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二、填空题
1. 如图5，直线AB，BC，CD分别与$\odot O$相切于E，F，G，且$AB// CD$，若$OB=6\ \mathrm{cm}$，$OC=8\ \mathrm{cm}$，则$∠ BOC$ =
1. 如图5，直线AB，BC，CD分别与$\odot O$相切于E，F，G，且$AB// CD$，若$OB=6\ \mathrm{cm}$，$OC=8\ \mathrm{cm}$，则$∠ BOC$ =
90°
，$BE+CG$=10 cm
.答案
1. 90°,10 cm
解析
【分析】
解题时先从已知的切线条件入手，回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。①求∠BOC：先由切线长定理得到OB、OC分别平分∠ABC和∠BCD，再结合AB//CD的性质，得同旁内角∠ABC+∠BCD=180°，进而算出两个半角之和为90°，最后用三角形内角和求∠BOC。②求BE+CG：由切线长定理把BE转化为BF、CG转化为CF，可得BE+CG=BC，再在直角△BOC中用勾股定理计算BC的长度即可。
【解析】
1. 求∠BOC的度数：
∵直线AB、BC分别与$\odot O$相切于E、F，
∴OB平分∠ABC，即$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，
同理，OC平分∠BCD，即$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ BCD$，
∵$AB// CD$，
∴$∠ ABC + ∠ BCD = 180°$，
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD) = \frac{1}{2}×180° = 90°$，
在△BOC中，$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 90° = 90°$。
2. 求BE+CG的长度：
由切线长定理可得：$BE = BF$，$CG = CF$，
∴$BE + CG = BF + CF = BC$，
∵在Rt△BOC中，$OB=6\ \mathrm{cm}$，$OC=8\ \mathrm{cm}$，
∴由勾股定理得$BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{cm}$，
即$BE+CG=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$90°$，$10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
切线长定理，平行线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的切线相关的基础常考题，解题的核心是熟练运用切线长定理得到角平分线关系和等线段关系，再结合平行线性质和勾股定理计算即可，整体解题思路清晰，规律性较强。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的切线条件入手，回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。①求∠BOC：先由切线长定理得到OB、OC分别平分∠ABC和∠BCD，再结合AB//CD的性质，得同旁内角∠ABC+∠BCD=180°，进而算出两个半角之和为90°，最后用三角形内角和求∠BOC。②求BE+CG：由切线长定理把BE转化为BF、CG转化为CF，可得BE+CG=BC，再在直角△BOC中用勾股定理计算BC的长度即可。
【解析】
1. 求∠BOC的度数：
∵直线AB、BC分别与$\odot O$相切于E、F，
∴OB平分∠ABC，即$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，
同理，OC平分∠BCD，即$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ BCD$，
∵$AB// CD$，
∴$∠ ABC + ∠ BCD = 180°$，
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD) = \frac{1}{2}×180° = 90°$，
在△BOC中，$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 90° = 90°$。
2. 求BE+CG的长度：
由切线长定理可得：$BE = BF$，$CG = CF$，
∴$BE + CG = BF + CF = BC$，
∵在Rt△BOC中，$OB=6\ \mathrm{cm}$，$OC=8\ \mathrm{cm}$，
∴由勾股定理得$BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{cm}$，
即$BE+CG=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$90°$，$10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
切线长定理，平行线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的切线相关的基础常考题，解题的核心是熟练运用切线长定理得到角平分线关系和等线段关系，再结合平行线性质和勾股定理计算即可，整体解题思路清晰，规律性较强。
【难度系数】
0.8
2. 切线是直线，不能度量；切线长是
线段的长
，可以度量。答案
2. 线段的长
解析
【分析】
本题考查切线和切线长的概念辨析，解题时先回忆两个概念的定义：切线是与圆只有一个公共点的直线，直线具有无限延伸性，没有固定长度，因此不能度量；而切线长是专门定义的可度量的量，需要明确它对应的是线段的长度，据此即可得出答案。
【解析】
解：根据切线和切线长的定义可知：切线是与圆只有一个公共点的直线，直线无端点、可无限延伸，因此不能度量；切线长指的是从圆外一点引圆的切线，该点到切点之间的线段的长度，线段有确定的长度，因此可以度量。故横线处应填线段的长。
【答案】
线段的长
【知识点】
1.切线的概念 2.切线长的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分切线（直线）和切线长（线段长度）两个易混概念，掌握概念的本质差异即可快速答题。
【难度系数】
0.9
