB+BC≈4+7.6=11.6(\mathrm{cm})$.由(1)得爬行的最短路线 $AC≈12.6 \ \mathrm{cm}$. 因为 $11.6 \ \mathrm{cm}＜12.6 \ \mathrm{cm}$,所以蚂蚁沿圆柱的表面爬行时,最短路线的长约为 11.6 cm.

3. 我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图,把枯木看成一个圆柱,因一丈是十尺,则该圆柱的高为 20 尺,底面周长为 3 尺,有葛藤自点 A 处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点 B处,求问题中葛藤的最短长度.

解:如图,相当于把圆柱的侧面展开5次,并连接 $AB'$,则 $AB'$ 的长即为葛藤的最短长度.由题意,得 $AA'=15$ 尺,$A'B'=20$ 尺,由勾股定理,得 $AB'=\sqrt{20^2+15^2}=25(\mathrm{尺})$.
答:葛藤的最短长度为 25 尺.