如图 1,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°,CA=CB$,D 是斜边 AB 上的一点,连接 CD。试说明 AD,BD,CD 之间的数量关系,并说明理由。
【解决策略】
小敏同学思考后是这样做的:如图 2,将$△ CAD$绕点 C 逆时针旋转 $90°$,得到$△ CBE$,连接 DE,经过推理使问题得到解决。请解答下列问题。
(1)$△ DBE$的形状是________,$△ DCE$的形状是________。
(2)直接写出 AD,BD,CD 之间的数量关系:________。
【方法感悟】
若条件中出现等线段共端点,可以考虑旋转某个三角形,把分散的条件或结论集中到一个三角形中。
(3)如图 3,在四边形 ABCD 中,$∠ BCD=45°,∠ ADB=90°,AD=BD$。若 $CB=2,CD=4$,求 CA 的长。
(4)如图 4,在四边形 ABCD 中,$∠ BAD=60°,AB=AD$。若 $BC=5,CD=2$,直接写出 A,C 两点之间的最大距离。

(1) 直角三角形；等腰直角三角形
(2) $AD^2+BD^2=2CD^2$
(3) $6$
(4) $7$

(1) 由旋转性质可知：$AD=BE$，$∠ A=∠ CBE$，$CD=CE$，$∠ DCE=∠ ACB=90°$。
在$Rt△ ABC$中，$CA=CB$，$∠ ACB=90°$，因此$∠ A=∠ ABC=45°$，可得$∠ DBE=∠ ABC+∠ CBE=∠ ABC+∠ A=90°$，故$△ DBE$是直角三角形；
又$CD=CE$，$∠ DCE=90°$，因此$△ DCE$是等腰直角三角形。
(2) 在$Rt△ DBE$中，由勾股定理得$AD^2+BD^2=BE^2+BD^2=DE^2$；
在等腰$Rt△ DCE$中，由勾股定理得$DE^2=CD^2+CE^2=2CD^2$，因此$AD^2+BD^2=2CD^2$。
(3) 将$△ ACD$绕点$D$顺时针旋转$90°$得到$△ BED$，连接$CE$。
由旋转性质得：$AC=BE$，$CD=DE$，$∠ CDE=90°$，因此$CE=\sqrt{2}CD=4\sqrt{2}$，$∠ DCE=45°$。
已知$∠ BCD=45°$，因此$∠ BCE=∠ BCD+∠ DCE=90°$。
在$Rt△ BCE$中，由勾股定理得$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{2^2+(4\sqrt{2})^2}=6$，因此$AC=BE=6$。
(4) 将$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转$60°$得到$△ ADE$，连接$CE$。
由$AB=AD$，$∠ BAD=60°$，旋转后点$B$对应点$D$，得$AC=AE$，$∠ CAE=60°$，因此$△ ACE$是等边三角形，$AC=CE$。
根据三角形三边关系，$CE≤ CD+DE=CD+BC=2+5=7$，当$C、D、E$三点共线时取等号，即$AC$的最大值为7。