本题考查切线和切线长的概念辨析，解题时先回忆两个概念的定义：切线是与圆只有一个公共点的直线，直线具有无限延伸性，没有固定长度，因此不能度量；而切线长是专门定义的可度量的量，需要明确它对应的是线段的长度，据此即可得出答案。
【解析】
解：根据切线和切线长的定义可知：切线是与圆只有一个公共点的直线，直线无端点、可无限延伸，因此不能度量；切线长指的是从圆外一点引圆的切线，该点到切点之间的线段的长度，线段有确定的长度，因此可以度量。故横线处应填线段的长。
【答案】
线段的长
【知识点】
1.切线的概念 2.切线长的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分切线（直线）和切线长（线段长度）两个易混概念，掌握概念的本质差异即可快速答题。
【难度系数】
0.9
3.如图6,PA,PB分别切$\odot O$于点A,B,点E是$\odot O$上一点,且$∠ AEB=60°$,则$∠ P=$
60°
.答案
3. 60°
解析
【分析】
解题时首先构造辅助线连接OA、OB，第一步利用圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知的∠AEB求出对应的圆心角∠AOB的度数；第二步根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，得到∠OAP和∠OBP均为直角；最后利用四边形内角和为360°，代入已知角度即可求出∠P的度数。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵PA、PB分别切$\odot O$于点A、B
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
∵$∠ AEB$是弧AB所对的圆周角，$∠ AOB$是弧AB所对的圆心角
∴根据圆周角定理，$∠ AOB=2∠ AEB=2×60°=120°$
∵四边形OAPB的内角和为$360°$
∴$∠ P=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ AOB=360°-90°-90°-120°=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、四边形内角和
【点评】
本题是圆相关性质的基础综合题，核心是通过连接圆心和切点构造直角，结合圆周角定理建立已知角和未知角的联系，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先构造辅助线连接OA、OB，第一步利用圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知的∠AEB求出对应的圆心角∠AOB的度数；第二步根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，得到∠OAP和∠OBP均为直角；最后利用四边形内角和为360°，代入已知角度即可求出∠P的度数。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵PA、PB分别切$\odot O$于点A、B
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
∵$∠ AEB$是弧AB所对的圆周角，$∠ AOB$是弧AB所对的圆心角
∴根据圆周角定理，$∠ AOB=2∠ AEB=2×60°=120°$
∵四边形OAPB的内角和为$360°$
∴$∠ P=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ AOB=360°-90°-90°-120°=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、四边形内角和
【点评】
本题是圆相关性质的基础综合题，核心是通过连接圆心和切点构造直角，结合圆周角定理建立已知角和未知角的联系，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
4. 如图7,AB、AC、BD是$\odot O$的切线,切点分别是P、C、D. 若AB=9,AC=6,则BD的长是
图5 图6 图7
3
. 图5 图6 图7
答案
4. 3
解析
【分析】
解题需运用切线长定理，思考步骤如下：1. 先判断从点A引出的两条圆的切线AC和AP，根据切线长定理可知二者长度相等，得到AP的长度；2. 用AB的长度减去AP的长度得到PB的长度；3. 再判断从点B引出的两条圆的切线BP和BD，根据切线长定理可知二者长度相等，即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵AC、AP均为$\odot O$的切线，切点分别为C、P，
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴$AC=AP=6$。
∵$AB=9$，
∴$PB=AB-AP=9-6=3$。
又
∵BP、BD均为$\odot O$的切线，切点分别为P、D，
同理根据切线长定理可得$BD=PB=3$。
【答案】
3
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题核心是准确识别从同一圆外点引出的两条切线，对应切线长相等，掌握定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题需运用切线长定理，思考步骤如下：1. 先判断从点A引出的两条圆的切线AC和AP，根据切线长定理可知二者长度相等，得到AP的长度；2. 用AB的长度减去AP的长度得到PB的长度；3. 再判断从点B引出的两条圆的切线BP和BD，根据切线长定理可知二者长度相等，即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵AC、AP均为$\odot O$的切线，切点分别为C、P，
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴$AC=AP=6$。
∵$AB=9$，
∴$PB=AB-AP=9-6=3$。
又
∵BP、BD均为$\odot O$的切线，切点分别为P、D，
同理根据切线长定理可得$BD=PB=3$。
【答案】
3
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题核心是准确识别从同一圆外点引出的两条切线，对应切线长相等，掌握定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 如图8，PA，PB分别切$\odot O$于A，B，并与$\odot O$的另一条切线分别相交于D，C两点，已知PA=7 cm，求$△ PCD$的周长。
