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2. 砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术,是第一批国家级非物质文化遗产.如图6是一块扇面形的砖雕作品,它的部分设计图如图7所示,其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O,且圆心角∠O=100°,若OA=120 cm,OB=60 cm,则图7中阴影部分的面积是多少(结果保留π)?
答案
$3000π$
解析
【分析】
本题阴影部分为扇环，是圆心角相同的两个扇形的面积差，解题思路如下：首先回忆扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径），阴影部分面积等于大扇形OAD的面积减去小扇形OBC的面积，代入对应数值计算即可，也可提取公因式简化运算过程。
【解析】
阴影部分的面积为大扇形$OAD$与小扇形$OBC$的面积差。
已知圆心角$∠ O=100°$，大扇形半径$OA=120\ \mathrm{cm}$，小扇形半径$OB=60\ \mathrm{cm}$，根据扇形面积公式计算：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=S_{\mathrm{扇形}OAD}-S_{\mathrm{扇形}OBC}\\&=\frac{100π×120^2}{360}-\frac{100π×60^2}{360}\\&=\frac{100π}{360}×(120^2-60^2)\\&=\frac{5π}{18}×(14400-3600)\\&=\frac{5π}{18}×10800\\&=3000π\ (\mathrm{cm^2})\end{aligned}$
【答案】
$3000π$
【知识点】
扇形面积计算；组合图形面积计算
【点评】
本题结合砖雕这一非物质文化遗产场景命题，兼具趣味性与知识性，核心考查扇环的面积计算方法，解题关键是明确阴影部分面积为两个同圆心角扇形的面积差，熟记扇形面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题阴影部分为扇环，是圆心角相同的两个扇形的面积差，解题思路如下：首先回忆扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径），阴影部分面积等于大扇形OAD的面积减去小扇形OBC的面积，代入对应数值计算即可，也可提取公因式简化运算过程。
【解析】
阴影部分的面积为大扇形$OAD$与小扇形$OBC$的面积差。
已知圆心角$∠ O=100°$，大扇形半径$OA=120\ \mathrm{cm}$，小扇形半径$OB=60\ \mathrm{cm}$，根据扇形面积公式计算：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=S_{\mathrm{扇形}OAD}-S_{\mathrm{扇形}OBC}\\&=\frac{100π×120^2}{360}-\frac{100π×60^2}{360}\\&=\frac{100π}{360}×(120^2-60^2)\\&=\frac{5π}{18}×(14400-3600)\\&=\frac{5π}{18}×10800\\&=3000π\ (\mathrm{cm^2})\end{aligned}$
【答案】
$3000π$
【知识点】
扇形面积计算；组合图形面积计算
【点评】
本题结合砖雕这一非物质文化遗产场景命题，兼具趣味性与知识性，核心考查扇环的面积计算方法，解题关键是明确阴影部分面积为两个同圆心角扇形的面积差，熟记扇形面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
3*. 如图8，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=20°$，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D点，交BC于E点，若$AC=6$，求$\overset{\frown}{DE}$的长(结果用含$π$的代数式表示)。
答案
3. $\frac{5}{3}π$
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{DE}$的长，需先明确弧长计算公式：$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$是弧所对圆心角的度数，$r$是圆的半径）。本题中已知圆的半径$r=AC=6$，因此解题核心是求出$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角$∠ DCE$的度数。首先利用直角三角形两锐角互余求出$∠ A$的度数，再结合等腰三角形性质求出$∠ ACD$的度数，最后用$∠ ACB$减去$∠ ACD$即可得到$∠ DCE$的度数，代入公式就能算出弧长。
【解析】
解：连接$CD$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=20°$，
$\therefore ∠ A=90°-∠ B=70°$。
$\because CD、CA$都是$\odot C$的半径，
$\therefore CD=CA$，即$△ ACD$是等腰三角形，
$\therefore ∠ CDA=∠ A=70°$，
$\therefore ∠ ACD=180°-∠ A-∠ CDA=180°-70°-70°=40°$。
又$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ DCE=∠ ACB-∠ ACD=90°-40°=50°$。
已知$\odot C$的半径$r=AC=6$，代入弧长公式得：
$\overset{\frown}{DE}$的长$=\frac{50× π × 6}{180}=\frac{5}{3}π$。
【答案】
$\frac{5}{3}π$
【知识点】
