【变式5】（1）化简：$( \dfrac{1}{\tan \dfrac{α}{2}} - \tan \dfrac{α}{2} ) ( 1 + \tan α · \tan \dfrac{α}{2} )$；
（2）已知$\dfrac{π}{4} ＜ α ＜ \dfrac{π}{2}$，试化简$\sqrt{2 + 2\cos 2α} + \sqrt{1 - \sin 2α} - \sqrt{1 + \sin 2α}$。

解:(1)$( \frac{1}{\tan \frac{α}{2}} - \tan \frac{α}{2} )( 1 + \tan α \tan \frac{α}{2} ) = ( \frac{\cos \frac{α}{2}}{\sin \frac{α}{2}} - \frac{\sin \frac{α}{2}}{\cos \frac{α}{2}} )( 1 + \frac{\sin α}{\cos α} · \frac{\sin \frac{α}{2}}{\cos \frac{α}{2}} ) = \frac{\cos^2 \frac{α}{2} - \sin^2 \frac{α}{2}}{\sin \frac{α}{2}\cos \frac{α}{2}} · \frac{\cos α \cos \frac{α}{2} + \sin α \sin \frac{α}{2}}{\cos α \cos \frac{α}{2}} = \frac{2\cos α}{\sin α} · \frac{\cos \frac{α}{2}}{\cos α \cos \frac{α}{2}} = \frac{2}{\sin α}$。
(2)由$\frac{π}{4}＜α＜\frac{π}{2}$，得$\sin α - \cos α ＞ 0$，$\sin α + \cos α ＞ 0$，
所以$\sqrt{2+2\cos 2α} + \sqrt{1-\sin 2α} - \sqrt{1+\sin 2α} = \sqrt{2(1+\cos 2α)} + \sqrt{1-2\sin α \cos α} - \sqrt{1+2\sin α \cos α} = \sqrt{4\cos^2 α} + \sqrt{(\sin α - \cos α)^2} - \sqrt{(\sin α + \cos α)^2} = 2\cos α + \sin α - \cos α - \sin α - \cos α = 0$。

【典例 6】求证: (1) $\frac{\sin(α-β)\sin(α+β)}{\cos^2α\cos^2β} = \tan^2α - \tan^2β$；
(2) $\frac{\sin 2θ+1}{\sin 2θ+\cos 2θ+1} = \frac{1}{2}(\tan θ+1)$.
解题指导 (1)等式左边利用两角和与差的正弦公式展开证明即可；
(2)利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式从左往右证明即可.
答案 证明:(1) $\frac{\sin(α-β)\sin(α+β)}{\cos^2α\cos^2β} = \frac{(\sinα\cosβ-\cosα\sinβ)(\sinα\cosβ+\cosα\sinβ)}{\cos^2α\cos^2β} = \frac{\sin^2α\cos^2β-\cos^2α\sin^2β}{\cos^2α\cos^2β} = \tan^2α - \tan^2β$.
(2) $\frac{\sin 2θ+1}{\sin 2θ+\cos 2θ+1} = \frac{(\sinθ+\cosθ)^2}{2\sinθ\cosθ+2\cos^2θ} = \frac{(\sinθ+\cosθ)^2}{2\cosθ(\sinθ+\cosθ)} = \frac{\sinθ+\cosθ}{2\cosθ} = \frac{1}{2}(\tanθ+1)$.

证明：
(1) 左边$=\frac{\sin(α-β)\sin(α+β)}{\cos^2α\cos^2β}$
将分子用两角和与差的正弦公式展开：
$\sin(α-β)=\sinα\cosβ-\cosα\sinβ$，$\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ$
分子由平方差公式得：
$(\sinα\cosβ-\cosα\sinβ)(\sinα\cosβ+\cosα\sinβ)=\sin^2α\cos^2β-\cos^2α\sin^2β$
因此
$\begin{aligned}左边&=\frac{\sin^2α\cos^2β-\cos^2α\sin^2β}{\cos^2α\cos^2β}\\&=\frac{\sin^2α\cos^2β}{\cos^2α\cos^2β}-\frac{\cos^2α\sin^2β}{\cos^2α\cos^2β}\\&=\frac{\sin^2α}{\cos^2α}-\frac{\sin^2β}{\cos^2β}\\&=\tan^2α-\tan^2β=右边\end{aligned}$
等式得证。
(2) 左边$=\frac{\sin 2θ+1}{\sin 2θ+\cos 2θ+1}$
由二倍角公式：$\sin2θ=2\sinθ\cosθ$，结合$1=\sin^2θ+\cos^2θ$，得分子：
$\sin2θ+1=2\sinθ\cosθ+\sin^2θ+\cos^2θ=(\sinθ+\cosθ)^2$
由二倍角公式$\cos2θ=2\cos^2θ-1$，得分母：
$\sin2θ+\cos2θ+1=2\sinθ\cosθ+(2\cos^2θ-1)+1=2\sinθ\cosθ+2\cos^2θ=2\cosθ(\sinθ+\cosθ)$
因此
$\begin{aligned}左边&=\frac{(\sinθ+\cosθ)^2}{2\cosθ(\sinθ+\cosθ)}\\&=\frac{\sinθ+\cosθ}{2\cosθ}\\&=\frac{1}{2}(\frac{\sinθ}{\cosθ}+\frac{\cosθ}{\cosθ})\\&=\frac{1}{2}(\tanθ+1)=右边\end{aligned}$
等式得证。

【变式6】证明下列恒等式：
(1)$1+\sinα=(\sin \frac{α}{2}+\cos \frac{α}{2})^2$；
(2)$\frac{1+\sinα}{\cosα}=\frac{1+\tan \frac{α}{2}}{1-\tan \frac{α}{2}}$。

证明:(1)右边$=( \sin \frac{α}{2} + \cos \frac{α}{2} )^2 = \sin^2 \frac{α}{2} + \cos^2 \frac{α}{2} + 2\sin \frac{α}{2}\cos \frac{α}{2} = 1 + \sin α =$左边，
故$1+\sin α = ( \sin \frac{α}{2} + \cos \frac{α}{2} )^2$成立。
(2)左边$=\frac{1+\sin α}{\cos α} = \frac{( \sin \frac{α}{2} + \cos \frac{α}{2} )^2}{\cos^2 \frac{α}{2} - \sin^2 \frac{α}{2}} = \frac{\cos \frac{α}{2} + \sin \frac{α}{2}}{\cos \frac{α}{2} - \sin \frac{α}{2}} = \frac{1 + \tan \frac{α}{2}}{1 - \tan \frac{α}{2}} =$右边，
故$\frac{1+\sin α}{\cos α} = \frac{1+\tan \frac{α}{2}}{1-\tan \frac{α}{2}}$成立。