1. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC, BD$相交于点$O, E$是边$CD$的中点，连接$OE$。若$∠ BCA = 50°$，则$∠ 1 = (\quad)$

A.$60°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$25°$

B

∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 对角线AC、BD互相平分，即O是AC的中点。
又∵ E是CD的中点，
∴ OE是△ACD的中位线，根据三角形中位线性质可得OE//AD。
∵ 平行四边形对边平行，即AD//BC，
∴ OE//BC，
∴ ∠1 = ∠BCA = 50°（两直线平行，内错角相等）。

2.若一个正多边形的内角和为$720°$,则这个正多边形的一个外角为（）

A.$90°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$

B

设这个正多边形的边数为n，根据多边形内角和公式可得：$(n-2)×180°=720°$，解得$n=6$。由于任意多边形的外角和都为$360°$，正多边形的所有外角都相等，因此这个正多边形的一个外角为$360°÷6=60°$。

3.如图,已知$△ ABC$与$△ CDA$关于点$O$成中心对称,过点$O$作直线$MN$,分别交$AD,BC$于点$M,N$。有下列结论:①点$M$和点$N$,点$B$和点$D$分别关于点$O$对称;②直线$BD$必经过点$O$;③四边形$ABCD$是中心对称图形;④四边形$DMOC$和四边形$BNOA$的面积相等;⑤$△ AOM$和$△ CON$关于点$O$成中心对称。其中正确的结论是________(填序号)。

①②③④⑤

已知△ABC与△CDA关于点O成中心对称，根据中心对称的性质可得OA=OC，OB=OD，由此可推出四边形ABCD是平行四边形，且点O是平行四边形ABCD的对称中心：
1. 结论①：平行四边形的对称中心为O，过O的直线MN交AD、BC于M、N，点M、N的连线和点B、D的连线都被点O平分，因此点M和点N、点B和点D分别关于点O对称，①正确。
2. 结论②：平行四边形的对角线都经过对称中心，BD是平行四边形ABCD的对角线，因此直线BD必经过点O，②正确。
3. 结论③：四边形ABCD是平行四边形，平行四边形属于中心对称图形，③正确。
4. 结论④：根据中心对称的性质，图形绕点O旋转180°后四边形DMOC与四边形BNOA完全重合，因此二者面积相等，④正确。
5. 结论⑤：由AD//BC可得∠OAM=∠OCN，结合OA=OC，∠AOM=∠CON，可证△AOM≌△CON，且两个三角形的对应点连线都经过点O并被O平分，因此△AOM和△CON关于点O成中心对称，⑤正确。

4.如图,在$□ ABCD$中,$O$是对角线$AC$,$BD$的交点,过点$O$作$AC$的垂线,交边$AD$于点$E$,连接$CE$。若$△ CDE$的周长为$11\ \mathrm{cm}$,则$□ ABCD$的周长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$。

22

∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，AB=CD，AD=BC。
又∵ OE⊥AC，
∴ OE是线段AC的垂直平分线，
∴ AE=CE。
∵ △CDE的周长为$CE+DE+CD=11\ \mathrm{cm}$，
将$CE=AE$代入得：$AE+DE+CD = AD + CD = 11\ \mathrm{cm}$，
∴ 平行四边形ABCD的周长为$2×(AD+CD)=2×11=22\ \mathrm{cm}$。

5. 如图,在$□ ABCD$中,$∠B=60°,AB=6,H,G$分别是边$DC,BC$上的动点,其中点$H$不与点$C$重合,连接$AH,HG,E$为$AH$的中点,$F$为$GH$的中点,连接$EF$,则$EF$的最小值为$\underline{\hspace{5em}}$。

$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

① 根据三角形中位线定理推导EF与AG的关系：
在△AHG中，E是AH的中点，F是GH的中点，因此EF是△AHG的中位线，由三角形中位线性质可得：$EF=\frac{1}{2}AG$。
② 转化最值问题：
要得到EF的最小值，只需要求出AG的最小值即可。根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”，可知当AG⊥BC时，AG的长度取得最小值，该最小值就是点A到边BC的距离。
③ 计算AG的最小值：
在平行四边形$ABCD$中，∠B=60°，AB=6，当AG⊥BC时，△ABG是直角三角形，∠BAG=90°-60°=30°，因此$BG=\frac{1}{2}AB=3$。由勾股定理得：$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$。
④ 计算EF的最小值：
代入$EF=\frac{1}{2}AG$，得EF的最小值为$\frac{1}{2}×3\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

6.如图,在$□ ABCD$中,E,F分别是AD,BC边上的点,且$AE=CF$。
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形。
(2)连接CE,若CE平分$∠DCB,CF=2,DE=3$,求$□ ABCD$的周长。

(1) 证明成立，四边形$BEDF$是平行四边形；(2) $□ ABCD$的周长为$\boldsymbol{16}$。

(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，且$AD=BC$。
又∵ $AE=CF$，
∴ $AD-AE=BC-CF$，即 $ED=BF$。
又∵ $ED// BF$，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴ 四边形$BEDF$是平行四边形。
(2) 解：
∵ $CE$平分$∠ DCB$，
∴ $∠ DCE=∠ BCE$。
∵ $AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，得$∠ DEC=∠ BCE$，
∴ $∠ DCE=∠ DEC$，即$△ DEC$是等腰三角形，
∴ $DC=DE=3$。
已知$AE=CF=2$，因此$AD=AE+DE=2+3=5$。
平行四边形$ABCD$的周长为$2×(AD+DC)=2×(5+3)=16$。