11.(7 分)如图,在⊙O 中,M,N 分别是半径 OA,OB 的中点,且 CM⊥OA,交⊙O 于点 C,DN⊥OB,交⊙O 于点 D.
求证:$\stackrel\frown{AC}$=$\stackrel\frown{BD}$.

证明：连接OC，OD。
∵M，N分别是半径OA，OB的中点，
∴OM=1/2OA，ON=1/2OB。
∵OA=OB，
∴OM=ON。
∵CM⊥OA，DN⊥OB，
∴∠OMC=∠OND=90°。
在Rt△OMC和Rt△OND中，
OC=OD，OM=ON，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL）。
∴∠COM=∠DON。
∴$\stackrel\frown{AC}$=$\stackrel\frown{BD}$。

12.(7 分)如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上.
(1)尺规作图:作∠BAC 的平分线,与⊙O 交于点 D,连接 OD,交 BC 于点 E(不写作法,只保留作图痕迹).
(2)探究 OE 与 AC 的位置及数量关系,并证明你的结论.

(1) 
(2) 证明：
因为$AD$平分$\angle BAC$，
所以$\angle BAD = \angle CAD$。
因为$\angle BAD$和$\angle BCD$所对的是同一段弧$\overset{\frown}{BD}$，
所以$\angle BAD=\angle BCD$，
又因为$\angle BAD = \angle CAD$，
所以$\angle CAD=\angle BCD$，
因为$OA = OD$，
所以$\angle OAD=\angle ODA$，
又因为$\angle OAD=\angle ODA$，$\angle BAD = \angle CAD$，
所以$\angle ODA=\angle CAD$，
因为$\angle CAD=\angle BCD$，
所以$\angle ODA=\angle BCD$，
所以$OE// AC$。
因为$AB$是$\odot O$的直径，
所以$\angle ACB = 90^{\circ}$。
因为$O$是$AB$的中点，$E$为$BC$中与$OD$的交点（由三线合一相关可推导或通过其他几何关系），在$\triangle ABC$中，$O$为$AB$中点，$OE// AC$，
根据三角形中位线定理，$OE=\frac{1}{2}AC$。
综上，$OE// AC$，且$OE = \frac{1}{2}AC$。