4.如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90°$,$D$是$AB$的中点.若$CD=5$,$AC=8$,则$\tan A=$()。


A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$

C

在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，D是AB的中点，$CD=5$，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得$AB=2CD=10$。
由勾股定理，$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$。

5.如图,为了测量河的宽度,王芳同学在河岸边相距$200 m$的$M$和$N$两点分别测定对岸一棵树$P$的位置,$P$在$M$的正北方向,在$N$的北偏西$30°$方向,则河的宽度是()。


A.$200\sqrt{3} m$
B.$\frac{200\sqrt{3}}{3} m$
C.$100\sqrt{3} m$
D.$100 m$

B

过点N作NH⊥PM于H，则NH=200m，∠PNH=30°。设河宽PM=x m，在Rt△PNH中，tan∠PNH=PH/NH=(x-0)/200=tan30°=√3/3，解得x=200√3/3。

6.在$ Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90°$,$AC=9$,$\angle B=30°$,则$BC=$.

$9\sqrt{3}$

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90°$，$\angle B=30°$，则$\angle A=60°$。
$\tan B = \frac{AC}{BC}$，即$\tan 30° = \frac{9}{BC}$。
$\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{9}{BC}$，解得$BC = 9\sqrt{3}$。

7.一山坡的坡度为$i=1:\sqrt{3}$,小辰从山脚$A$出发,沿山坡向上走了$200 m$到达点$B$,则小辰上升了$ m$.

100

设小辰上升了$x$米，因为坡度$i = 1:\sqrt{3}$，所以水平距离为$\sqrt{3}x$米。由勾股定理得$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 200^2$，即$x^2 + 3x^2 = 40000$，$4x^2 = 40000$，$x^2 = 10000$，解得$x = 100$。

8.在$\triangle ABC$中,$AB=12$,$AC=\sqrt{39}$,$\angle B=30°$,则$\triangle ABC$的面积是.

15√3或21√3

过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=12，∴AD=AB·sin30°=6，BD=AB·cos30°=6√3。在Rt△ADC中，AC=√39，由勾股定理得DC²=AC²-AD²=39-36=3，∴DC=√3。
当点C在BD延长线上时，BC=BD+DC=6√3+√3=7√3，面积S=1/2×BC×AD=1/2×7√3×6=21√3；
当点C在BD上时，BC=BD-DC=6√3-√3=5√3，面积S=1/2×BC×AD=1/2×5√3×6=15√3。

9.如图,一艘轮船在小岛$A$的北偏东$60°$方向、距小岛$80$海里的$B$处,沿正西方向航行$3$小时后到达小岛的北偏西$45°$的$C$处,则该船行驶的速度为海里/时.

1. 首先，作$AD\perp BC$于点$D$：
已知$\angle BAD = 60^{\circ}$，$\angle CAD = 45^{\circ}$，$AB = 80$海里。
在$Rt\triangle ABD$中，根据三角函数的定义，$\sin\angle BAD=\frac{BD}{AB}$，$\cos\angle BAD=\frac{AD}{AB}$。
因为$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，$AB = 80$海里，所以$BD = AB\sin60^{\circ}=80×\frac{\sqrt{3}}{2}=40\sqrt{3}$海里，$AD = AB\cos60^{\circ}=80×\frac{1}{2}=40$海里。
在$Rt\triangle ACD$中，因为$\angle CAD = 45^{\circ}$，$\tan\angle CAD=\frac{CD}{AD}$，且$\tan45^{\circ}=1$，$AD = 40$海里，所以$CD = AD = 40$海里。
2. 然后，求$BC$的长度：
由$BC=BD + CD$，可得$BC=(40\sqrt{3}+40)$海里。
3. 最后，求船行驶的速度$v$：
已知行驶时间$t = 3$小时，根据速度公式$v=\frac{s}{t}$（这里$s = BC$），则$v=\frac{40\sqrt{3}+40}{3}=\frac{40(1 + \sqrt{3})}{3}$海里/时。
故该船行驶的速度为$\frac{40(1+\sqrt{3})}{3}$海里/时。

10.如图,某学习小组在教学楼$AB$的顶部观测信号塔$CD$底部的俯角为$30°$,信号塔顶部的仰角为$45°$.已知教学楼$AB$的高度为$20 m$,则信号塔的高度为$ m$(计算结果保留根号).

$20 \left( 1 + \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } \right ) $