登录
11. (★★)定义一种新运算“※”为$a※b=\frac{1}{a^{2}-b^{2}}$,则方程$x※2=\frac{x}{x+2}-1$的解为 【 】
A.$x=\frac{3}{2}$
B.$x=3$
C.$x=\frac{5}{2}$
D.$x=4$
A.$x=\frac{3}{2}$
B.$x=3$
C.$x=\frac{5}{2}$
D.$x=4$
答案
A
12. (★★)已知关于$x$的分式方程$\frac{a}{x-3}-1=\frac{1}{3-x}$的解是正数,则$a$的取值范围是 【 】
A.$a＜-4$
B.$a≤ -4$
C.$a＞-4$且$a≠-1$
D.$a≥ -4$且$a≠-1$
A.$a＜-4$
B.$a≤ -4$
C.$a＞-4$且$a≠-1$
D.$a≥ -4$且$a≠-1$
答案
C
13. (★★)如果分式方程$\frac{2x}{x-5}-1=\frac{2k}{x-5}$有增根,那么$k$的值是
5
。答案
5
14. (★★)若关于$x$的分式方程$\frac{ax}{x-2}+\frac{2}{2-x}=4$无解,则$a$的值为
1或4
。答案
1或4
15. (★★★)(1)已知关于$x$的分式方程$\frac{a}{x-1}+\frac{3}{1-x}=1$。
①当$a=5$时,求方程的解;
②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根,求$a$的值。
(2)关于$x$的方程$\frac{mx-1}{x-2}+\frac{1}{2-x}=2$有整数解,求此时整数$m$的值。
①当$a=5$时,求方程的解;
②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根,求$a$的值。
(2)关于$x$的方程$\frac{mx-1}{x-2}+\frac{1}{2-x}=2$有整数解,求此时整数$m$的值。
答案
(1)①当$a=5$时,分式方程为$\frac{5}{x-1}+\frac{3}{1-x}=1$。
去分母,得$5-3=x-1$。解得$x=3$。
检验:当$x=3$时,$x-1≠0$。
所以$x=3$是原方程的根。
②$\frac{a}{x-1}+\frac{3}{1-x}=1$,
去分母,得$a-3=x-1$。解得$x=a-2$。
由题意,得$x-1=0$。解得$x=1$。
所以$a-2=1$。解得$a=3$,即为所求。
(2)$\frac{mx-1}{x-2}+\frac{1}{2-x}=2$,
去分母,得$mx-1-1=2(x-2)$。解得$x=\frac{2}{2-m}$。
$\because$ 方程有整数解,
$\therefore$ $2-m=\pm1$或$2-m=\pm2$且$\frac{2}{2-m}≠2$。
解得$m=1$或$m=3$或$m=0$或$m=4$且$m≠1$。
$\therefore$ 整数$m$的值为3或0或4。
去分母,得$5-3=x-1$。解得$x=3$。
检验:当$x=3$时,$x-1≠0$。
所以$x=3$是原方程的根。
②$\frac{a}{x-1}+\frac{3}{1-x}=1$,
去分母,得$a-3=x-1$。解得$x=a-2$。
由题意,得$x-1=0$。解得$x=1$。
所以$a-2=1$。解得$a=3$,即为所求。
(2)$\frac{mx-1}{x-2}+\frac{1}{2-x}=2$,
去分母,得$mx-1-1=2(x-2)$。解得$x=\frac{2}{2-m}$。
$\because$ 方程有整数解,
$\therefore$ $2-m=\pm1$或$2-m=\pm2$且$\frac{2}{2-m}≠2$。
解得$m=1$或$m=3$或$m=0$或$m=4$且$m≠1$。
$\therefore$ 整数$m$的值为3或0或4。
16. (★★★)阅读材料:对于非零实数$a,b$,若关于$x$的分式$\frac{(x-a)(x-b)}{x}$的值为0,则解得$x_{1}=a,x_{2}=b$。因为$\frac{(x-a)(x-b)}{x}=\frac{x^{2}-(a+b)x+ab}{x}=x+\frac{ab}{x}-(a+b)$,所以关于$x$的方程$x+\frac{ab}{x}=a+b$的解为$x_{1}=a,x_{2}=b$。
