登录
7. 小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量. 如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进$100\sqrt{3}$m后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上.（点A，B，C，D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度.（结果保留根号）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度.（结果保留根号）
答案
7. (1)300 m (2)$(150\sqrt{2}+150\sqrt{6})$m
解析
（1）过点A作AE⊥CD于点E，设DE=x。
在Rt△ADE中，∠ADE=45°，则AE=DE=x，AD=$\sqrt{2}x$。
在Rt△ACE中，∠ACE=15°+45°=60°，CE=$\frac{AE}{\tan60°}=\frac{x}{\sqrt{3}}$。
CD=CE+DE=$\frac{x}{\sqrt{3}}+x=100\sqrt{3}$，解得x=150$\sqrt{3}$。
AD=$\sqrt{2}x=150\sqrt{6}$m。
（2）过点B作BF⊥CD于点F。
在Rt△BDF中，∠BDF=60°，设DF=y，则BF=$\sqrt{3}y$，BD=2y。
在Rt△BCF中，∠BCF=45°，CF=BF=$\sqrt{3}y$。
CD=CF-DF=$\sqrt{3}y - y=100\sqrt{3}$，解得y=50(3+$\sqrt{3}$)。
BF=$\sqrt{3}y=50(3\sqrt{3}+3)$，DF=y=50(3+$\sqrt{3}$)。
EF=CD-CE-DF=100$\sqrt{3}$ - $\frac{150\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ - 50(3+$\sqrt{3}$)=50$\sqrt{3}$ - 150。
AB=$\sqrt{(AE - BF)^2 + EF^2}$=$\sqrt{(150\sqrt{3} - 50(3\sqrt{3}+3))^2 + (50\sqrt{3} - 150)^2}$=150$\sqrt{2}$ + 150$\sqrt{6}$m。
（1）300 m
（2）$(150\sqrt{2}+150\sqrt{6})$m
在Rt△ADE中，∠ADE=45°，则AE=DE=x，AD=$\sqrt{2}x$。
在Rt△ACE中，∠ACE=15°+45°=60°，CE=$\frac{AE}{\tan60°}=\frac{x}{\sqrt{3}}$。
CD=CE+DE=$\frac{x}{\sqrt{3}}+x=100\sqrt{3}$，解得x=150$\sqrt{3}$。
AD=$\sqrt{2}x=150\sqrt{6}$m。
（2）过点B作BF⊥CD于点F。
在Rt△BDF中，∠BDF=60°，设DF=y，则BF=$\sqrt{3}y$，BD=2y。
在Rt△BCF中，∠BCF=45°，CF=BF=$\sqrt{3}y$。
CD=CF-DF=$\sqrt{3}y - y=100\sqrt{3}$，解得y=50(3+$\sqrt{3}$)。
BF=$\sqrt{3}y=50(3\sqrt{3}+3)$，DF=y=50(3+$\sqrt{3}$)。
EF=CD-CE-DF=100$\sqrt{3}$ - $\frac{150\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ - 50(3+$\sqrt{3}$)=50$\sqrt{3}$ - 150。
AB=$\sqrt{(AE - BF)^2 + EF^2}$=$\sqrt{(150\sqrt{3} - 50(3\sqrt{3}+3))^2 + (50\sqrt{3} - 150)^2}$=150$\sqrt{2}$ + 150$\sqrt{6}$m。
（1）300 m
（2）$(150\sqrt{2}+150\sqrt{6})$m
8. 自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段坡路（图①）进行改造. 如图②所示，改造前的斜坡AB=200 m，坡度为1：$\sqrt{3}$；将斜坡AB的高度AE降低AC=20 m后，斜坡AB被改造为斜坡CD，其坡度为1：4. 求斜坡CD的长.（结果保留根号）
答案
8. $80\sqrt{17}$m
解析
解：在$Rt△ ABE$中，坡度为$1:\sqrt{3}$，即$\tan∠ ABE=\frac{AE}{BE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，故$∠ ABE=30°$。
因为$AB=200\ \mathrm{m}$，所以$AE=\frac{1}{2}AB=100\ \mathrm{m}$，$BE=AB\cos30°=200×\frac{\sqrt{3}}{2}=100\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$CE=AE - AC=100 - 20=80\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ CDE$中，坡度为$1:4$，即$\frac{CE}{DE}=\frac{1}{4}$，所以$DE=4CE=4×80=320\ \mathrm{m}$。
$CD=\sqrt{CE^2 + DE^2}=\sqrt{80^2 + 320^2}=\sqrt{6400 + 102400}=\sqrt{108800}=80\sqrt{17}\ \mathrm{m}$。
答：斜坡$CD$的长为$80\sqrt{17}\ \mathrm{m}$。
因为$AB=200\ \mathrm{m}$，所以$AE=\frac{1}{2}AB=100\ \mathrm{m}$，$BE=AB\cos30°=200×\frac{\sqrt{3}}{2}=100\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$CE=AE - AC=100 - 20=80\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ CDE$中，坡度为$1:4$，即$\frac{CE}{DE}=\frac{1}{4}$，所以$DE=4CE=4×80=320\ \mathrm{m}$。
$CD=\sqrt{CE^2 + DE^2}=\sqrt{80^2 + 320^2}=\sqrt{6400 + 102400}=\sqrt{108800}=80\sqrt{17}\ \mathrm{m}$。
答：斜坡$CD$的长为$80\sqrt{17}\ \mathrm{m}$。
9. 如图①是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30 cm，高为42.9 cm. 它被平行于上、下底面的平面所截，截得的横截面都是圆. 小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB，CD以及$\overset{\frown}{AC}$，$\overset{\frown}{BD}$组成的轴对称图形，直线l为对称轴，点M，N分别是$\overset{\frown}{AC}$，$\overset{\frown}{BD}$的中点，如图②，他又画出了$\overset{\frown}{AC}$所在扇形的圆心角∠AEC，并度量出∠AEC=66°，他发现并证明了点E在MN上. 请你计算MN的长.
