6.在平面直角坐标系中,点$P(x,2+y)$与$Q(2y,x)$关于原点对称,则$xy=$.

-8

因为点$P(x,2+y)$与$Q(2y,x)$关于原点对称，所以它们的横、纵坐标分别互为相反数，可得$\begin{cases}x=-2y\\2+y=-x\end{cases}$。将$x=-2y$代入$2+y=-x$，得$2+y=-(-2y)$，即$2+y=2y$，解得$y=2$。把$y=2$代入$x=-2y$，得$x=-4$。所以$xy=(-4)×2=-8$。

7.从上午9时到中午12时,时钟的时针沿顺时针方向旋转了度.

$90$

时钟一圈为$360°$，时针每小时旋转的角度为$\frac{360°}{12} = 30°$。
从上午9时到中午12时，共经过3小时，因此时针旋转的角度为$3 × 30° = 90°$。

8.如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=105^{\circ}$,将$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转得到$\triangle AB^{\prime}C^{\prime}$.若点$B$恰好落在$BC$边上,且$AB^{\prime}=CB^{\prime}$,则旋转角的度数为.

80

设旋转角为α，即∠BAB'=α。由旋转性质得AB=AB'，故∠ABB'=∠AB'B。设∠CAB'=β，因AB'=CB'，则∠C=∠CAB'=β。
∵∠BAC=105°=α+β，∴β=105°-α。
在△ABB'中，∠ABB'=(180°-α)/2。
在△ABC中，∠ABC=∠ABB'=(180°-α)/2，∠C=β=105°-α。
由内角和定理：105°+(180°-α)/2+(105°-α)=180°，解得α=80°。

9.如图,在四边形$ABCD$中,$\angle B=60^{\circ}$,$AB=BC$,将边$DA$绕点$D$逆时针旋转$60^{\circ}$得到线段$DE$,过点$E$作$EF\perp BC$,垂足为$F$.若$EF=2$,$BF=3$,则线段$CD$的长是.

√13

以F为原点，BC所在直线为x轴，FE所在直线为y轴建立坐标系。则F(0,0)，E(0,2)，B(-3,0)。设C(c,0)，因∠B=60°，AB=BC，故△ABC为等边三角形，A点坐标为$(\frac{c-3}{2},\frac{\sqrt{3}(c+3)}{2})$。设D(m,n)，由DA绕D逆时针旋转60°得DE，知DA=DE且∠ADE=60°。向量DA=$( \frac{c-3}{2}-m,\frac{\sqrt{3}(c+3)}{2}-n )$，向量DE=(-m,2-n)。利用旋转公式及坐标运算，解得$CD=\sqrt{13}$。

10.如图,点$D$是等边$\triangle ABC$的边$BC$上的一个动点,连接$AD$,将射线$DA$绕点$D$顺时针旋转$60^{\circ}$,交$AC$于点$E$.若$AB=4$,则$CE$的最大值是.

1

设$BD=x$，则$DC=4 - x$，$0 \leq x \leq 4$。
∵$\triangle ABC$是等边三角形，∴$\angle B=\angle C=60°$。
∵射线$DA$绕点$D$顺时针旋转$60°$得$DE$，∴$\angle ADE=60°$。
∵$\angle ADB + \angle ADE + \angle EDC=180°$，∴$\angle ADB + \angle EDC=120°$。
又$\angle BAD + \angle ADB=180° - \angle B=120°$，∴$\angle BAD=\angle EDC$。
∵$\angle B=\angle C$，$\angle BAD=\angle EDC$，∴$\triangle ABD \backsim \triangle DCE$。
∴$\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{CE}$，即$\frac{4}{4 - x}=\frac{x}{CE}$，解得$CE=\frac{x(4 - x)}{4}=-\frac{1}{4}x^2 + x$。
此二次函数开口向下，对称轴为$x=2$，当$x=2$时，$CE$取最大值，最大值为$-\frac{1}{4}×2^2 + 2=1$。