1. 新趋势 推导探究 下面多边形的面积各是多少平方厘米？每个多边形边上的钉子各有多少枚？
|图形编号|多边形的面积/平方厘米|多边形边上的钉子数/枚|
当多边形内只有1枚钉子时,用n表示多边形边上的钉子数,用S表示多边形的面积,$S= $( )。
|图形编号|多边形的面积/平方厘米|多边形边上的钉子数/枚|
当多边形内只有1枚钉子时,用n表示多边形边上的钉子数,用S表示多边形的面积,$S= $( )。
答案
(从左往右，从上往下)3 6 2.5 5 4 8 3 6 $n÷2$
解析
图形①：
多边形的面积：$3×1=3$（平方厘米）
多边形边上的钉子数：6枚
图形②：
多边形的面积：$2 + 2×\frac{1}{2}+1= 2 + 1+1=2.5×2÷2= 2.5$（平方厘米）
多边形边上的钉子数：5枚
图形③：
多边形的面积：$3×1 + 1= 4 - 1 + 1= 4$（平方厘米）
多边形边上的钉子数：8枚
图形④：
多边形的面积：$3×1÷2+1×2÷2 = 2.5$（平方厘米）（以三角形和梯形组合算）或者$(1 + 3)×2÷2= 4$（平方厘米）（整体梯形算）
多边形边上的钉子数：6枚
当多边形内只有1枚钉子时，$S = n÷2$
多边形的面积：$3×1=3$（平方厘米）
多边形边上的钉子数：6枚
图形②：
多边形的面积：$2 + 2×\frac{1}{2}+1= 2 + 1+1=2.5×2÷2= 2.5$（平方厘米）
多边形边上的钉子数：5枚
图形③：
多边形的面积：$3×1 + 1= 4 - 1 + 1= 4$（平方厘米）
多边形边上的钉子数：8枚
图形④：
多边形的面积：$3×1÷2+1×2÷2 = 2.5$（平方厘米）（以三角形和梯形组合算）或者$(1 + 3)×2÷2= 4$（平方厘米）（整体梯形算）
多边形边上的钉子数：6枚
当多边形内只有1枚钉子时，$S = n÷2$
2. 计算下面各图形的面积。(横、竖每相邻两点之间的距离都表示1厘米)
(3)
(3)
答案
(1)$8÷2+3-1=6$(平方厘米) (2)$3÷2+5-1=5.5$(平方厘米) (3)$6÷2+2-1=4$(平方厘米) (4)$20÷2+9-1=18$(平方厘米)
解析
解：6÷2+2-1=4(平方厘米)
3. 如图,每个小方格的面积表示1平方厘米,则图中涂色部分的面积是( )平方厘米。
答案
21
解析
解：使用数方格法，完整方格有15个，不完整方格有12个（每2个不完整方格按1个完整方格计算）。
15 + 12÷2 = 15 + 6 = 21
答：图中涂色部分的面积是21平方厘米。
15 + 12÷2 = 15 + 6 = 21
答：图中涂色部分的面积是21平方厘米。
4. 在格点图上画两个面积都是7平方厘米的多边形,要求每个图形的形状都不相同。
答案
答案不唯一,如:
5. (2025·南京江宁区期末改编)一个钉子板横、竖每相邻两枚钉子之间的距离都是1厘米。在这个钉子板上围了一个多边形,内部有4枚钉子,且面积是8.5平方厘米,则该多边形的边上有( )枚钉子。
答案
11
解析
解：设该多边形边上有$n$枚钉子。
根据毕克定理：$S = a + \frac{b}{2} - 1$（其中$S$表示面积，$a$表示内部钉子数，$b$表示边上钉子数）。
已知$S = 8.5$，$a = 4$，代入得：
$8.5 = 4 + \frac{n}{2} - 1$
$8.5 = 3 + \frac{n}{2}$
$\frac{n}{2} = 5.5$
$n = 11$
答：该多边形的边上有11枚钉子。
根据毕克定理：$S = a + \frac{b}{2} - 1$（其中$S$表示面积，$a$表示内部钉子数，$b$表示边上钉子数）。
已知$S = 8.5$，$a = 4$，代入得：
$8.5 = 4 + \frac{n}{2} - 1$
$8.5 = 3 + \frac{n}{2}$
$\frac{n}{2} = 5.5$
$n = 11$
答：该多边形的边上有11枚钉子。
6. 亮点原创 下面是一个等腰直角三角形点子图,共有21个点,其中每个小直角三角形的面积均为1平方厘米。请你计算图中三角形的面积。
答案
$(4÷2+4-1)×2=10$(平方厘米)
解析
解：$(4÷2+4-1)×2=10$（平方厘米）
答：图中三角形的面积是10平方厘米。
答：图中三角形的面积是10平方厘米。
