1. 对下列分式约分，正确的是()

A.$\frac{a^{6}}{a^{4}} = a$
B.$\frac{x + y}{x - y} = -1$
C.$\frac{2ab^{5}}{6a^{2}b^{3}} = \frac{1}{3}$
D.$\frac{m + n}{m^{2} + mn} = \frac{1}{m}$

1. D 解析：A. $\frac{a^{6}}{a^{4}} = a^{2}$，原式约分错误；B. 分式无法约分；C. $\frac{2ab^{5}}{6a^{2}b^{3}} = \frac{b^{2}}{3a}$，原式约分错误；D. $\frac{m + n}{m^{2} + mn} = \frac{m + n}{m(m + n)} = \frac{1}{m}$，原式约分正确. 故选 D.

2. (2025·南通期末)下列各式是最简分式的是()

A.$\frac{4y + 2x}{4x}$
B.$\frac{y - x}{x - y}$
C.$\frac{x^{2} + 1}{x - 1}$
D.$\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$

2. C 解析：A. $\frac{4y + 2x}{4x} = \frac{2y + x}{2x}$，不是最简分式；B. $\frac{y - x}{x - y} = \frac{-(x - y)}{x - y} = -1$，不是最简分式；C. $\frac{x^{2} + 1}{x}$是最简分式；D. $\frac{x^{2} - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1)(x - 1)}{x + 1} = x - 1$，不是最简分式. 故选 C.

3. (孝感中考改编)已知 $x = \sqrt{5} - 1$，$y = \sqrt{5} + 1$，那么代数式 $\frac{x^{3} - xy^{2}}{x^{2} + xy}$ 的值是()

A.4
B.$\sqrt{5}$
C.-2
D.$-\sqrt{5}$

3. C 解析：$\frac{x^{3} - xy^{2}}{x^{2} + xy} = \frac{x(x + y)(x - y)}{x(x + y)} = x - y$，则当 $x = \sqrt{5} - 1$，$y = \sqrt{5} + 1$ 时，原式 $= -2$. 故选 C.

4. 化简：
(1)(2025·湖南中考)$\frac{x^{3}y}{xy} =$；
(2)(湖州中考)$\frac{x + 1}{x^{2} + 2x + 1} =$；
(3)(无锡中考)$\frac{2 - 18x^{2}}{1 + 3x} =$；
(4)(宜昌中考)$\frac{(x + y)^{2} - (x - y)^{2}}{4xy} =$.

4. (1) $x^{2}$ 解析：原式 $= \frac{x^{2} · xy}{xy} = x^{2}$.
(2) $\frac{1}{x + 1}$ 解析：原式 $= \frac{x + 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{1}{x + 1}$.
(3) $2 - 6x$ 解析：原式 $= \frac{2(1 + 3x)(1 - 3x)}{1 + 3x} = 2(1 - 3x) = 2 - 6x$.
(4) 1 解析：原式 $= \frac{x^{2} + y^{2} + 2xy - x^{2} - y^{2} + 2xy}{4xy} = 1$.

5. (2025·上饶期中)若 $b = 4a$，则 $\frac{b - 3a}{a + 5b} =$.

5. $\frac{1}{21}$ 解析：当 $b = 4a$ 时，原式 $= \frac{4a - 3a}{a + 20a} = \frac{1}{21}$.

当$b = 4a$时，原式$=\frac{4a - 3a}{a + 5×4a}=\frac{a}{a + 20a}=\frac{a}{21a}=\frac{1}{21}$。

6. 教材变式 约分：
（1）$\frac{ab^{2}}{(2ab)^{2}}$；
（2）$\frac{a^{2} - 2a}{2 - a}$；
（3）$\frac{(y - x)^{2}}{(x - y)^{3}}$；
（4）$\frac{x^{n} + 3y^{n}}{x^{2n} - 9y^{2n}}$；
（5）$\frac{4y^{2} - x^{2}}{-x^{2} + 4xy - 4y^{2}}$；
（6）$\frac{(1 - x)^{2}(1 + x)^{2}}{(x^{2} - 1)^{2}}$.

