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1. 如图,点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一动点,矩形的两条边 AB,BC 的长分别是 6 和 8,则点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是
4.8
.答案
1.4.8
解析
【分析】
我们可以通过矩形性质结合面积法求解本题：第一步，先利用勾股定理求出矩形对角线的长度，再根据矩形对角线互相平分且相等的性质，得到两条半对角线的长度；第二步，连接对角线交点与点P，将对角线交点和AD构成的三角形面积，拆分为点P分别与两条半对角线构成的两个小三角形的面积之和，通过面积相等建立等式，即可求出两个距离的和。
【解析】
设矩形对角线AC、BD交于点O，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F。
∵ 四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8
∴ 矩形面积S=AB×BC=6×8=48，对角线$AC=BD=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
∴ $OA=OD=\frac{1}{2}AC=5$，且△AOD的面积为矩形面积的$\frac{1}{4}$，即$S_{△ AOD}=48÷4=12$
连接OP，可得$S_{△ AOD}=S_{△ AOP}+S_{△ DOP}$
∵ $S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA× PE=\frac{1}{2}×5× PE$，$S_{△ DOP}=\frac{1}{2}× OD× PF=\frac{1}{2}×5× PF$
代入面积等式得：$\frac{1}{2}×5×(PE+PF)=12$
解得$PE+PF=\frac{24}{5}=4.8$
【答案】
4.8
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，面积法求线段和
【点评】
本题是矩形中动点线段和的典型问题，利用面积法将线段和转化为面积关系求解，思路简洁，是处理这类动态定值问题的常用方法。
【难度系数】
0.6
我们可以通过矩形性质结合面积法求解本题：第一步，先利用勾股定理求出矩形对角线的长度，再根据矩形对角线互相平分且相等的性质，得到两条半对角线的长度；第二步，连接对角线交点与点P，将对角线交点和AD构成的三角形面积，拆分为点P分别与两条半对角线构成的两个小三角形的面积之和，通过面积相等建立等式，即可求出两个距离的和。
【解析】
设矩形对角线AC、BD交于点O，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F。
∵ 四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8
∴ 矩形面积S=AB×BC=6×8=48，对角线$AC=BD=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
∴ $OA=OD=\frac{1}{2}AC=5$，且△AOD的面积为矩形面积的$\frac{1}{4}$，即$S_{△ AOD}=48÷4=12$
连接OP，可得$S_{△ AOD}=S_{△ AOP}+S_{△ DOP}$
∵ $S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA× PE=\frac{1}{2}×5× PE$，$S_{△ DOP}=\frac{1}{2}× OD× PF=\frac{1}{2}×5× PF$
代入面积等式得：$\frac{1}{2}×5×(PE+PF)=12$
解得$PE+PF=\frac{24}{5}=4.8$
【答案】
4.8
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，面积法求线段和
【点评】
本题是矩形中动点线段和的典型问题，利用面积法将线段和转化为面积关系求解，思路简洁，是处理这类动态定值问题的常用方法。
【难度系数】
0.6
2. 如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,H为BF的中点,连结GH,则GH的长为
$\frac{\sqrt{34}}{2}$
.答案
2.$\frac{\sqrt{34}}{2}$
解析
【分析】
首先我们可以利用正方形的性质找到全等三角形的条件，证明△ABE≌△DAF，通过全等得到角的关系推出BE⊥AF，即△BGF是直角三角形；再结合H是BF中点的条件，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可知GH的长度是BF长度的一半，最后用勾股定理计算BF的长度即可得到GH的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=5，∠BAD=∠D=∠C=90°，
在△ABE和△DAF中：
$\{\begin{array}{l}AB=DA\\∠ BAE=∠ D\\AE=DF\end{array} $
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠DAF+∠BAG=∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠BAG=90°，
∴∠AGB=180°-90°=90°，即∠BGF=90°，△BGF是直角三角形，
∵H为BF的中点，
∴GH=$\frac{1}{2}$BF（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∵DF=2，CD=5，
∴CF=CD-DF=5-2=3，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
BF=$\sqrt{BC^2+CF^2}$=$\sqrt{5^2+3^2}$=$\sqrt{34}$，
∴GH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{\sqrt{34}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{34}}{2}$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，将正方形、全等三角形、直角三角形的性质和勾股定理结合考查，解题的突破口是通过全等证明得到直角三角形，再利用直角三角形的性质转化所求线段，能较好地考查学生对几何基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
首先我们可以利用正方形的性质找到全等三角形的条件，证明△ABE≌△DAF，通过全等得到角的关系推出BE⊥AF，即△BGF是直角三角形；再结合H是BF中点的条件，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可知GH的长度是BF长度的一半，最后用勾股定理计算BF的长度即可得到GH的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=5，∠BAD=∠D=∠C=90°，
在△ABE和△DAF中：
$\{\begin{array}{l}AB=DA\\∠ BAE=∠ D\\AE=DF\end{array} $
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠DAF+∠BAG=∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠BAG=90°，
∴∠AGB=180°-90°=90°，即∠BGF=90°，△BGF是直角三角形，
∵H为BF的中点，
∴GH=$\frac{1}{2}$BF（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∵DF=2，CD=5，
∴CF=CD-DF=5-2=3，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
BF=$\sqrt{BC^2+CF^2}$=$\sqrt{5^2+3^2}$=$\sqrt{34}$，
∴GH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{\sqrt{34}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{34}}{2}$
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，将正方形、全等三角形、直角三角形的性质和勾股定理结合考查，解题的突破口是通过全等证明得到直角三角形，再利用直角三角形的性质转化所求线段，能较好地考查学生对几何基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,点E在边AD上运动,且不与点A和点D重合,连结CE,过点C作$CF⊥CE$交AB的延长线于点F,EF交BC于点G.