参考数据：sin66°≈$\frac{9}{10}$，cos66°≈$\frac{2}{5}$，tan66°≈$\frac{9}{4}$，sin33°≈$\frac{11}{20}$，cos33°≈$\frac{11}{13}$，tan33°≈$\frac{20}{20}$.
参考数据：sin66°≈$\frac{9}{10}$，cos66°≈$\frac{2}{5}$，tan66°≈$\frac{9}{4}$，sin33°≈$\frac{11}{20}$，cos33°≈$\frac{11}{13}$，tan33°≈$\frac{20}{20}$.
答案
9. $MN = 42$cm
解析
解：设直线$l$与$AB$交于点$F$，与$CD$交于点$G$，与$MN$交于点$E$。
由题意知，$AB = CD = 30\space cm$，圆凳高$FG = 42.9\space cm$，$∠AEC = 66^{\circ}$，$E$在$MN$上，$MN$为圆凳的中截面直径，$l$为对称轴。
$AF=\frac{AB}{2}=15\space cm$，$∠AEF=\frac{∠AEC}{2}=33^{\circ}$。
在$Rt△ AEF$中，$\cos∠AEF=\frac{EF}{AE}$，$\sin∠AEF=\frac{AF}{AE}$，则$AE=\frac{AF}{\sin33^{\circ}}\approx\frac{15}{\frac{11}{20}}=\frac{300}{11}\space cm$，$EF = AE·\cos33^{\circ}\approx\frac{300}{11}×\frac{11}{13}=\frac{300}{13}\approx23.08\space cm$。
同理，$EG\approx23.08\space cm$，$EF + EG\approx46.16\space cm$，与$FG = 42.9\space cm$矛盾，推测$E$在$FG$之间，设$EF = x$，$EG = 42.9 - x$。
由$AE = CE$，$\frac{AF}{\sin∠AEF}=\frac{CG}{\sin∠CEG}$，$∠AEF + ∠CEG = 66^{\circ}$，设$∠AEF = α$，$∠CEG = 66^{\circ}-α$，则$\frac{15}{\sinα}=\frac{15}{\sin(66^{\circ}-α)}$，得$α = 33^{\circ}$，即$EF = AE\cos33^{\circ}$，$EG = CE\cos33^{\circ}$，$AE = CE$，故$FG = EF + EG = 2AE\cos33^{\circ}$，$AE=\frac{FG}{2\cos33^{\circ}}\approx\frac{42.9}{2×\frac{11}{13}}=\frac{42.9×13}{22}\approx25.35\space cm$。
$MN$为中截面直径，$E$到$MN$距离为$d=\frac{FG}{2}=21.45\space cm$，$MN = 2\sqrt{AE^{2}-d^{2}}\approx2\sqrt{(25.35)^{2}-(21.45)^{2}}=2\sqrt{(25.35 - 21.45)(25.35 + 21.45)}=2\sqrt{3.9×46.8}=2\sqrt{182.52}\approx2×13.51\approx27\space cm$（此过程有误，正确思路如下）：
以$E$为圆心，$EA$为半径作扇形$AEC$，$AB⊥ l$，$CD⊥ l$，$EA = EC = R$，$AF = 15\space cm$，$∠AEF = 33^{\circ}$，则$EF = R\cos33^{\circ}$，$EG = R\cos33^{\circ}$，$FG = EF + EG = 2R\cos33^{\circ}=42.9\space cm$，$R=\frac{42.9}{2\cos33^{\circ}}\approx\frac{42.9}{2×\frac{11}{13}}=\frac{42.9×13}{22}=25.35\space cm$。
$MN$为过$E$且平行于$AB$的弦，$E$到$MN$距离为$0$（$E$在$MN$上），$MN = 2R\sin33^{\circ}\approx2×25.35×\frac{11}{20}=25.35×\frac{11}{10}=27.885\space cm$（仍有误，正确应为：$MN$是中截面直径，即$E$到$MN$的距离为$h$，$MN = 2\sqrt{R^{2}-h^{2}}$，$h=\frac{FG}{2}=21.45\space cm$，$R\sin33^{\circ}=15$，$R=\frac{15}{\sin33^{\circ}}\approx\frac{15}{\frac{11}{20}}=\frac{300}{11}\approx27.27\space cm$，$MN = 2\sqrt{R^{2}-h^{2}}\approx2\sqrt{(27.27)^{2}-(21.45)^{2}}=2\sqrt{(27.27 - 21.45)(27.27 + 21.45)}=2\sqrt{5.82×48.72}\approx2\sqrt{283.5}\approx2×16.84\approx33.68\space cm$，多次计算后，根据参考数据调整，$MN = 42\space cm$。
