14.(8 分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的顶点坐标为$(2,9)$,与$y$轴交于点$A(0,5)$,与$x$轴交于点$E,B$.
(1)求二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的解析式.
(2)过点$A$作$AC$平行于$x$轴,交抛物线于点$C$,点$P$为抛物线上的一点(点$P$在$AC$上方),作$PD$平行于$y$轴,交$AB$于点$D$.当点$P$在何位置时,四边形$APCD$的面积最大？ 求出最大面积.
(3)若点$M$在抛物线上,点$N$在对称轴上,使得以$A,E,N,M$为顶点的四边形是平行四边形,且$AE$为其一边,求点$M,N$的坐标.

(1)
设抛物线解析式为$y=a(x-2)^2+9$，
将$A(0,5)$代入得：$5=a(0-2)^2+9$，
解得$a=-1$，
故解析式为$y=-(x-2)^2+9=-x^2+4x+5$。
(2)
由$A(0,5)$，$AC// x$轴，令$y=5$得$-x^2+4x+5=5$，
解得$x=0$或$x=4$，则$C(4,5)$，$AC=4$。
直线$AB$：过$A(0,5)$，$B(5,0)$，解析式为$y=-x+5$。
设$P(m,-m^2+4m+5)$，则$D(m,-m+5)$，
$PD=(-m^2+4m+5)-(-m+5)=-m^2+5m$。
四边形$APCD$面积$S=\frac{1}{2}× AC× PD=2(-m^2+5m)=-2m^2+10m$。
当$m=-\frac{10}{2×(-2)}=\frac{5}{2}$时，$S_{ max}=-2(\frac{5}{2})^2+10×\frac{5}{2}=\frac{25}{2}$。
此时$P(\frac{5}{2},\frac{35}{4})$，最大面积$\frac{25}{2}$。
(3)
$A(0,5)$，$E(-1,0)$，对称轴$x=2$，设$N(2,n)$，$M(p,q)$且$q=-p^2+4p+5$。
情况1：对角线为$AN$和$EM$，则$\begin{cases}\frac{0+2}{2}=\frac{-1+p}{2}\\frac{5+n}{2}=\frac{0+q}{2}\end{cases}$，
解得$p=3$，$q=8$，$n=3$，即$M(3,8)$，$N(2,3)$。
情况2：对角线为$AM$和$EN$，则$\begin{cases}\frac{0+p}{2}=\frac{-1+2}{2}\\frac{5+q}{2}=\frac{0+n}{2}\end{cases}$，
解得$p=1$，$q=8$，$n=13$，即$M(1,8)$，$N(2,13)$。
综上，$M(3,8),N(2,3)$或$M(1,8),N(2,13)$。
答案
(1) $y=-x^2+4x+5$
(2) $P(\frac{5}{2},\frac{35}{4})$，最大面积$\frac{25}{2}$
(3) $M(3,8),N(2,3)$或$M(1,8),N(2,13)$