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我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.例如:线段AB的最小覆盖圆是以线段AB为直径的圆;不共线三点A,B,C的最小覆盖圆就是△ABC的外接圆(钝角三角形除外).
【操作探究】现有三个边长为1 cm的正方形.
①小芳按图①方式摆放,则最小覆盖圆的直径为
②小玲按图②方式摆放,则最小覆盖圆的直径为
③小慧发现另一种摆放方式,其最小覆盖圆的直径比她俩都小,请你也设计一种比小芳和小玲摆的都小的摆放方式,并求出最小覆盖圆的直径.
【延伸运用】某地有四个村庄E,F,G,H(其位置如图③所示),现拟建一个广播信号中转站,为了使这四个村庄的居民都能接收到广播信号,且使中转站所需发射广播功率最小(距离越小,所需功率越小),请在图中画出中转站所建位置.
【操作探究】现有三个边长为1 cm的正方形.
①小芳按图①方式摆放,则最小覆盖圆的直径为
√10
cm;②小玲按图②方式摆放,则最小覆盖圆的直径为
2√2
cm;③小慧发现另一种摆放方式,其最小覆盖圆的直径比她俩都小,请你也设计一种比小芳和小玲摆的都小的摆放方式,并求出最小覆盖圆的直径.
【延伸运用】某地有四个村庄E,F,G,H(其位置如图③所示),现拟建一个广播信号中转站,为了使这四个村庄的居民都能接收到广播信号,且使中转站所需发射广播功率最小(距离越小,所需功率越小),请在图中画出中转站所建位置.
答案
①√10 解析:如图①
,以矩形对角线的中点为圆心,对角线长的一半为半径的圆为最小覆盖圆,则d=√1²+3²=√10(cm).②2√2 解析:如图②
,以三个小正方形的共顶点为圆心,小正方形的对角线长为半径的圆为最小覆盖圆,则R=√1²+1²=√2 (cm),∴d=2√2 cm.
③如图③
,将2个小正方形一边重合,另1个小正方形的两个顶点分别位于前2个小正方形上边的中点处,设圆心为O,连结OB,OD,延长CO交上方小正方形上边于点A,设OC=x cm,OB=OD=R cm,则OA=(2-x) cm,在Rt△OAB和Rt△OCD中,由勾股定理得$\begin{cases} x^2+1^2=R^2, \\ (\frac{1}{2})^2+(2-x)^2=R^2, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=\frac{13}{16}, \\ R=\frac{5\sqrt{17}}{16}, \end{cases}$
∴d=$\frac{5\sqrt{17}}{8}$ cm,
∴最小覆盖圆的直径为$\frac{5\sqrt{17}}{8}$ cm.
【延伸运用】此中转站应建在△EHF的外接圆圆心处(线段HE,FE的垂直平分线的交点),
∵ ∠HGF=49.8°+53.8°=103.6°,∠EFG=44.0°+47.1°=91.1°,
∴△EGF,△HGF为钝角三角形,此时不是最小覆盖圆,对于△EHF而言,∠HEF=47.8°+35.1°=82.9°,故△EHF为锐角三角形,
∴其最小覆盖圆为△EHF的外接圆,设圆心为点O,直线EG与⊙O交于点M,连结MF,如图④
,∵$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{EF}$,
∴∠EMF=∠EHF=50°＜∠EGF=53.8°,同理,△HEG为锐角三角形,但是此时点F在△HEG外接圆外部,不符合题意,
∴点G在⊙O内,从而⊙O是四边形EFGH的最小覆盖圆,因此中转站建在△EHF的外接圆圆心处.
解析
【分析】
解决本题的核心是明确最小覆盖圆的要求：图形上所有点都在圆内或圆上，且半径最小，通常图形的最远边界点都会落在这个圆上。
1. 图①是三个正方形并排拼接，形成长3cm、宽1cm的矩形，矩形的最小覆盖圆是它的外接圆，直径等于矩形对角线长，用勾股定理直接计算即可。
2. 图②三个正方形共一个顶点，其余最远顶点到公共顶点的距离都等于正方形的对角线，因此圆心就是公共顶点，半径为正方形对角线长，直径为半径的2倍。
3. 设计更小直径的摆放方式时，要让图形更紧凑，使多个最远点同时落在外接圆上，通过设未知数、结合勾股定理列方程求解就能得到更小的直径。
4. 延伸运用部分，四个村庄的最小覆盖圆是能覆盖四个点的最小圆，先判断四个点构成的三角形的形状，结合“钝角三角形最小覆盖圆不是外接圆”的提示，找到能覆盖所有点的最小外接圆，圆心就是中转站的位置。
【解析】
操作探究
① 图①中三个正方形并排拼接为长3cm、宽1cm的矩形，最小覆盖圆为矩形的外接圆，直径为矩形对角线长：
$d=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$
② 图②中三个正方形共顶点，最远顶点到公共顶点的距离为正方形对角线长$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，因此最小覆盖圆以公共顶点为圆心，$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$为半径，直径为：
$d=2×\sqrt{2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
③ 摆放方式：将2个小正方形沿一边重合拼接，另1个小正方形放在两个正方形上方，使其底边两个顶点分别与下方两个小正方形上边的中点重合，如图③。
设圆心为O，连接OB、OD，延长CO交上方小正方形上边于点A，设$OC=x\ \mathrm{cm}$，圆半径为$R\ \mathrm{cm}$，则$OA=(2-x)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，由勾股定理得：$x^2+1^2=R^2$
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，由勾股定理得：$(\frac{1}{2})^2+(2-x)^2=R^2$
