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13. 如图，将长方形纸条折叠，$∠ 1=50°$，则$∠ 2$的度数为（）
A.$60°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$100°$
A.$60°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$100°$
答案
C
解析
根据折叠的性质，折叠后与∠1重合的对应角大小等于∠1，即也为$50°$。
长方形纸条的上下两条长边互相平行，由两直线平行，同旁内角互补可得：
$∠ 2 + ∠ 1 + 50° = 180°$
代入$∠ 1=50°$，计算得$∠ 2=180° - 50° -50°=80°$。
长方形纸条的上下两条长边互相平行，由两直线平行，同旁内角互补可得：
$∠ 2 + ∠ 1 + 50° = 180°$
代入$∠ 1=50°$，计算得$∠ 2=180° - 50° -50°=80°$。
14.下列说法中,是真命题的个数是（）
①若$a// b$,$b// d$,则$a// d$;②过一点有且只有一条直线与已知直线平行;③两条直线不相交就平行;④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
A.1
B.2
C.3
D.4
①若$a// b$,$b// d$,则$a// d$;②过一点有且只有一条直线与已知直线平行;③两条直线不相交就平行;④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
A
解析
逐个判断命题真假：
1. 根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，故①是真命题；
2. 命题②未指明点在已知直线外，若点在已知直线上，无法作出与该直线平行的直线，故②是假命题；
3. 命题③未指明两条直线在同一平面内，空间中存在不相交也不平行的异面直线，故③是假命题；
4. 命题④未指明“在同一平面内”，空间中过一点有无数条直线与已知直线垂直，故④是假命题。
综上，真命题的个数为1。
1. 根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，故①是真命题；
2. 命题②未指明点在已知直线外，若点在已知直线上，无法作出与该直线平行的直线，故②是假命题；
3. 命题③未指明两条直线在同一平面内，空间中存在不相交也不平行的异面直线，故③是假命题；
4. 命题④未指明“在同一平面内”，空间中过一点有无数条直线与已知直线垂直，故④是假命题。
综上，真命题的个数为1。
15. 如图，$l_1// l_2$，第1次，作$l_3$相交$l_1,l_2$，则产生了4对同位角；第2次，作$l_4$相交$l_1,l_2,l_3$，则产生了12对同位角；第3次，作$l_5$相交$l_1,l_2,l_3,l_4$，则产生了24对同位角. 推测第6次产生的同位角的数量为 （）
A.60对
B.84对
C.112对
D.144对
A.60对
B.84对
C.112对
D.144对
答案
B
解析
我们先推导规律：一条截线和k条直线相交时，从k条直线中任选2条作为被截线，每组三线八角对应4对同位角，因此新产生的同位角总数为$\frac{k(k-1)}{2} × 4 = 2k(k-1)$。
第1次：新截线与2条直线相交，新同位角为$2×2×1=4$，符合题意；
第2次：新截线与3条直线相交，新同位角为$2×3×2=12$，符合题意；
第3次：新截线与4条直线相交，新同位角为$2×4×3=24$，符合题意；
由此可得第n次时，新截线共与$n+1$条直线相交，新产生同位角的数量为$2n(n+1)$。
将$n=6$代入，得$2×6×(6+1)=84$。
第1次：新截线与2条直线相交，新同位角为$2×2×1=4$，符合题意；
第2次：新截线与3条直线相交，新同位角为$2×3×2=12$，符合题意；
第3次：新截线与4条直线相交，新同位角为$2×4×3=24$，符合题意；
由此可得第n次时，新截线共与$n+1$条直线相交，新产生同位角的数量为$2n(n+1)$。
将$n=6$代入，得$2×6×(6+1)=84$。
16.已知 O 为直线 AC 上一点,以 O 为起点作射线 OB,OD,满足∠AOB=2∠BOC,且∠BOD=$\frac{2}{3}$∠AOB,则∠AOD=.
