1. (2026 连云港市期末)如图,在平面直角坐标系中, 设一动点 $M$ 自 $P_0(1,0)$ 处向上运动 1 个单位长度至点 $P_1(1,1)$, 然后向左运动 2 个单位长度至点 $P_2(-1,1)$ 处, 再向下运动 3 个单位长度至点 $P_3(-1,-2)$ 处, 再向右运动 4 个单位长度至点 $P_4(3,-2)$ 处,再向上运动 5 个单位长度至点 $P_5$ 处, $···$,如此运动下去, 则点 $P_{{2026}}$ 的坐标为（）

A.$(-1\,013,1\,013)$
B.$(-1\,013,1\,014)$
C.$(1\,013,1\,013)$
D.$(1\,013,-1\,012)$

1. A 提示:由题意,得$2\ 026÷4=506······2$,所以点$P_{2\ 026}$在第二象限,观察第二象限内点的坐标,点$P_2(-1,1)$,点$P_6(-3,3)$,点$P_{10}(-5,5)$,$···$易知点$P_n(-\frac{n}{2},\frac{n}{2})$,则$P_{2\ 026}(-1\ 013,1\ 013)$.

2. 在平面直角坐标系中,将点 $P(-3,-2)$ 向右平移 $a$ 个单位长度后落在第四象限内,则 $a$ 的值可以是(写出一个即可).

2. 4(答案不唯一) 提示:因为将点$P(-3,-2)$向右平移$a$个单位长度后落在第四象限内,所以$-3+a＞0$,解得$a＞3$,所以$a$的值可以是4.

3. 如图,在平面直角坐标系中,点$P$的坐标为$(-2,3)$,将点$P$向下平移$m(m＞0)$个单位长度得到点$Q$. 若点$Q$到两坐标轴的距离之比为$1:2$,则$m$的值为.

3. 7或2或4 提示:将点 P 向下平移 m 个单位长度得到点 Q,则点$Q(-2,3-m)$. 因为点 Q 到两坐标轴的距离之比为$1:2$,所以$|-2|:|3-m|=1:2$或$|3-m|:|-2|=1:2$,解得$m=-1$(舍去)或$m=7$或$m=2$或$m=4$.

4. 如图,在$8 × 8$的网格中,每个小正方形的边长都为1个单位长度.
(1) 建立适当的平面直角坐标系,若点$B$的坐标为$(-2,0)$,点$C$的坐标为$(3,0)$,则点$A$的坐标为.
(2) 将$△ ABC$向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,画出平移后的$△ A'B'C'$.
(3) 在(1)(2)的条件下,若线段$AC$上有一点$P(m,n)$,则平移后的对应点$P'$的坐标为.

4. 解:(1) $(-1,2)$ 建立平面直角坐标系如图所示.
(2) 如图,$△ A'B'C'$即为所求.
(3) $(m+2,n-3)$

5. 如图,在平面直角坐标系中,点$A,B$的坐标分别为$(a,0),(b,0)$,且$a,b$满足$|a+3|+(a-2b+7)^2=0$.现同时将点$A,B$分别向左平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度,分别得到点$A,B$的对应点$C,D$,连接$AC,BD,CD,CA$的延长线交$y$轴于点$K$.
(1) 点$P$是线段$CK$上的一个动点,点$Q$是线段$CD$的中点,连接$PQ,PO$,当点$P$在线段$CA$上移动时(不与点$A,C$重合),请找出$∠ PQD,∠ OPQ,∠ POB$的数量关系,并证明你的结论.
(2) 连接$AD$,在坐标轴上是否存在点$M$,使$△ MAD$的面积与$△ ACD$的面积相等? 若存在,求出点$M$的坐标;若不存在,试说明理由.

5. 解:(1) $∠ PQD+∠ OPQ+∠ POB=360°$.
如图,过点 P 作$PE// AB$. 由平移的性质可得,$AB// CD$. 所以$AB// CD// PE$. 所以$∠ PQD + ∠ EPQ = 180°$,$∠ OPE + ∠ POB = 180°$. 所以$∠ PQD + ∠ EPQ + ∠ OPE + ∠ POB = 360°$. 所以$∠ PQD + ∠ OPQ + ∠ POB=360°$.
(2) 存在. 因为$|a+3|+(a-2b+7)^2=0$,所以$a+3=0$,$a-2b+7=0$,解得,$a=-3$,$b=2$,所以点$A(-3,0)$,$B(2,0)$. 由平移,得点$C(-5,2)$,$D(0,2)$. 所以$△ ACD$的面积为$\frac{1}{2}×5×2=5$. 当点 M 在 x 轴上时,因为$△ MAD$的高与$△ ACD$的高相等,所以$AM=CD=5$. 因为点$A(-3,0)$,所以点 M 的坐标为$(-8,0)$或$(2,0)$. 当点 M 在 y 轴上时,$△ MAD$的高为$AO=3$,$△ MAD$的面积为 5,即$S_{△ MAD}=\frac{1}{2}×3MD=5$. 所以$MD=\frac{10}{3}$. 因为点$D(0,2)$,所以点 M 的坐标为$(0,\frac{16}{3})$或$(0,-\frac{4}{3})$. 综上所述,在坐标轴上存在点 M,使$△ MAD$的面积与$△ ACD$的面积相等,点 M 的坐标为$(-8,0)$或$(2,0)$或$(0,\frac{16}{3})$或$(0,-\frac{4}{3})$.