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9. 已知$a＞0$，且$a^{3x}=3,a^{2y}=5$。
（1）求$a^{4y-6x}$的值；
（2）若$a^{3x-6y+z}=\dfrac{9}{25}$，求$a^{z}$的值。
（1）求$a^{4y-6x}$的值；
（2）若$a^{3x-6y+z}=\dfrac{9}{25}$，求$a^{z}$的值。
答案
（1）$\frac{25}{9}$；（2）$15$
解析
（1）根据同底数幂的除法法则和幂的乘方法则：
$a^{4y -6x} = a^{4y} ÷ a^{6x} = (a^{2y})^2 ÷ (a^{3x})^2$
已知$a^{3x}=3$，$a^{2y}=5$，代入得：
$5^2 ÷ 3^2 = 25 ÷ 9 = \frac{25}{9}$
（2）根据同底数幂的运算法则：
$a^{3x -6y +z} = a^{3x} ÷ a^{6y} × a^z = a^{3x} ÷ (a^{2y})^3 × a^z$
代入已知值：
$3 ÷ 5^3 × a^z = \frac{3}{125}a^z$
由题意$\frac{3}{125}a^z = \frac{9}{25}$，解得：
$a^z = \frac{9}{25} × \frac{125}{3} = 15$
$a^{4y -6x} = a^{4y} ÷ a^{6x} = (a^{2y})^2 ÷ (a^{3x})^2$
已知$a^{3x}=3$，$a^{2y}=5$，代入得：
$5^2 ÷ 3^2 = 25 ÷ 9 = \frac{25}{9}$
（2）根据同底数幂的运算法则：
$a^{3x -6y +z} = a^{3x} ÷ a^{6y} × a^z = a^{3x} ÷ (a^{2y})^3 × a^z$
代入已知值：
$3 ÷ 5^3 × a^z = \frac{3}{125}a^z$
由题意$\frac{3}{125}a^z = \frac{9}{25}$，解得：
$a^z = \frac{9}{25} × \frac{125}{3} = 15$
10. 规定两数$a,b$之间的一种运算，记作$(a,b)$。如果$a^c = b$，那么$(a,b)=c$。例如：因为$2^3 = 8$，所以$(2,8)=3$。
（1）根据上述规定，填空：
① $(5,125)=\_\_\_\_\_\_$，
$(-2,-32)=\_\_\_\_\_\_$；
② 若$(x,\dfrac{1}{8})=-3$，则$x=\_\_\_\_\_\_$。
（2）若$(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c$，试说明下列等式成立的理由：$a + b = c$。
（1）根据上述规定，填空：
① $(5,125)=\_\_\_\_\_\_$，
$(-2,-32)=\_\_\_\_\_\_$；
② 若$(x,\dfrac{1}{8})=-3$，则$x=\_\_\_\_\_\_$。
（2）若$(4,5)=a,(4,6)=b,(4,30)=c$，试说明下列等式成立的理由：$a + b = c$。
答案
（1）① $3$，$5$；② $2$；（2）理由如上。
解析
（1）① 根据新运算定义：若$a^c = b$，则$(a,b)=c$。因为$5^3=125$，所以$(5,125)=3$；因为$(-2)^5=-32$，所以$(-2,-32)=5$。② 若$(x,\frac{1}{8})=-3$，根据定义得$x^{-3}=\frac{1}{8}$，即$\frac{1}{x^3}=\frac{1}{8}$，解得$x^3=8$，所以$x=2$。（2）根据定义：$(4,5)=a$则$4^a=5$，$(4,6)=b$则$4^b=6$，$(4,30)=c$则$4^c=30$。因为$5×6=30$，所以$4^a×4^b=4^{a+b}=4^c$，根据同底数幂乘法法则，底数相同则指数相等，故$a+b=c$。
11. (1) $(\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{2}{3} × \dfrac{2}{3}$，
$(\dfrac{3}{2})^{-2} = \dfrac{1}{(\dfrac{3}{2})^2} = \dfrac{1}{\dfrac{3}{2}} × \dfrac{1}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{2}{3} × \dfrac{2}{3}$。
由上述计算，我们发现 $(\dfrac{2}{3})^2$ $(\dfrac{3}{2})^{-2}$。
(2) 仿照(1)，请你通过计算，判断 $(\dfrac{5}{4})^3$ 与 $(\dfrac{4}{5})^{-3}$ 之间的关系。
(3) 我们可以发现：$(\dfrac{b}{a})^{-m}$ $(\dfrac{a}{b})^m$（$a ≠ 0, b ≠ 0$）。
(4) 计算：$(\dfrac{3}{8})^{-4} × (\dfrac{3}{4})^4$。
$(\dfrac{3}{2})^{-2} = \dfrac{1}{(\dfrac{3}{2})^2} = \dfrac{1}{\dfrac{3}{2}} × \dfrac{1}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{2}{3} × \dfrac{2}{3}$。
由上述计算，我们发现 $(\dfrac{2}{3})^2$ $(\dfrac{3}{2})^{-2}$。
(2) 仿照(1)，请你通过计算，判断 $(\dfrac{5}{4})^3$ 与 $(\dfrac{4}{5})^{-3}$ 之间的关系。
(3) 我们可以发现：$(\dfrac{b}{a})^{-m}$ $(\dfrac{a}{b})^m$（$a ≠ 0, b ≠ 0$）。
(4) 计算：$(\dfrac{3}{8})^{-4} × (\dfrac{3}{4})^4$。
答案
(1) $=$；
(2) $(\frac{5}{4})^3=(\frac{4}{5})^{-3}$；
(3) $=$；
(4) $16$。
(2) $(\frac{5}{4})^3=(\frac{4}{5})^{-3}$；
(3) $=$；
(4) $16$。
解析
(1) 计算：$(\frac{2}{3})^2=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，$(\frac{3}{2})^{-2}=\frac{1}{(\frac{3}{2})^2}=\frac{1}{\frac{9}{4}}=\frac{4}{9}$，因此$(\frac{2}{3})^2=(\frac{3}{2})^{-2}$。
(2) 计算：$(\frac{5}{4})^3=\frac{5}{4}×\frac{5}{4}×\frac{5}{4}=\frac{125}{64}$，$(\frac{4}{5})^{-3}=\frac{1}{(\frac{4}{5})^3}=\frac{1}{\frac{64}{125}}=\frac{125}{64}$，故$(\frac{5}{4})^3=(\frac{4}{5})^{-3}$。
(3) 结合(1)(2)的计算规律，可得$(\frac{b}{a})^{-m}=(\frac{a}{b})^m$（$a≠0,b≠0$）。
(4) 计算：$(\frac{3}{8})^{-4}×(\frac{3}{4})^4=(\frac{8}{3})^4×(\frac{3}{4})^4=(\frac{8}{3}×\frac{3}{4})^4=2^4=16$。
(2) 计算：$(\frac{5}{4})^3=\frac{5}{4}×\frac{5}{4}×\frac{5}{4}=\frac{125}{64}$，$(\frac{4}{5})^{-3}=\frac{1}{(\frac{4}{5})^3}=\frac{1}{\frac{64}{125}}=\frac{125}{64}$，故$(\frac{5}{4})^3=(\frac{4}{5})^{-3}$。
(3) 结合(1)(2)的计算规律，可得$(\frac{b}{a})^{-m}=(\frac{a}{b})^m$（$a≠0,b≠0$）。
(4) 计算：$(\frac{3}{8})^{-4}×(\frac{3}{4})^4=(\frac{8}{3})^4×(\frac{3}{4})^4=(\frac{8}{3}×\frac{3}{4})^4=2^4=16$。