$(1)$ 对$\frac{ab^{2}}{(2ab)^{2}}$约分
解：
先对$(2ab)^{2}$根据积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$展开，得到$(2ab)^{2}=4a^{2}b^{2}$。
则$\frac{ab^{2}}{(2ab)^{2}}=\frac{ab^{2}}{4a^{2}b^{2}}$，
再根据分式的基本性质，约去分子分母的公因式$ab^{2}$，得到$\frac{1}{4a}$。
$(2)$ 对$\frac{a^{2}-2a}{2 - a}$约分
解：
先对分子$a^{2}-2a$提取公因式$a$，得到$a^{2}-2a=a(a - 2)$。
则$\frac{a^{2}-2a}{2 - a}=\frac{a(a - 2)}{-(a - 2)}$，
约去公因式$(a - 2)$，得到$-a$。
$(3)$ 对$\frac{(y - x)^{2}}{(x - y)^{3}}$约分
解：
因为$(y - x)^{2}=(x - y)^{2}$，
所以$\frac{(y - x)^{2}}{(x - y)^{3}}=\frac{(x - y)^{2}}{(x - y)^{3}}$，
约去公因式$(x - y)^{2}$，得到$\frac{1}{x - y}$。
$(4)$ 对$\frac{x^{n}+3y^{n}}{x^{2n}-9y^{2n}}$约分
解：
根据平方差公式$a^2-b^2=(a + b)(a - b)$，对分母$x^{2n}-9y^{2n}$变形，$x^{2n}-9y^{2n}=(x^{n})^{2}-(3y^{n})^{2}=(x^{n}+3y^{n})(x^{n}-3y^{n})$。
则$\frac{x^{n}+3y^{n}}{x^{2n}-9y^{2n}}=\frac{x^{n}+3y^{n}}{(x^{n}+3y^{n})(x^{n}-3y^{n})}$，
约去公因式$(x^{n}+3y^{n})$，得到$\frac{1}{x^{n}-3y^{n}}$。
$(5)$ 对$\frac{4y^{2}-x^{2}}{-x^{2}+4xy - 4y^{2}}$约分
解：
根据平方差公式$a^2-b^2=(a + b)(a - b)$，对分子$4y^{2}-x^{2}$变形，$4y^{2}-x^{2}=(2y + x)(2y - x)$；
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab + b^2$，对分母$-x^{2}+4xy - 4y^{2}$变形，$-x^{2}+4xy - 4y^{2}=-(x^{2}-4xy + 4y^{2})=-(x - 2y)^{2}=(2y - x)^{2}$。
则$\frac{4y^{2}-x^{2}}{-x^{2}+4xy - 4y^{2}}=\frac{(2y + x)(2y - x)}{(2y - x)^{2}}$，
约去公因式$(2y - x)$，得到$\frac{2y + x}{2y - x}$。
$(6)$ 对$\frac{(1 - x)^{2}(1 + x)^{2}}{(x^{2}-1)^{2}}$约分
解：
根据平方差公式$a^2-b^2=(a + b)(a - b)$，$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$，则$(x^{2}-1)^{2}=(x + 1)^{2}(x - 1)^{2}$，又因为$(1 - x)^{2}=(x - 1)^{2}$。
所以$\frac{(1 - x)^{2}(1 + x)^{2}}{(x^{2}-1)^{2}}=\frac{(x - 1)^{2}(x + 1)^{2}}{(x + 1)^{2}(x - 1)^{2}} = 1$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{\frac{1}{4a}}$；$(2)$$\boldsymbol{-a}$；$(3)$$\boldsymbol{\frac{1}{x - y}}$；$(4)$$\boldsymbol{\frac{1}{x^{n}-3y^{n}}}$；$(5)$$\boldsymbol{\frac{2y + x}{2y - x}}$；$(6)$$\boldsymbol{1}$。

7. 若分式 $\frac{(x - 1)(x + 2)}{(x^{2} - A)x}$ 可以进行约分化简，则该分式中的 $A$ 不可以是()

A.1
B.$x$
C.$-x$
D.4

7. C 解析：若 $A = 1$，则 $\frac{(x - 1)(x + 2)}{(x^{2} - 1)x} = \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x + 1)(x - 1)x} = \frac{x + 2}{(x + 1)x}$，能约分，故选项 A 不符合题意；若 $A = x$，则 $\frac{(x - 1)(x + 2)}{(x^{2} - x)x} = \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)x^{2}} = \frac{x + 2}{x^{2}}$，能约分，故选项 B 不符合题意；若 $A = -x$，则 $\frac{(x - 1)(x + 2)}{(x^{2} + x)x} = \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x + 1)x^{2}}$，不能约分，故选项 C 符合题意；若 $A = 4$，则 $\frac{(x - 1)(x + 2)}{(x^{2} - 4)x} = \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)x} = \frac{x - 1}{(x - 2)x}$，能约分，故选项 D 不符合题意. 故选 C.

8. (2025·上海期中)如图，设 $k =$ $\frac{图①中阴影部分面积}{图②中阴影部分面积}(a ＞ b ＞ 0)$，则有()


A.$k ＞ 2$
B.$1 ＜ k ＜ 2$
C.$\frac{1}{2} ＜ k ＜ 1$
D.$0 ＜ k ＜ \frac{1}{2}$

8. B 解析：题图①中阴影部分面积为 $a^{2} - b^{2}$，题图②中阴影部分面积为 $a(a - b)$，则 $k = \frac{a^{2} - b^{2}}{a(a - b)} = \frac{(a - b)(a + b)}{a(a - b)} = \frac{a + b}{a} = 1 + \frac{b}{a}$. $\because a ＞ b ＞ 0$，$\therefore 0 ＜ \frac{b}{a} ＜ 1$，$\therefore 1 ＜ \frac{b}{a} + 1 ＜ 2$，即 $1 ＜ k ＜ 2$. 故选 B.