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1.计算$\frac{c}{a-b}+\frac{c}{b-a}$的结果是(
A.1
B.-1
C.0
D.$\frac{2c}{a-b}$
C
).A.1
B.-1
C.0
D.$\frac{2c}{a-b}$
答案
C
解析
首先将分式$\frac{c}{b-a}$的分子分母同乘以$-1$，得到$-\frac{c}{a-b}$，
原式=$$\frac{c}{a-b}-\frac{c}{a-b}=0$$。
原式=$$\frac{c}{a-b}-\frac{c}{a-b}=0$$。
2.计算$(1+\frac{1}{x-1}) ÷ (1+\frac{1}{x^2-1})$的结果是(
A.1
B.$x+1$
C.$\frac{x+1}{x}$
D.$\frac{1}{x-1}$
C
).A.1
B.$x+1$
C.$\frac{x+1}{x}$
D.$\frac{1}{x-1}$
答案
C
解析
首先将$1 + \frac{1}{x - 1}$通分，得到$\frac{x - 1 + 1}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$；
再将$1 + \frac{1}{x^2 - 1}$通分，因为$x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)$，所以$1+\frac{1}{x^2 - 1}=\frac{x^2 - 1 + 1}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{x^2}{(x + 1)(x - 1)}$；
则$(1 + \frac{1}{x - 1}) ÷ (1 + \frac{1}{x^2 - 1})=\frac{x}{x - 1} ÷ \frac{x^2}{(x + 1)(x - 1)}$；
根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，即$\frac{x}{x - 1} × \frac{(x + 1)(x - 1)}{x^2}$；
约分可得$\frac{x + 1}{x}$。
再将$1 + \frac{1}{x^2 - 1}$通分，因为$x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)$，所以$1+\frac{1}{x^2 - 1}=\frac{x^2 - 1 + 1}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{x^2}{(x + 1)(x - 1)}$；
则$(1 + \frac{1}{x - 1}) ÷ (1 + \frac{1}{x^2 - 1})=\frac{x}{x - 1} ÷ \frac{x^2}{(x + 1)(x - 1)}$；
根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，即$\frac{x}{x - 1} × \frac{(x + 1)(x - 1)}{x^2}$；
约分可得$\frac{x + 1}{x}$。
3.计算$\frac{x^2}{y-x}-\frac{y^2}{y-x}$的结果是(
A.$-x-y$
B.$y-x$
C.$x-y$
D.$x+y$
A
).A.$-x-y$
B.$y-x$
C.$x-y$
D.$x+y$
答案
A
解析
原式为$\frac{x^2}{y - x} - \frac{y^2}{y - x}$，
合并同分母分式：$\frac{x^2 - y^2}{y - x}$，
分子因式分解：$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$，
代入得：$\frac{(x - y)(x + y)}{y - x}$，
化简分母：$y - x = -(x - y)$，
表达式变为：$\frac{(x - y)(x + y)}{-(x - y)} = -(x + y) = -x - y$。
合并同分母分式：$\frac{x^2 - y^2}{y - x}$，
分子因式分解：$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$，
代入得：$\frac{(x - y)(x + y)}{y - x}$，
化简分母：$y - x = -(x - y)$，
表达式变为：$\frac{(x - y)(x + y)}{-(x - y)} = -(x + y) = -x - y$。
4.若$x+y = -4$,$xy = -12$,则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的值为(
A.$\frac{14}{15}$
B.3
C.$-\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{3}$
D
).A.$\frac{14}{15}$
B.3
C.$-\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
D
解析