(1)理解应用:方程$x+\frac{2}{x}=5+\frac{2}{5}$的解为$x_{1}=$
(2)知识迁移:若关于$x$的方程$x+\frac{3}{x}=7$的解为$x_{1}=a,x_{2}=b$,求$a^{2}+b^{2}$的值;
(3)拓展提升:若关于$x$的方程$x+\frac{6}{x-1}=k$的解为$x_{1}=t+1,x_{2}=t^{2}+2$,求$t^{3}-t^{2}+k$的值。
(1)理解应用:方程$x+\frac{2}{x}=5+\frac{2}{5}$的解为$x_{1}=$
5
,$x_{2}=$$\frac{2}{5}$
;(2)知识迁移:若关于$x$的方程$x+\frac{3}{x}=7$的解为$x_{1}=a,x_{2}=b$,求$a^{2}+b^{2}$的值;
(3)拓展提升:若关于$x$的方程$x+\frac{6}{x-1}=k$的解为$x_{1}=t+1,x_{2}=t^{2}+2$,求$t^{3}-t^{2}+k$的值。
答案
(1)$5$；$\frac{2}{5}$
(2)$\because$ 方程$x+\frac{3}{x}=7$的解为$x_{1}=a$,$x_{2}=b$,
$\therefore$ $a+b=7,ab=3$。
$\therefore$ $a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=49-6=43$。
(3)由$x+\frac{6}{x-1}=k$,得$x-1+\frac{6}{x-1}=k-1$。
设$y=x-1$,方程变形为$y+\frac{6}{y}=k-1$。
$\therefore$ $y_{1}· y_{2}=6,y_{1}+y_{2}=k-1$。
$\because$ $y_{1}=x_{1}-1,y_{2}=x_{2}-1,x_{1}=t+1,x_{2}=t^{2}+2$,
$\therefore$ $y_{1}=t+1-1=t,y_{2}=t^{2}+2-1=t^{2}+1$。
$\therefore$ $x-1=t$或$x-1=t^{2}+1$。
$\therefore$ $t(t^{2}+1)=6,t+t^{2}+1=k-1$。
$\therefore$ $k=t+t^{2}+2,t^{3}=6-t$。
将$t^{3}=6-t,k=t^{2}+t+2$代入
$t^{3}-t^{2}+k=(6-t)-t^{2}+(t^{2}+t+2)=8$。
(2)$\because$ 方程$x+\frac{3}{x}=7$的解为$x_{1}=a$,$x_{2}=b$,
$\therefore$ $a+b=7,ab=3$。
$\therefore$ $a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=49-6=43$。
(3)由$x+\frac{6}{x-1}=k$,得$x-1+\frac{6}{x-1}=k-1$。
设$y=x-1$,方程变形为$y+\frac{6}{y}=k-1$。
$\therefore$ $y_{1}· y_{2}=6,y_{1}+y_{2}=k-1$。
$\because$ $y_{1}=x_{1}-1,y_{2}=x_{2}-1,x_{1}=t+1,x_{2}=t^{2}+2$,
$\therefore$ $y_{1}=t+1-1=t,y_{2}=t^{2}+2-1=t^{2}+1$。
$\therefore$ $x-1=t$或$x-1=t^{2}+1$。
$\therefore$ $t(t^{2}+1)=6,t+t^{2}+1=k-1$。
$\therefore$ $k=t+t^{2}+2,t^{3}=6-t$。
将$t^{3}=6-t,k=t^{2}+t+2$代入
$t^{3}-t^{2}+k=(6-t)-t^{2}+(t^{2}+t+2)=8$。
