21. (8分)根据图形，回答下列问题：
(1)图1是一个长为$2m$、宽为$2n$的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图2所示的正方形。用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系：。
(2)利用(1)中的关系解决下面的问题：
①已知$a - b = 5$，$ab = - 6$，求$(a + b)^{2}$和$a^{2} + b^{2}$的值；
②已知$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 11$，求$x - \frac{1}{x}$的值。

(1)
方法一：大正方形面积减去四个小长方形面积，大正方形边长为$m + n$，面积为$(m + n)^{2}$，四个小长方形面积和为$4mn$，所以阴影部分面积为$(m + n)^{2}-4mn$。
方法二：阴影部分是小正方形，边长为$m - n$，面积为$(m - n)^{2}$。
等量关系：$(m + n)^{2}-4mn=(m - n)^{2}$。
(2)
①
由(1)得$(a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab$，把$a - b = 5$，$ab = - 6$代入可得：
$(a + b)^{2}=5^{2}+4×(-6)=25 - 24 = 1$。
$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab=1-2×(-6)=1 + 12 = 13$。
②
因为$(x-\frac{1}{x})^{2}=x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}}$，已知$x^{2}+\frac{1}{x^{2}} = 11$，所以$(x-\frac{1}{x})^{2}=11 - 2 = 9$，则$x-\frac{1}{x}=\pm3$。
综上，答案依次为：(1)$(m + n)^{2}-4mn=(m - n)^{2}$；(2)①$(a + b)^{2}=1$，$a^{2}+b^{2}=13$；②$\pm3$。

22. (10分)某商店用20000元购进A，B两种品牌的茶叶共150千克，已知购买A种品牌茶叶与购买B种品牌茶叶的费用相同，且A种品牌茶叶的单价是B种品牌茶叶单价的2倍。
(1)求A，B两种品牌茶叶的单价；
(2)若计划用35000元的资金再次购进A，B两种品牌的茶叶共200千克，且A，B两种品牌茶叶的单价不变，求A，B两种品牌的茶叶各购进多少千克。

(1)
设$B$种品牌茶叶的单价为$x$元/千克，则$A$种品牌茶叶的单价为$2x$元/千克。
因为购买$A$种品牌茶叶与购买$B$种品牌茶叶的费用相同，且总费用为$20000$元，所以购买$A$、$B$两种品牌茶叶的费用各为$10000$元。
根据公式$数量 = 总价÷单价$，购买$A$品牌茶叶的质量为$\frac{10000}{2x}$千克，购买$B$品牌茶叶的质量为$\frac{10000}{x}$千克。
已知$A$、$B$两种品牌的茶叶共$150$千克，则可列出方程：
$\frac{10000}{2x}+\frac{10000}{x}=150$
$\frac{5000 + 10000}{x}=150$
$\frac{15000}{x}=150$
$x = 100$
经检验，$x = 100$是原方程的解且符合题意。
$2x=2×100 = 200$（元/千克）
答：$A$种品牌茶叶的单价为$200$元/千克，$B$种品牌茶叶的单价为$100$元/千克。
(2)
设购进$A$种品牌的茶叶$m$千克，则购进$B$种品牌的茶叶$(200 - m)$千克。
已知$A$种品牌茶叶单价为$200$元/千克，$B$种品牌茶叶单价为$100$元/千克，总资金为$35000$元，则可列出方程：
$200m + 100(200 - m)=35000$
$200m+20000 - 100m=35000$
$100m=35000 - 20000$
$100m=15000$
$m = 150$
$200 - m=200 - 150 = 50$（千克）
答：购进$A$种品牌的茶叶$150$千克，购进$B$种品牌的茶叶$50$千克。