1.如图,正方形ABCD的边长为4,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH,若BE:EC= 3:1,则线段CH的长是 ()

A.3
B.$\frac{15}{8}$
C.1
D.2

B

2.如图,在矩形ABCD中,AB= 3,BC= 3$\sqrt{3}$,P是BC边上的动点,现将△PCD沿直线PD折叠,使点C落在点$C_{1}$处,则点B到点$C_{1}$的最短距离为 ()

A.5
B.4
C.3
D.2

C

3.如图,在菱形ABCD中,$\angle ABC= 120^{\circ}$,将菱形折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点G(不与B,D重合),折痕为EF,若DG= 2,BG= 6,求BE的长.

作 $ EH \perp BD $ 于点 $ H $，由折叠的性质可知，$ EG = EA $，由题意，得 $ BD = DG + BG = 8 $。∵ 四边形 $ ABCD $ 是菱形，∴ $ AD = AB $，$ \angle ABD = \angle CBD = \frac{1}{2} \angle ABC = 60^{\circ} $，∴ $ \triangle ABD $ 为等边三角形，∴ $ AB = BD = 8 $，设 $ BE = x $，则 $ EG = AE = 8 - x $，在 $ Rt \triangle EHB $ 中，∵ $ \angle ABD = 60^{\circ} $，$ \angle BHE = 90^{\circ} $，∴ $ BH = \frac{1}{2}x $，$ EH = \sqrt{BE^{2} - BH^{2}} = \sqrt{x^{2} - (\frac{1}{2}x)^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}x $，在 $ Rt \triangle EHG $ 中，$ EG^{2} = EH^{2} + GH^{2} $，即 $ (8 - x)^{2} = (\frac{\sqrt{3}}{2}x)^{2} + (6 - \frac{1}{2}x)^{2} $，解得 $ x = 2.8 $，即 $ BE = 2.8 $

4.如图,将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠,使点C与点A重合,点D与点G重合,连接CF.
(1)判断四边形AECF的形状,并说明理由;
(2)若AB= 4,AD= 8,求折痕EF的长.

(1) 四边形 $ AECF $ 为菱形，理由如下：由折叠的性质可知 $ EA = EC $，$ FA = FC $，$ \angle CEF = \angle AEF $，又 ∵ 四边形 $ ABCD $ 是矩形，∴ $ AD // BC $，∴ $ \angle AFE = \angle CEF = \angle AEF $，∴ $ AE = AF $，∴ $ AF \underline{\underline{//}} EC $，∴ 四边形 $ AECF $ 为平行四边形，又 $ AE = EC = FC = AF $，∴ 平行四边形 $ AECF $ 为菱形
(2) 设 $ FG = DF = x $，则 $ CE = AF = 8 - x $。在 $ Rt \triangle AFG $
中，∵ $ AG^{2} + FG^{2} = AF^{2} $，∴ $ 4^{2} + x^{2} = (8 - x)^{2} $，∴ $ x = 3 $，∴ $ DF = 3 $，$ CE = 5 $。过点 $ F $ 作 $ FH \perp CE $ 于点 $ H $，则易得四边形 $ CDFH $ 为矩形，∴ $ CH = DF = 3 $，$ FH = CD = 4 $，∴ $ EH = EC - CH = 5 - 3 = 2 $，∴ $ EF = \sqrt{EH^{2} + FH^{2}} = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5} $