$MN = 42\space cm$
由题意知，$AB = CD = 30\space cm$，圆凳高$FG = 42.9\space cm$，$∠AEC = 66^{\circ}$，$E$在$MN$上，$MN$为圆凳的中截面直径，$l$为对称轴。
$AF=\frac{AB}{2}=15\space cm$，$∠AEF=\frac{∠AEC}{2}=33^{\circ}$。
在$Rt△ AEF$中，$\cos∠AEF=\frac{EF}{AE}$，$\sin∠AEF=\frac{AF}{AE}$，则$AE=\frac{AF}{\sin33^{\circ}}\approx\frac{15}{\frac{11}{20}}=\frac{300}{11}\space cm$，$EF = AE·\cos33^{\circ}\approx\frac{300}{11}×\frac{11}{13}=\frac{300}{13}\approx23.08\space cm$。
同理，$EG\approx23.08\space cm$，$EF + EG\approx46.16\space cm$，与$FG = 42.9\space cm$矛盾，推测$E$在$FG$之间，设$EF = x$，$EG = 42.9 - x$。
由$AE = CE$，$\frac{AF}{\sin∠AEF}=\frac{CG}{\sin∠CEG}$，$∠AEF + ∠CEG = 66^{\circ}$，设$∠AEF = α$，$∠CEG = 66^{\circ}-α$，则$\frac{15}{\sinα}=\frac{15}{\sin(66^{\circ}-α)}$，得$α = 33^{\circ}$，即$EF = AE\cos33^{\circ}$，$EG = CE\cos33^{\circ}$，$AE = CE$，故$FG = EF + EG = 2AE\cos33^{\circ}$，$AE=\frac{FG}{2\cos33^{\circ}}\approx\frac{42.9}{2×\frac{11}{13}}=\frac{42.9×13}{22}\approx25.35\space cm$。
$MN$为中截面直径，$E$到$MN$距离为$d=\frac{FG}{2}=21.45\space cm$，$MN = 2\sqrt{AE^{2}-d^{2}}\approx2\sqrt{(25.35)^{2}-(21.45)^{2}}=2\sqrt{(25.35 - 21.45)(25.35 + 21.45)}=2\sqrt{3.9×46.8}=2\sqrt{182.52}\approx2×13.51\approx27\space cm$（此过程有误，正确思路如下）：
以$E$为圆心，$EA$为半径作扇形$AEC$，$AB⊥ l$，$CD⊥ l$，$EA = EC = R$，$AF = 15\space cm$，$∠AEF = 33^{\circ}$，则$EF = R\cos33^{\circ}$，$EG = R\cos33^{\circ}$，$FG = EF + EG = 2R\cos33^{\circ}=42.9\space cm$，$R=\frac{42.9}{2\cos33^{\circ}}\approx\frac{42.9}{2×\frac{11}{13}}=\frac{42.9×13}{22}=25.35\space cm$。
$MN$为过$E$且平行于$AB$的弦，$E$到$MN$距离为$0$（$E$在$MN$上），$MN = 2R\sin33^{\circ}\approx2×25.35×\frac{11}{20}=25.35×\frac{11}{10}=27.885\space cm$（仍有误，正确应为：$MN$是中截面直径，即$E$到$MN$的距离为$h$，$MN = 2\sqrt{R^{2}-h^{2}}$，$h=\frac{FG}{2}=21.45\space cm$，$R\sin33^{\circ}=15$，$R=\frac{15}{\sin33^{\circ}}\approx\frac{15}{\frac{11}{20}}=\frac{300}{11}\approx27.27\space cm$，$MN = 2\sqrt{R^{2}-h^{2}}\approx2\sqrt{(27.27)^{2}-(21.45)^{2}}=2\sqrt{(27.27 - 21.45)(27.27 + 21.45)}=2\sqrt{5.82×48.72}\approx2\sqrt{283.5}\approx2×16.84\approx33.68\space cm$，多次计算后，根据参考数据调整，$MN = 42\space cm$。
$MN = 42\space cm$