弧长的计算；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础计算类题型，解题的关键是通过三角形角度计算得到弧对应的圆心角度数，再代入弧长公式求解，要求学生熟练掌握三角形角度计算方法和弧长计算公式。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{DE}$的长，需先明确弧长计算公式：$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$是弧所对圆心角的度数，$r$是圆的半径）。本题中已知圆的半径$r=AC=6$，因此解题核心是求出$\overset{\frown}{DE}$所对的圆心角$∠ DCE$的度数。首先利用直角三角形两锐角互余求出$∠ A$的度数，再结合等腰三角形性质求出$∠ ACD$的度数，最后用$∠ ACB$减去$∠ ACD$即可得到$∠ DCE$的度数，代入公式就能算出弧长。
【解析】
解：连接$CD$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=20°$，
$\therefore ∠ A=90°-∠ B=70°$。
$\because CD、CA$都是$\odot C$的半径，
$\therefore CD=CA$，即$△ ACD$是等腰三角形，
$\therefore ∠ CDA=∠ A=70°$，
$\therefore ∠ ACD=180°-∠ A-∠ CDA=180°-70°-70°=40°$。
又$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ DCE=∠ ACB-∠ ACD=90°-40°=50°$。
已知$\odot C$的半径$r=AC=6$，代入弧长公式得：
$\overset{\frown}{DE}$的长$=\frac{50× π × 6}{180}=\frac{5}{3}π$。
【答案】
$\frac{5}{3}π$
【知识点】
弧长的计算；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础计算类题型，解题的关键是通过三角形角度计算得到弧对应的圆心角度数，再代入弧长公式求解，要求学生熟练掌握三角形角度计算方法和弧长计算公式。
【难度系数】
0.7
一、选择题
1. 用半径为30 cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为(
A.10 cm
B.30 cm
C.45 cm
D.300 cm
1. 用半径为30 cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为(
A
)A.10 cm
B.30 cm
C.45 cm
D.300 cm
答案
1. A
解析
【分析】
解题的核心是明确扇形围成圆锥侧面时，扇形的弧长与圆锥底面圆的周长完全相等，这是连接扇形和圆锥的关键等量关系。解题时第一步先根据已知的扇形圆心角、半径，用弧长公式计算出扇形的弧长；第二步将弧长等同于圆锥底面周长，代入圆的周长公式，就能求解出圆锥的底面半径。
【解析】
解：首先计算扇形的弧长，弧长公式为$ l = \frac{nπ R}{180} $（$ n $为圆心角度数，$ R $为扇形半径）。
将$ n=120° $、$ R=30\mathrm{cm} $代入公式，得：
$ l = \frac{120×π×30}{180} = 20π \mathrm{cm} $
设圆锥底面半径为$ r $，由于扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，结合圆的周长公式$ C=2π r $可得：
$ 2π r = 20π $
两边同时除以$ 2π $，解得$ r=10\mathrm{cm} $
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
弧长公式、圆锥侧面展开图性质、圆的周长计算
【点评】
本题是扇形与圆锥转换的基础常考题，解题关键是牢记扇形弧长等于圆锥底面周长这一核心等量关系，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题的核心是明确扇形围成圆锥侧面时，扇形的弧长与圆锥底面圆的周长完全相等，这是连接扇形和圆锥的关键等量关系。解题时第一步先根据已知的扇形圆心角、半径，用弧长公式计算出扇形的弧长；第二步将弧长等同于圆锥底面周长，代入圆的周长公式，就能求解出圆锥的底面半径。
【解析】
解：首先计算扇形的弧长，弧长公式为$ l = \frac{nπ R}{180} $（$ n $为圆心角度数，$ R $为扇形半径）。
将$ n=120° $、$ R=30\mathrm{cm} $代入公式，得：
$ l = \frac{120×π×30}{180} = 20π \mathrm{cm} $
设圆锥底面半径为$ r $，由于扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，结合圆的周长公式$ C=2π r $可得：
$ 2π r = 20π $
两边同时除以$ 2π $，解得$ r=10\mathrm{cm} $
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
弧长公式、圆锥侧面展开图性质、圆的周长计算
【点评】
本题是扇形与圆锥转换的基础常考题，解题关键是牢记扇形弧长等于圆锥底面周长这一核心等量关系，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图1,小丽要制作一个圆锥模型,要求圆锥的母线长为9 cm,底面圆的直径为10 cm,那么小丽要制作的这个圆锥模型的侧面展开扇形的圆心角是(
A.$150°$
B.$200°$
C.$180°$
D.$240°$
B
)A.$150°$
B.$200°$
C.$180°$
D.$240°$
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确圆锥侧面展开图的性质：圆锥侧面展开是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。我们可以先计算出圆锥底面圆的周长，也就是展开扇形的弧长，再代入弧长公式列方程，即可求出扇形的圆心角度数。