1. 如图8，PA，PB分别切$\odot O$于A，B，并与$\odot O$的另一条切线分别相交于D，C两点，已知PA=7 cm，求$△ PCD$的周长。
答案
1. 14 cm
解析
【分析】
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。首先我们设DC与$\odot O$的切点为E，由此可得到三组相等的切线长：$PA=PB$，$DA=DE$，$CB=CE$。接下来将$△ PCD$的周长拆分为$PD+DC+PC$，再把DC拆分为$DE+CE$，用相等的切线长代换，就能将周长转化为PA与PB的和，代入已知数值即可求出结果。
【解析】
设DC与$\odot O$相切于点E。
∵PA、PB分别切$\odot O$于A、B，DC切$\odot O$于E，
根据切线长定理可得：
$PA=PB=7\mathrm{cm}$，$DA=DE$，$CB=CE$。
∴$△ PCD$的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ PCD}&=PD + DC + PC\\&=PD + DE + CE + PC\\&=PD + DA + CB + PC\\&=(PD+DA)+(PC+CB)\\&=PA + PB\\&=7 + 7\\&=14(\mathrm{cm})\end{aligned}$
【答案】
14 cm
【知识点】
切线长定理，周长等量代换
【点评】
本题是圆的切线相关的基础计算题，核心考查切线长定理的应用，通过等量代换将未知的三角形周长转化为已知的切线长是解题的关键，熟练掌握切线长定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。首先我们设DC与$\odot O$的切点为E，由此可得到三组相等的切线长：$PA=PB$，$DA=DE$，$CB=CE$。接下来将$△ PCD$的周长拆分为$PD+DC+PC$，再把DC拆分为$DE+CE$，用相等的切线长代换，就能将周长转化为PA与PB的和，代入已知数值即可求出结果。
【解析】
设DC与$\odot O$相切于点E。
∵PA、PB分别切$\odot O$于A、B，DC切$\odot O$于E，
根据切线长定理可得：
$PA=PB=7\mathrm{cm}$，$DA=DE$，$CB=CE$。
∴$△ PCD$的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ PCD}&=PD + DC + PC\\&=PD + DE + CE + PC\\&=PD + DA + CB + PC\\&=(PD+DA)+(PC+CB)\\&=PA + PB\\&=7 + 7\\&=14(\mathrm{cm})\end{aligned}$
【答案】
14 cm
【知识点】
切线长定理，周长等量代换
【点评】
本题是圆的切线相关的基础计算题，核心考查切线长定理的应用，通过等量代换将未知的三角形周长转化为已知的切线长是解题的关键，熟练掌握切线长定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图9，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点.求证：∠ABO=$\frac{1}{2}$∠APB.
答案
2. 提示:连接OP交AB于点C.
解析
【分析】
要证明∠ABO=$\frac{1}{2}$∠APB，可先将∠APB平分，证明∠ABO与∠APB的一半相等。根据切线长定理，连接OP后OP自然平分∠APB，此时只需证明∠ABO和∠OPB相等即可。观察两个角的位置，结合切线垂直于半径、等腰三角形三线合一的性质，可发现两角均与∠PBA互余，利用同角的余角相等即可完成等量代换，进而证明结论。
【解析】
证明：连接OP交AB于点C。
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，
∴PA=PB，OP平分∠APB，OB⊥PB（切线长定理、切线的性质），
∴∠OPB=$\frac{1}{2}$∠APB，∠OBP=90°，
又
∵△PAB为等腰三角形，OP是∠APB的角平分线，
∴OP⊥AB（等腰三角形三线合一），即∠PCB=90°，
在Rt△PBC中，∠OPB + ∠PBA = 90°，
在Rt△OBP中，∠ABO + ∠PBA = ∠OBP = 90°，
∴∠ABO=∠OPB（同角的余角相等），
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠APB。
【答案】
∠ABO=$\frac{1}{2}$∠APB，证明成立。
【知识点】
切线的性质，切线长定理，余角的性质
【点评】
本题是圆的切线相关的基础证明题，核心是通过作辅助线OP，结合切线性质和等腰三角形的特征找到互余的角，利用角的等量代换完成证明，有助于巩固切线相关基础定理的应用。
【难度系数】
0.7
要证明∠ABO=$\frac{1}{2}$∠APB，可先将∠APB平分，证明∠ABO与∠APB的一半相等。根据切线长定理，连接OP后OP自然平分∠APB，此时只需证明∠ABO和∠OPB相等即可。观察两个角的位置，结合切线垂直于半径、等腰三角形三线合一的性质，可发现两角均与∠PBA互余，利用同角的余角相等即可完成等量代换，进而证明结论。
【解析】
证明：连接OP交AB于点C。
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，
∴PA=PB，OP平分∠APB，OB⊥PB（切线长定理、切线的性质），
∴∠OPB=$\frac{1}{2}$∠APB，∠OBP=90°，
又
∵△PAB为等腰三角形，OP是∠APB的角平分线，
∴OP⊥AB（等腰三角形三线合一），即∠PCB=90°，
在Rt△PBC中，∠OPB + ∠PBA = 90°，
在Rt△OBP中，∠ABO + ∠PBA = ∠OBP = 90°，
∴∠ABO=∠OPB（同角的余角相等），
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠APB。
【答案】
∠ABO=$\frac{1}{2}$∠APB，证明成立。
【知识点】
切线的性质，切线长定理，余角的性质
【点评】
本题是圆的切线相关的基础证明题，核心是通过作辅助线OP，结合切线性质和等腰三角形的特征找到互余的角，利用角的等量代换完成证明，有助于巩固切线相关基础定理的应用。
【难度系数】
0.7
