1. 若$a,b$是一元二次方程$x^2 + x - 8 = 0$的两个实数根，则代数式$a^2 + 2a + b - ab$的值为 （ ）
A. $-1$
B. $1$
C. $15$
D. $17$

C

2. 设$x_1,x_2$为一元二次方程$\dfrac{1}{2}x^2 + 3x + 2 = 0$的两个根，则$(x_1 - x_2)^2$的值为______．

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3. 已知$α,β$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx + m = 0$的两个不等的实数根，且满足$α^2 + β^2 = 3$，则$m$的值是（ ）
A. $3$或$-1$
B. $-3$或$1$
C. $3$
D. $-1$

D

4. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (2k - 3)x + k^2 + 1 = 0 $ 有两个不等的实数根 $ x_1, x_2 $。
（1）求 $ k $ 的取值范围；
（2）若 $ x_1, x_2 $ 满足 $ |x_1| + |x_2| = 2|x_1x_2| - 3 $，求 $ k $ 的值。

解：（1）由题意，得$\Delta =[-(2k - 3)]^{2}-4(k^{2}+1)=4k^{2}-12k + 9 - 4k^{2}-4=-12k + 5＞0，$ 移项可得$-12k＞-5，$ 两边同时除以$-12，$不等号方向改变，解得$k＜\frac{5}{12}。$ （2）由题意，得$x_{1}+x_{2}=2k - 3，$$x_{1}x_{2}=k^{2}+1＞0。$ 由（1），知$k＜\frac{5}{12}，$则$x_{1}+x_{2}=2k - 3＜2\times\frac{5}{12}-3=\frac{5}{6}-3=-\frac{13}{6}＜0。$ 所以$x_{1}＜0，$$x_{2}＜0。$ 原方程可化为$-(x_{1}+x_{2})=2x_{1}x_{2}-3。$ 即$-(2k - 3)=2(k^{2}+1)-3，$ 去括号得$-2k + 3=2k^{2}+2 - 3，$ 移项得$2k^{2}+2k - 4 = 0，$两边同时除以$2$得$k^{2}+k - 2 = 0，$ 因式分解得$(k + 2)(k - 1)=0，$ 则$k + 2=0$或$k - 1=0，$ 解得$k_{1}=1$（不合题意，舍去），$k_{2}=-2。$ 所以$k$的值为$-2。$

5. (新视角·学科内综合)已知关于 $ x $ 的方程 $\frac{1}{4}x^2 - \frac{m}{2}x + m - 1 = 0$。
（1）求证：无论 $ m $ 取何值，方程总有两个实数根。
（2）若 $□ ABCD$ 的两边 $ AB $，$ AD $ 的长是已知方程的两个实数根，则当 $ m $ 为何值时，$□ ABCD$ 是菱形？求此时菱形的边长。

解：（1）因为$\Delta =(-\frac{m}{2})^{2}-4\times\frac{1}{4}\times(m - 1)=\frac{m^{2}}{4}-m + 1=(\frac{m}{2}-1)^{2}\geq0，$ 所以无论$m$取何值，方程总有两个实数根。 （2）因为$\square ABCD$是菱形，所以$AB = AD。$ 由题意，可知方程有两个相等的实数根。
所以$\Delta =(\frac{m}{2}-1)^{2}=0，$ 则$\frac{m}{2}-1 = 0，$ 移项得$\frac{m}{2}=1，$ 解得$m = 2。$ 当$m = 2$时，原方程为$\frac{1}{4}x^{2}-x + 1 = 0，$ 方程两边同时乘以$4$得$x^{2}-4x + 4 = 0，$ 因式分解得$(x - 2)^{2}=0，$ 解得$x_{1}=x_{2}=2。$ 所以此时菱形的边长为$2。$

6. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 6x + 2m - 1 = 0 $ 有两个实数根.
（1）若 $ x_1 = 1 $，求 $ x_2 $ 及 $ m $ 的值.
（2）是否存在实数 $ m $，满足 $ (x_1 - 1)(x_2 - 1) = \dfrac{6}{m - 5} $？若存在，求出实数 $ m $ 的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）由题意，得$\Delta =(-6)^{2}-4(2m - 1)\geq0，$ 即$36-8m + 4\geq0，$ $40-8m\geq0，$ 移项得$8m\leq40，$ 解得$m\leq5。$ 由韦达定理可得$x_{1}+x_{2}=6，$$x_{1}x_{2}=2m - 1。$ 因为$x_{1}=1，$所以$1 + x_{2}=6，$解得$x_{2}=5。$ 又因为$x_{2}=2m - 1，$所以$2m - 1=5，$ 移项得$2m=6，$ 解得$m = 3。$ （2）存在。
由题意，得$m\neq5。$ 因为$m\leq5，$所以$m＜5。$ 因为$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=\frac{6}{m - 5}，$ 所以$x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=\frac{6}{m - 5}，$ 即$2m - 1-6 + 1=\frac{6}{m - 5}，$ $2m - 6=\frac{6}{m - 5}，$ 两边同时乘以$m - 5$得$(2m - 6)(m - 5)=6，$ 去括号得$2m^{2}-10m-6m + 30 = 6，$ 移项得$2m^{2}-16m + 24 = 0，$ 两边同时除以$2$得$m^{2}-8m + 12 = 0，$ 因式分解得$(m - 2)(m - 6)=0，$ 则$m - 2=0$或$m - 6=0，$ 解得$m_{1}=2，$$m_{2}=6。$ 经检验，$m_{1}=2，$$m_{2}=6$为原分式方程的解。 因为$m＜5，$所以$m = 2。$