12. (2024·江西)如图,AB是半圆O的直径,D是弦AC的延长线上一点,连接BD、BC,$∠D=∠ABC=60^{\circ }$.
(1) 求证:BD是半圆O的切线;
(2) 当$BC=3$时,求$\widehat {AC}$的长.

(1) 证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵D是AC延长线上一点，∴∠BCD=180°-∠ACB=90°。
在△BCD中，∠D=60°，∠BCD=90°，∴∠CBD=180°-90°-60°=30°。
∵∠ABC=60°，∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°+30°=90°。
∵OB是半圆O的半径，∠ABD=90°，即OB⊥BD，∴BD是半圆O的切线。
(2) 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠BAC=30°。
∵∠BAC=30°，BC=3，∠BAC所对直角边为BC，∴AB=2BC=6（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半），半圆半径r=AB/2=3。
∠BOC=2∠BAC=60°（同弧所对圆心角是圆周角的2倍）。
∵∠AOB=180°，∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=180°-60°=120°。
∴弧AC的长为：$\frac{120\pi×3}{180}=2\pi$。
(1) 得证；(2) 弧AC的长为$2\pi$。

13. 如图,在$\odot O$中,如果作两条互相垂直的直径AB、CD,那么弦AC是$\odot O$的内接正方形的一边;以点A为圆心,OA为半径作弧,与$\odot O$相交于点E、F,连接AE、BE、CE、EF. 求证:弦AE、CE、EF分别是$\odot O$的内接正六边形、正十二边形、正三角形的一边.

证明：设⊙O的半径为$ r $。
1. AE是内接正六边形的一边：
以A为圆心，OA为半径作弧交⊙O于E，∴$ AE = OA = r $。
∵E在⊙O上，∴$ OE = r $，∴$ AO = OE = AE = r $，即△AOE为等边三角形。
∴$ \angle AOE = 60° $。
∵正六边形的中心角为$ \frac{360°}{6} = 60° $，∴AE是⊙O内接正六边形的一边。
2. CE是内接正十二边形的一边：
∵AB⊥CD，∴$ \angle AOC = 90° $。
由1知$ \angle AOE = 60° $，∴$ \angle COE = \angle AOC - \angle AOE = 90° - 60° = 30° $。
∵正十二边形的中心角为$ \frac{360°}{12} = 30° $，∴CE是⊙O内接正十二边形的一边。
3. EF是内接正三角形的一边：
同理，以A为圆心，OA为半径作弧交⊙O于F，可得△AOF为等边三角形，$ \angle AOF = 60° $。
∴$ \angle EOF = \angle AOE + \angle AOF = 60° + 60° = 120° $。
∵正三角形的中心角为$ \frac{360°}{3} = 120° $，∴EF是⊙O内接正三角形的一边。
综上，弦AE、CE、EF分别是⊙O的内接正六边形、正十二边形、正三角形的一边。

证明：设$\odot O$的半径为$r$，连接$OE$、$OF$、$OC$。
∵$AB$、$CD$是$\odot O$的直径且互相垂直，
∴$OA=OE=OC=OB=r$，$\angle AOC=90°$。
∵以$A$为圆心，$OA$为半径作弧交$\odot O$于$E$、$F$，
∴$AE=AF=OA=r$，
∴$\triangle AOE$中，$OA=OE=AE=r$，
∴$\triangle AOE$是等边三角形，$\angle AOE=60°$，
∴弦$AE$所对的圆心角为$60°$，
∵正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，
∴弦$AE$是$\odot O$内接正六边形的一边。
∵$\angle AOC=90°$，$\angle AOE=60°$，
∴$\angle COE=\angle AOC - \angle AOE=90° - 60°=30°$，
∴弦$CE$所对的圆心角为$30°$，
∵正十二边形的中心角为$\frac{360°}{12}=30°$，
∴弦$CE$是$\odot O$内接正十二边形的一边。
∵$AB$是直径，$AE=AF=r$，$OA=OE=OF=r$，
∴$\triangle AOE$、$\triangle AOF$都是等边三角形，
∴$\angle AOE=\angle AOF=60°$，
∴$\angle EOF=\angle AOE + \angle AOF=60° + 60°=120°$，
∴弦$EF$所对的圆心角为$120°$，
∵正三角形的中心角为$\frac{360°}{3}=120°$，
∴弦$EF$是$\odot O$内接正三角形的一边。
综上，弦$AE$、$CE$、$EF$分别是$\odot O$的内接正六边形、正十二边形、正三角形的一边。

14. (2024·菏泽)如图,在四边形ABCD中,$AD// BC,∠DAB=60^{\circ },AB=BC=2AD=2$.以点A为圆心,AD为半径作$\widehat {DE}$交AB于点E,以点B为圆心,BE为半径作$\widehat {EF}$交BC于点F,连接FD交$\widehat {EF}$于另一点G,连接CG.
(1) 求证:CG为$\widehat {EF}$所在圆的切线;
(2) 求图中涂色部分的面积.

(1) 见证明；(2) 3√3/4 - π/3。

(1) 证明：连接BG。
∵弧EF所在圆的圆心为B，半径BE=AB-AE=2-1=1，
∴BG=BE=1。
由已知得BC=2，点C(3,√3)，G(3/2,√3/2)，
∴CG=√[(3-3/2)²+(√3-√3/2)²]=√3，
BG=1，BC=2。
∵BG²+CG²=1²+(√3)²=4=BC²，
∴∠BGC=90°，即CG⊥BG。
∵G在圆B上，∴CG为圆B的切线，即CG为弧EF所在圆的切线。
(2) 涂色部分面积=四边形ADGB面积-扇形ADE面积-扇形BEG面积。
四边形ADGB面积=S△ADG+S△ABG= (1×√3/2)/2 + (2×√3/2)/2=√3/4 + √3/2=3√3/4。
扇形ADE面积=60°/360°×π×1²=π/6，
扇形BEG面积=60°/360°×π×1²=π/6。
∴涂色部分面积=3√3/4 - π/6 - π/6=3√3/4 - π/3。