(1) 求证:$△ CDE≌△ CBF$.
(2) 连结AG,在点E运动的过程中,四边形CEAG能否为平行四边形?若能,求出此时DE的长;若不能,请说明理由.
(1) 求证:$△ CDE≌△ CBF$.
(2) 连结AG,在点E运动的过程中,四边形CEAG能否为平行四边形?若能,求出此时DE的长;若不能,请说明理由.
答案
3.(1)略 (2)不能,理由略
解析
【分析】
(1) 要证△CDE≌△CBF，先利用正方形的性质得到CD=CB，∠D和∠CBF均为直角；再结合CE⊥CF，利用同角的余角相等推出∠DCE=∠BCF，即可通过ASA判定定理证明全等。
(2) 探究四边形CEAG能否为平行四边形，可采用假设法：先假设四边形是平行四边形，结合平行四边形对边相等的性质，以及(1)中全等得到的边的关系列方程求解，判断解是否符合E不与A、D重合的限制条件，即可得出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴CD=CB，∠D=∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，即∠D=∠CBF。
∵CF⊥CE，
∴∠ECF=90°，
∴∠BCF + ∠BCE = 90°，
又
∵∠DCE + ∠BCE = ∠BCD=90°，
∴∠DCE=∠BCF。
在△CDE和△CBF中：
$\begin{cases}∠D=∠CBF \\CD=CB \\∠DCE=∠BCF\end{cases}$
∴△CDE≌△CBF（ASA）。
(2) 解：不能，理由如下：
假设四边形CEAG是平行四边形，
∵正方形ABCD中AD//BC，即AE//CG，
∴需满足AE=CG即可构成平行四边形。
设DE=x（0＜x＜1），则AE=1-x，
由(1)的全等结论可得BF=DE=x，
若AE=CG，则CG=1-x，
∴BG=BC - CG=1-(1-x)=x，即BG=BF=x。
在Rt△GBF中，BG=BF，
∴∠F=45°，
在Rt△EAF中，若∠F=45°，则AE=AF，
又
∵AF=AB + BF=1+x，
∴1-x=1+x，解得x=0，即DE=0，此时E与A重合，不符合E不与A、D重合的条件，
故假设不成立，四边形CEAG不能为平行四边形。
【答案】
(1) △CDE≌△CBF，证明成立；
(2) 不能。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定
【点评】
本题属于几何综合基础题，第一问考查基础全等的证明，需熟练掌握正方形性质和全等判定定理；第二问的存在性问题采用反证法推导，能有效锻炼逻辑推理能力，解题时注意不要忽略题目的限制条件。
【难度系数】
0.6
(1) 要证△CDE≌△CBF，先利用正方形的性质得到CD=CB，∠D和∠CBF均为直角；再结合CE⊥CF，利用同角的余角相等推出∠DCE=∠BCF，即可通过ASA判定定理证明全等。
(2) 探究四边形CEAG能否为平行四边形，可采用假设法：先假设四边形是平行四边形，结合平行四边形对边相等的性质，以及(1)中全等得到的边的关系列方程求解，判断解是否符合E不与A、D重合的限制条件，即可得出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴CD=CB，∠D=∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，即∠D=∠CBF。
∵CF⊥CE，
∴∠ECF=90°，
∴∠BCF + ∠BCE = 90°，
又
∵∠DCE + ∠BCE = ∠BCD=90°，
∴∠DCE=∠BCF。
在△CDE和△CBF中：
$\begin{cases}∠D=∠CBF \\CD=CB \\∠DCE=∠BCF\end{cases}$
∴△CDE≌△CBF（ASA）。
(2) 解：不能，理由如下：
假设四边形CEAG是平行四边形，
∵正方形ABCD中AD//BC，即AE//CG，
∴需满足AE=CG即可构成平行四边形。
设DE=x（0＜x＜1），则AE=1-x，
由(1)的全等结论可得BF=DE=x，
若AE=CG，则CG=1-x，
∴BG=BC - CG=1-(1-x)=x，即BG=BF=x。
在Rt△GBF中，BG=BF，
∴∠F=45°，
在Rt△EAF中，若∠F=45°，则AE=AF，
又
∵AF=AB + BF=1+x，
∴1-x=1+x，解得x=0，即DE=0，此时E与A重合，不符合E不与A、D重合的条件，
故假设不成立，四边形CEAG不能为平行四边形。
【答案】
(1) △CDE≌△CBF，证明成立；
(2) 不能。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定
【点评】
本题属于几何综合基础题，第一问考查基础全等的证明，需熟练掌握正方形性质和全等判定定理；第二问的存在性问题采用反证法推导，能有效锻炼逻辑推理能力，解题时注意不要忽略题目的限制条件。
【难度系数】
0.6