答案
$\boldsymbol{40°}$或$\boldsymbol{160°}$
解析
解：
∵ O为直线AC上一点，
∴ ∠AOC = 180°，即∠AOB + ∠BOC = 180°。
∵ ∠AOB = 2∠BOC，
∴ 2∠BOC + ∠BOC = 180°，
解得∠BOC = 60°，∠AOB = 120°。
∵ ∠BOD = $\frac{2}{3}$∠AOB，
∴ ∠BOD = $\frac{2}{3}$×120° = 80°。
分两种情况讨论：
① 当射线OD在∠AOB内部时：
∠AOD = ∠AOB - ∠BOD = 120° - 80° = 40°；
② 当射线OD在∠AOB外部时：
∠AOD = ∠AOB + ∠BOD - ∠AOC = 120° + 80° - 180° + 180° = 160°。
综上，∠AOD = 40°或160°。
∵ O为直线AC上一点，
∴ ∠AOC = 180°，即∠AOB + ∠BOC = 180°。
∵ ∠AOB = 2∠BOC，
∴ 2∠BOC + ∠BOC = 180°，
解得∠BOC = 60°，∠AOB = 120°。
∵ ∠BOD = $\frac{2}{3}$∠AOB，
∴ ∠BOD = $\frac{2}{3}$×120° = 80°。
分两种情况讨论：
① 当射线OD在∠AOB内部时：
∠AOD = ∠AOB - ∠BOD = 120° - 80° = 40°；
② 当射线OD在∠AOB外部时：
∠AOD = ∠AOB + ∠BOD - ∠AOC = 120° + 80° - 180° + 180° = 160°。
综上，∠AOD = 40°或160°。
17. 如图，∠1 和∠3 是直线和被直线所截而成的角；图中与∠2 是同旁内角的角有个.
答案
解：∠1 和 ∠3 是直线 AB 和 AC 被直线 DE 所截而成的内错角；图中与∠2 是同旁内角的角有 3 个。
答案依次为：AB；AC；DE；内错；3。
答案依次为：AB；AC；DE；内错；3。
18.如图，直线AB，CD相交于点O，MO⊥AB，垂足为O，∠1=∠2，则∠NOD的度数为.
答案
$\boldsymbol{90°}$
解析
解：
∵ MO⊥AB，
∴ ∠AOM = 90°，即∠1 + ∠AOC = 90°。
又∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠2 + ∠AOC = 90°，即∠CON = 90°。
∵ 点C、O、D共线，
∴ ∠NOD = 180° - ∠CON = 180° - 90° = 90°。
∵ MO⊥AB，
∴ ∠AOM = 90°，即∠1 + ∠AOC = 90°。
又∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠2 + ∠AOC = 90°，即∠CON = 90°。
∵ 点C、O、D共线，
∴ ∠NOD = 180° - ∠CON = 180° - 90° = 90°。
19.已知直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC=60°，EO⊥CD，垂足为O，则∠AOE=。
答案
解：分两种情况求解：
① 当点E在直线CD靠近点A的一侧时：
∵ EO⊥CD，
∴ ∠COE = 90°，
又∵ ∠AOC = 60°，
∴ ∠AOE = ∠COE - ∠AOC = 90° - 60° = 30°；
② 当点E在直线CD远离点A的一侧时：
∵ EO⊥CD，
∴ ∠DOE = 90°，
∵ 直线AB与CD相交于点O，∠AOC = 60°，
∴ ∠AOD = 180° - ∠AOC = 120°，
∴ ∠AOE = ∠AOD + ∠DOE = 120° + 90° = 150°。
综上，∠AOE = 30°或150°。
① 当点E在直线CD靠近点A的一侧时：
∵ EO⊥CD，
∴ ∠COE = 90°，
又∵ ∠AOC = 60°，
∴ ∠AOE = ∠COE - ∠AOC = 90° - 60° = 30°；
② 当点E在直线CD远离点A的一侧时：
∵ EO⊥CD，
∴ ∠DOE = 90°，
∵ 直线AB与CD相交于点O，∠AOC = 60°，
∴ ∠AOD = 180° - ∠AOC = 120°，
∴ ∠AOE = ∠AOD + ∠DOE = 120° + 90° = 150°。
综上，∠AOE = 30°或150°。
