13.(8分)如图,正比例函数$y=\frac{1}{2}x$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$在第一象限的图象交于
点$A$,过点$A$作$x$轴的垂线,垂足为$M$,已知$\bigtriangleup OAM$的面积为1.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)如果$B$为反比例函数在第一象限图象上的点(点$B$与点$A$不重合),且点$B$的横坐标为
1,在$x$轴上求一点$P$,使$PA+PB$最小.

(1)设点$A(a,b)$，
∵点$A$在正比例函数$y=\frac{1}{2}x$上，∴$b=\frac{1}{2}a$，
∵点$A$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，∴$b=\frac{k}{a}$，即$k=ab$，
∵$\triangle OAM$面积为1，$OM=a$，$AM=b$，
∴$\frac{1}{2}ab=1$，则$ab=2$，∴$k=2$，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$。
(2)联立$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x\\y=\frac{2}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$（第一象限），∴$A(2,1)$，
∵点$B$横坐标为1且在$y=\frac{2}{x}$上，∴$B(1,2)$，
作点$A$关于$x$轴的对称点$A'(2,-1)$，
设直线$A'B$解析式为$y=mx+n$，
将$A'(2,-1)$，$B(1,2)$代入得$\begin{cases}m+n=2\\2m+n=-1\end{cases}$，
解得$\begin{cases}m=-3\\n=5\end{cases}$，∴直线$A'B:y=-3x+5$，
令$y=0$，则$-3x+5=0$，解得$x=\frac{5}{3}$，
∴点$P\left(\frac{5}{3},0\right)$。
(1)反比例函数解析式为$\boxed{y=\frac{2}{x}}$；(2)点$P$坐标为$\boxed{\left(\frac{5}{3},0\right)}$。

14.(8分)如图,在矩形$AOBC$中,$OB=6$,$OA=4$,分别以$OB$,$OA$所在直线为$x$轴和$y$轴建立平
面直角坐标系,$F$是边$BC$上一点(不与$B$,$C$两点重合),过点$F$的反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$图象与
$AC$边交于点$E$.
(1)请用$k$表示点$E$,$F$的坐标;
(2)若$\bigtriangleup OEF$的面积为9,求反比例函数的解析式.

(1)由题意，$E$点坐标满足$y= \frac{k}{x}$且$y=4$，
所以，$x = \frac{k}{4}$，
即点$E$的坐标为$\left(\frac{k}{4},4\right)$，
$F$点坐标满足$y= \frac{k}{x}$且$x=6$，
所以，$y = \frac{k}{6}$，
即点$F$的坐标为$\left(6,\frac{k}{6}\right)$。
(2)由题意，$S_{\triangle OEF} =S_{矩形ACBO}- S_{\triangle AOE}-S_{\triangle BOF} - S_{\triangle ECF}$，
$S_{矩形ACBO}=4 × 6 =24$，
$S_{\triangle AOE}=\frac{1}{2} × 4 × \frac{k}{4}= \frac{k}{2}$，
$S_{\triangle BOF}=\frac{1}{2} × 6 × \frac{k}{6}= \frac{k}{2}$，
$S_{\triangle ECF}=\frac{1}{2} × \left(6- \frac{k}{4}\right) × \left(4- \frac{k}{6}\right)$，
代入$S_{\triangle OEF} =9$，
$24-\frac{k}{2}-\frac{k}{2}-\frac{1}{2} × \left(6- \frac{k}{4}\right) × \left(4- \frac{k}{6}\right)=9$，
解得$k=12$，
即反比例函数的解析式为$y = \frac{12}{x}$。