联立方程：
$\begin{cases} x^2+1=R^2 \\ \frac{1}{4}+(2-x)^2=R^2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=\frac{13}{16} \\ R=\frac{5\sqrt{17}}{16} \end{cases}$
因此直径$d=2R=\frac{5\sqrt{17}}{8}\ \mathrm{cm}$，小于前两种摆放的直径，符合要求。
延伸运用
首先计算各角度数：
$∠ HGF=49.8°+53.8°=103.6°$，$∠ EFG=44.0°+47.1°=91.1°$，可知$△ EGF$、$△ HGF$都是钝角三角形，外接圆不是最小覆盖圆。
计算$∠ HEF=47.8°+35.1°=82.9°$，可知$△ EHF$为锐角三角形，其外接圆是自身的最小覆盖圆。
验证点G在$△ EHF$的外接圆内：同弧EF所对圆周角$∠ EMF=∠ EHF=50°＜∠ EGF=53.8°$，因此点G在圆内，该外接圆可覆盖四个点。
因此中转站应建在$△ EHF$的外接圆圆心处（即线段HE、EF的垂直平分线的交点），如图④。
【答案】
① $\sqrt{10}$
② $2\sqrt{2}$
③ 摆放方式见解析，最小覆盖圆直径为$\frac{5\sqrt{17}}{8}$ cm
【延伸运用】中转站建在$△ EHF$的外接圆圆心处，位置如图④
【知识点】
1. 最小覆盖圆定义
2. 勾股定理
3. 三角形外接圆性质
【点评】
本题围绕最小覆盖圆的概念展开，结合了图形拼接、勾股定理计算、三角形类型判断及外接圆性质等内容，既考察基础几何运算能力，也考验方案设计、实际问题分析的能力，解题核心是抓住“所有边界点都在圆上时半径最小”的规律。
【难度系数】
0.4
解决本题的核心是明确最小覆盖圆的要求：图形上所有点都在圆内或圆上，且半径最小，通常图形的最远边界点都会落在这个圆上。
1. 图①是三个正方形并排拼接，形成长3cm、宽1cm的矩形，矩形的最小覆盖圆是它的外接圆，直径等于矩形对角线长，用勾股定理直接计算即可。
2. 图②三个正方形共一个顶点，其余最远顶点到公共顶点的距离都等于正方形的对角线，因此圆心就是公共顶点，半径为正方形对角线长，直径为半径的2倍。
3. 设计更小直径的摆放方式时，要让图形更紧凑，使多个最远点同时落在外接圆上，通过设未知数、结合勾股定理列方程求解就能得到更小的直径。
4. 延伸运用部分，四个村庄的最小覆盖圆是能覆盖四个点的最小圆，先判断四个点构成的三角形的形状，结合“钝角三角形最小覆盖圆不是外接圆”的提示，找到能覆盖所有点的最小外接圆，圆心就是中转站的位置。
【解析】
操作探究
① 图①中三个正方形并排拼接为长3cm、宽1cm的矩形，最小覆盖圆为矩形的外接圆，直径为矩形对角线长：
$d=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$
② 图②中三个正方形共顶点，最远顶点到公共顶点的距离为正方形对角线长$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，因此最小覆盖圆以公共顶点为圆心，$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$为半径，直径为：
$d=2×\sqrt{2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
③ 摆放方式：将2个小正方形沿一边重合拼接，另1个小正方形放在两个正方形上方，使其底边两个顶点分别与下方两个小正方形上边的中点重合，如图③
。设圆心为O，连接OB、OD，延长CO交上方小正方形上边于点A，设$OC=x\ \mathrm{cm}$，圆半径为$R\ \mathrm{cm}$，则$OA=(2-x)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，由勾股定理得：$x^2+1^2=R^2$
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，由勾股定理得：$(\frac{1}{2})^2+(2-x)^2=R^2$
联立方程：
$\begin{cases} x^2+1=R^2 \\ \frac{1}{4}+(2-x)^2=R^2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=\frac{13}{16} \\ R=\frac{5\sqrt{17}}{16} \end{cases}$
因此直径$d=2R=\frac{5\sqrt{17}}{8}\ \mathrm{cm}$，小于前两种摆放的直径，符合要求。
延伸运用
首先计算各角度数：
$∠ HGF=49.8°+53.8°=103.6°$，$∠ EFG=44.0°+47.1°=91.1°$，可知$△ EGF$、$△ HGF$都是钝角三角形，外接圆不是最小覆盖圆。
计算$∠ HEF=47.8°+35.1°=82.9°$，可知$△ EHF$为锐角三角形，其外接圆是自身的最小覆盖圆。
验证点G在$△ EHF$的外接圆内：同弧EF所对圆周角$∠ EMF=∠ EHF=50°＜∠ EGF=53.8°$，因此点G在圆内，该外接圆可覆盖四个点。
因此中转站应建在$△ EHF$的外接圆圆心处（即线段HE、EF的垂直平分线的交点），如图④
。【答案】
① $\sqrt{10}$
② $2\sqrt{2}$
③ 摆放方式见解析，最小覆盖圆直径为$\frac{5\sqrt{17}}{8}$ cm
【延伸运用】中转站建在$△ EHF$的外接圆圆心处，位置如图④
【知识点】
1. 最小覆盖圆定义
2. 勾股定理
3. 三角形外接圆性质
【点评】
本题围绕最小覆盖圆的概念展开，结合了图形拼接、勾股定理计算、三角形类型判断及外接圆性质等内容，既考察基础几何运算能力，也考验方案设计、实际问题分析的能力，解题核心是抓住“所有边界点都在圆上时半径最小”的规律。
【难度系数】
0.4