根据题意，有
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy}$，
将已知条件 $x + y = -4$，$xy = -12$ 代入，得
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{-4}{-12} = \frac{1}{3}$。
5.若$\frac{2x+1}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}$恒成立,则$A+B$的值为(
A.3
B.2
C.-2
D.-3
B
).A.3
B.2
C.-2
D.-3
答案
B
解析
将等式右边通分，得$\frac{A(x+2)+B(x+1)}{(x+1)(x+2)}$。因为等式恒成立，所以分子相等，即$2x+1 = A(x+2)+B(x+1)$。整理得$2x+1=(A+B)x+(2A+B)$。根据对应系数相等，可得$\begin{cases}A+B=2\\2A+B=1\end{cases}$，解得$A+B=2$。
6.计算:$\frac{x-1}{x} ÷ (1-\frac{1}{x}) =$
1
答案
1
解析
$\begin{aligned}\frac{x - 1}{x} ÷ \left(1 - \frac{1}{x}\right)&=\frac{x - 1}{x} ÷ \left(\frac{x}{x} - \frac{1}{x}\right)\\&=\frac{x - 1}{x} ÷ \frac{x - 1}{x}\\&=\frac{x - 1}{x} × \frac{x}{x - 1}\\&=1\end{aligned}$
7.已知$\frac{x}{y}=3$,则$\frac{x^2+2xy-3y^2}{x^2-xy+y^2}$的值为
$\frac{12}{7}$
答案
（此处假设为填空题，若按选择题形式本题无对应选项，若非要按要求填写则本题无法正常对应选项，由于是求具体值，按照规则直接写结果）$\frac{12}{7}$
解析
由题意知$\frac{x}{y}=3$，设$x = 3y$（$y\neq0$），
将$x = 3y$代入$\frac{x^{2}+2xy - 3y^{2}}{x^{2}-xy + y^{2}}$中，
则分子$x^{2}+2xy-3y^{2}=(3y)^{2}+2×(3y)× y-3y^{2}=9y^{2}+6y^{2}-3y^{2}=12y^{2}$，
分母$x^{2}-xy + y^{2}=(3y)^{2}-(3y)× y+y^{2}=9y^{2}-3y^{2}+y^{2}=7y^{2}$，
所以$\frac{x^{2}+2xy - 3y^{2}}{x^{2}-xy + y^{2}}=\frac{12y^{2}}{7y^{2}}=\frac{12}{7}$。
将$x = 3y$代入$\frac{x^{2}+2xy - 3y^{2}}{x^{2}-xy + y^{2}}$中，
则分子$x^{2}+2xy-3y^{2}=(3y)^{2}+2×(3y)× y-3y^{2}=9y^{2}+6y^{2}-3y^{2}=12y^{2}$，
分母$x^{2}-xy + y^{2}=(3y)^{2}-(3y)× y+y^{2}=9y^{2}-3y^{2}+y^{2}=7y^{2}$，
所以$\frac{x^{2}+2xy - 3y^{2}}{x^{2}-xy + y^{2}}=\frac{12y^{2}}{7y^{2}}=\frac{12}{7}$。
8.计算:$a^2 ÷ b × \frac{1}{b} =$
$\frac{a^{2}}{b^{2}}$
答案
$\frac{a^{2}}{b^{2}}$（（若题目为填空题，直接填写$\frac{a^{2}}{b^{2}}$相关形式））
解析
根据分式的乘除法运算法则，从左到右依次计算，将除法转化为乘法再进行运算。$a^{2}÷ b×\frac{1}{b}=a^{2}×\frac{1}{b}×\frac{1}{b}=\frac{a^{2}}{b^{2}}$。
9.已知$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{7} \neq 0$,则$\frac{3x+y+z}{y}$的值为
5
答案
5
解析
设$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{7}=k(k\neq0)$，则$x=3k$，$y=4k$，$z=7k$。代入$\frac{3x + y + z}{y}$得：$\frac{3×3k + 4k + 7k}{4k}=\frac{9k + 4k + 7k}{4k}=\frac{20k}{4k}=5$
10.使$(x-3)^{-2}$有意义的条件是
$x\neq3$
答案
【解析】：根据负整数指数幂的意义，$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a\neq0$，$p$为正整数），所以$(x - 3)^{-2}=\frac{1}{(x - 3)^2}$。要使该式有意义，分母不能为$0$，即$x - 3\neq0$，解得$x\neq3$。
【答案】：$x\neq3$
【答案】：$x\neq3$
