1. 如图，已知$∠ ADE=∠ AFB$，$BD = 6$，$CF = 4$，$DE = 3$，求$EF$的长。

1. 2

证明：
∵∠ADE=∠AFB，∠A=∠A，
∴△ADE∽△AFB，
∴$\frac{AD}{AF}=\frac{DE}{FB}$。
∵∠AED=∠FEB，∠ADE=∠AFB=∠EFB，
∴△ADE∽△BFE，
∴$\frac{AD}{BF}=\frac{DE}{EF}$。
设EF=x，则FB=FC+EF=4+x。
由△ADE∽△AFB得$\frac{AD}{AF}=\frac{3}{4+x}$，
由△ADE∽△BFE得$\frac{AD}{4+x}=\frac{3}{x}$，
∴$\frac{3}{4+x}=\frac{3}{x}$，解得x=2。
即EF=2。
2

2. 如图，在平行四边形$ABCD$中，$E$是$AB$延长线上的一点，$DE$交$BC$于点$F$。
(1)求证：$△ DFC∽△ EFB$；
(2)若$DC = 6$，$BE = 4$，$DE = 10$，求$DF$的长度。

2. (1)略 (2)6

(1)证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$DC// AB$，所以$∠ CDF = ∠ BEF$，$∠ DCF = ∠ EBF$，因此$△ DFC∽△ EFB$。
(2)解：因为$△ DFC∽△ EFB$，所以$\frac{DC}{EB}=\frac{DF}{EF}$。设$DF = x$，则$EF=DE - DF=10 - x$。已知$DC = 6$，$BE = 4$，所以$\frac{6}{4}=\frac{x}{10 - x}$，解得$x = 6$，即$DF = 6$。

3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，$D$为$BC$的中点，$CE⊥ AD$于点$E$，$P$为$AB$的中点，延长$PE$交$BC$于点$F$。
(1)求$\dfrac{AE}{EC}$的值；
(2)求$\dfrac{PE}{EF}$的值。

3 (1)$\dfrac{AE}{EC}=2$ (2)$\dfrac{PE}{EF}=\dfrac{3}{2}$

(1)设$AC = BC = 2a$，则$CD = a$。
在$Rt△ACD$中，$AD=\sqrt{AC^2 + CD^2}=\sqrt{(2a)^2 + a^2}=\sqrt{5}a$。
由面积法：$\frac{1}{2}AC· CD=\frac{1}{2}AD· CE$，得$CE=\frac{AC· CD}{AD}=\frac{2a· a}{\sqrt{5}a}=\frac{2\sqrt{5}a}{5}$。
$AE=\sqrt{AC^2 - CE^2}=\sqrt{(2a)^2 - (\frac{2\sqrt{5}a}{5})^2}=\frac{4\sqrt{5}a}{5}$。
$\frac{AE}{EC}=\frac{\frac{4\sqrt{5}a}{5}}{\frac{2\sqrt{5}a}{5}}=2$。
(2)以$C$为原点，$CB$、$CA$为$x$、$y$轴建系，设$AC = BC = 2$，则$A(0,2)$，$B(2,0)$，$D(1,0)$，$P(1,1)$。
直线$AD$：$y=-2x + 2$，$CE⊥AD$，则$CE$：$y=\frac{1}{2}x$。
联立$\begin{cases}y=-2x + 2\\y=\frac{1}{2}x\end{cases}$，得$E(\frac{4}{5},\frac{2}{5})$。
直线$PE$：过$P(1,1)$、$E(\frac{4}{5},\frac{2}{5})$，斜率$k=\frac{1 - \frac{2}{5}}{1 - \frac{4}{5}}=3$，方程$y - 1 = 3(x - 1)$，即$y = 3x - 2$。
令$y = 0$，得$F(\frac{2}{3},0)$。
$PE=\sqrt{(1 - \frac{4}{5})^2 + (1 - \frac{2}{5})^2}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，$EF=\sqrt{(\frac{4}{5} - \frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{5} - 0)^2}=\frac{2\sqrt{10}}{15}$。
$\frac{PE}{EF}=\frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{\frac{2\sqrt{10}}{15}}=\frac{3}{2}$。
(1)$2$；(2)$\frac{3}{2}$