【解析】
首先计算圆锥底面圆的周长：
已知底面直径为10 cm，因此底面周长 $ C = π d = 10π \, \mathrm{cm} $，即圆锥侧面展开扇形的弧长 $ l = 10π \, \mathrm{cm} $。
已知圆锥母线长为9 cm，即侧面展开扇形的半径 $ R = 9 \, \mathrm{cm} $，设圆心角为 $ n° $，根据弧长公式 $ l = \frac{nπ R}{180} $，代入数据得：
$ 10π = \frac{nπ × 9}{180} $
两边同时约去$ π $，化简得：
$ 10 = \frac{9n}{180} $
解得 $ n = \frac{10 × 180}{9} = 200 $
即圆心角为$ 200° $，故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长公式计算
【点评】
本题是扇形弧长与圆锥结合的基础题型，解题核心是抓住“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一等量关系，只要理清圆锥和展开扇形各量的对应关系，代入公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确圆锥侧面展开图的性质：圆锥侧面展开是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。我们可以先计算出圆锥底面圆的周长，也就是展开扇形的弧长，再代入弧长公式列方程，即可求出扇形的圆心角度数。
【解析】
首先计算圆锥底面圆的周长：
已知底面直径为10 cm，因此底面周长 $ C = π d = 10π \, \mathrm{cm} $，即圆锥侧面展开扇形的弧长 $ l = 10π \, \mathrm{cm} $。
已知圆锥母线长为9 cm，即侧面展开扇形的半径 $ R = 9 \, \mathrm{cm} $，设圆心角为 $ n° $，根据弧长公式 $ l = \frac{nπ R}{180} $，代入数据得：
$ 10π = \frac{nπ × 9}{180} $
两边同时约去$ π $，化简得：
$ 10 = \frac{9n}{180} $
解得 $ n = \frac{10 × 180}{9} = 200 $
即圆心角为$ 200° $，故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长公式计算
【点评】
本题是扇形弧长与圆锥结合的基础题型，解题核心是抓住“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一等量关系，只要理清圆锥和展开扇形各量的对应关系，代入公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3. 将三角形绕直线$ l $旋转一周,可以得到如图所示的立体图形的是(
B
) 答案
3. B
解析
【分析】
解题时先结合“面动成体”的原理，回忆常见几何体的形成规律：直角三角形绕一条直角边旋转一周会得到圆锥。题干中的立体图形是两个底面完全重合的圆锥拼接而成，因此我们需要判断哪个三角形绕直线l旋转后能形成该组合体。思考逻辑：要得到两个同底圆锥，说明原三角形需要有2个顶点在直线l上，第三个顶点到直线l的距离就是圆锥的底面半径，旋转后l上的两个顶点分别作为两个圆锥的顶点，第三个顶点旋转形成的圆为两个圆锥的公共底面，据此逐一排查选项即可。
【解析】
我们结合旋转的性质逐一对选项判断：
1. 选项A：该等腰三角形以直线l为对称轴，绕l旋转一周后仅得到单个圆锥，不符合题干的立体图形特征，排除；
2. 选项B：该三角形的上下两个顶点都在直线l上，剩余一个顶点在直线l右侧，绕l旋转时，右侧顶点旋转形成的圆是两个圆锥的公共底面，l上的两个顶点分别为上下两个圆锥的顶点，旋转后刚好得到题干中两个同底圆锥拼接的立体图形，符合要求；
3. 选项C：该直角三角形的一条直角边在直线l上，绕l旋转一周后仅得到单个圆锥，不符合要求，排除；
4. 选项D：该三角形仅左下角顶点在直线l上，绕l旋转后无法得到两个同底圆锥的组合体，不符合要求，排除。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
面动成体；旋转的性质；圆锥的形成
【点评】
本题考查平面图形旋转得到立体图形的判断，解题的核心是熟悉常见几何体的形成过程，具备基础的空间想象能力，结合旋转的特征逐一分析选项即可解题。
【难度系数】
0.7
解题时先结合“面动成体”的原理，回忆常见几何体的形成规律：直角三角形绕一条直角边旋转一周会得到圆锥。题干中的立体图形是两个底面完全重合的圆锥拼接而成，因此我们需要判断哪个三角形绕直线l旋转后能形成该组合体。思考逻辑：要得到两个同底圆锥，说明原三角形需要有2个顶点在直线l上，第三个顶点到直线l的距离就是圆锥的底面半径，旋转后l上的两个顶点分别作为两个圆锥的顶点，第三个顶点旋转形成的圆为两个圆锥的公共底面，据此逐一排查选项即可。
【解析】
我们结合旋转的性质逐一对选项判断：
1. 选项A：该等腰三角形以直线l为对称轴，绕l旋转一周后仅得到单个圆锥，不符合题干的立体图形特征，排除；
2. 选项B：该三角形的上下两个顶点都在直线l上，剩余一个顶点在直线l右侧，绕l旋转时，右侧顶点旋转形成的圆是两个圆锥的公共底面，l上的两个顶点分别为上下两个圆锥的顶点，旋转后刚好得到题干中两个同底圆锥拼接的立体图形，符合要求；
3. 选项C：该直角三角形的一条直角边在直线l上，绕l旋转一周后仅得到单个圆锥，不符合要求，排除；
4. 选项D：该三角形仅左下角顶点在直线l上，绕l旋转后无法得到两个同底圆锥的组合体，不符合要求，排除。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
面动成体；旋转的性质；圆锥的形成
【点评】
本题考查平面图形旋转得到立体图形的判断，解题的核心是熟悉常见几何体的形成过程，具备基础的空间想象能力，结合旋转的特征逐一分析选项即可解题。
【难度系数】
0.7
